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Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici.

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Presentazione sul tema: "Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici."— Transcript della presentazione:

1 Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici

2 Moltiplicazione di numeri con differenza piccola Quadrato di alcuni numeri Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra Altre scorciatoie nelle moltiplicazione Criteri di divisibilità (con dimostrazioni) Curiosità della matematica

3 Moltiplicazione di numeri con differenza piccola Moltiplicazione di due numeri con differenza 1 Moltiplicazione di due numeri con differenza 2 Moltiplicazione di due numeri con differenza 3 Moltiplicazione di due numeri con differenza 4 Moltiplicazione di due numeri con differenza 6

4 Moltiplicazione di due numeri con differenza 1 4 5 = 5² - 5 = 25 – 5 = 20 4 5 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20 36 35 = 35² + 35 = 1225 + 35 = 1260 40 41 = 40² + 40 = 1600 + 40 = 1640 Giustificazione

5 Giustificazione: n (n + 1) = n² + n dove n è il più piccolo n (n – 1) = n² - n dove n è il più grande Spiegazione: Si somma al numero più piccolo il suo quadrato. Si somma al numero più piccolo il suo quadrato. Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il numero stesso. Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il numero stesso.

6 Moltiplicazione di due numeri con differenza 2 19 21 = 20² - 1 = 399 59 61 = 60² - 1 = 3.599 69 71 = 70² - 1 = 4.899 29 31 = 30² - 1 = 899 101 99 = 100² - 1 = 9.999 39 41 = 40² - 1 = 1.599 81 79 = 80² - 1 = 6.399 91 89 = 90² - 1 = 8.099 Giustificazione

7 Giustificazione: (n – 1) (n + 1) = n² - 1dove n è la media Spiegazione: Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si toglie 1. Esempi: 121 119 = 120² - 1 = 14.399 201 199 = 200² - 1 = 39.999 49 51 = 50² - 1 = 2.499 11 13 = 12² - 1 = 143

8 Moltiplicazione di due numeri con differenza 3 24 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 648 24 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 648 59 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 3658 59 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 3658 34 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 1258 34 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 1258 49 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 2548 49 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 2548 99 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 10.098 99 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 10.098 Giustificazione

9 Giustificazione: (n + 1)² + n – 1 = n² + 2n + 1 + n – 1 = n² + 3n = n (n+ 3) dove n è il più piccolo dei numeri Spiegazione: Si prende il più piccolo dei due numeri e si aggiunge 1, si eleva tutto al quadrato e poi si aggiunge lo stesso numero diminuito di 1. Esempi: 154 157 = (154 + 1)²+ (154 – 1) = 24.025 + 153 = 24.178 12 15 = (12 + 1)² + (12 – 1) = 169 + 11 = 180 22 25 = (22 + 1)² + (22 – 1) = 529 + 21 = 550 71 74 = (71 + 1 )² + (71 – 1) = 5184 + 70 = 5254 17 14 = (14 + 1)² + (14 – 1) = 225 + 13 = 238 31 28 = (28 + 1)² + (28 – 1) = 841 + 27 = 868

10 Moltiplicazione di due numeri con differenza 4 67 63 = 65² - 4 = 4.221 67 63 = 65² - 4 = 4.221 14 18 = 16² - 4 = 252 14 18 = 16² - 4 = 252 22 26 = 24² - 4 = 572 22 26 = 24² - 4 = 572 38 42 = 40² - 4 = 1.596 38 42 = 40² - 4 = 1.596 58 62 = 60² - 4 = 3596 58 62 = 60² - 4 = 3596 8 12 = 10² - 4 = 96 8 12 = 10² - 4 = 96 Giustificazione

11 Giustificazione: n² - 4 = (n + 2)(n – 2) dove n è la media Spiegazione: Si prende il quadrato della media dei due numeri e si sottrae 4. Esempi: 28 32 = 30² - 4 = 896 15 19 = 17² - 4 = 285 21 25 = 22² - 4 = 525 37 41 = 39² - 4 = 1.517 48 52 = 50² - 4 = 2.496 17 21 = 19² - 4 = 357

12 Moltiplicazione di due numeri con differenza 6 33 27 = 30² - 9 = 891 33 27 = 30² - 9 = 891 83 77 = 80² - 9 = 6.391 83 77 = 80² - 9 = 6.391 15 21 = 18² - 9 = 315 15 21 = 18² - 9 = 315 25 19 = 22² - 9 = 475 25 19 = 22² - 9 = 475 36 42 = 39² - 9 = 1.512 36 42 = 39² - 9 = 1.512 13 19 = 16² - 9 = 247 13 19 = 16² - 9 = 247 17 23 = 20² - 9 = 391 17 23 = 20² - 9 = 391 Giustificazione

13 Giustificazione: (n + 3)(n – 3) = n² - 9 dove n è la media dei due numeri Spiegazione: Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si toglie 9. Esempi: 43 37 = 40² - 9 = 1.591 57 63 = 60²- 9 = 3591 33 27 = 30² - 9 = 891 36 42 = 39² - 9 = 1512 22 28 = 25² - 9 = 616

14 Quadrato di certi numeri Quadrato di numeri che terminano con 1 Quadrato di numeri che terminano con 4 Quadrato di numeri che terminano con 5 Quadrato di numeri che terminano con 6 Quadrato di numeri che terminano con 9 Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50 Quadrato di numeri vicini a 100

15 Quadrato di numeri che terminano con 1 41 41 = 40² + 40 + 41 = 1.681 11 11 = 10² + 10 + 11 = 121 31 31 = 30² + 30 + 31 = 961 Giustificazione: n² = (n – 1)² + n + n – 1con n = numero dato Spiegazione: Si prende il numero diminuito di 1, si esegue il quadrato, si aggiunge il numero di partenza e il numero di partenza diminuito di 1

16 Quadrato di numeri che terminano con 4 34 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 1156 34 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 1156 Oppure 34 34 = 35² - (2 35) + 1 = 1225 – 70 + 1 = 1156 14 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 196 14 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 196 Oppure 14 14 = 15² - (2 15) + 1 = 225 – 30 + 1 = 196 Giustificazione: n²= (n + 1)² - (n + n + 1)n = numero dato n²= (n + 1)² - (n + n + 1)n = numero dato n²= (n + 1)² - 2 (n + 1) + 1 n = numero dato n²= (n + 1)² - 2 (n + 1) + 1 n = numero datoSpiegazione: Si prende il quadrato del numero dato + 1 e si sottrae la somma tra il numero dato e il suo successivo; oppure si prende il quadrato del numero dato + 1, vi si aggiunge 1 e si toglie il doppio prodotto del numero dato + 1

17 Quadrato di numeri che terminano con 5 Giustificazione: (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = 100n (n + 1) + 25 (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = 100n (n + 1) + 25 Con n cifra delle decine 45 45 = (10 4 + 5)²= 100(4)² + 100(4) + 25 = 1.600 + 400 + 25 = 2.025 Spiegazione: Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto della cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivo Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto della cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivo 2.02520 = 4 (cifra decine) (4 + 1) = cifra centinaia 20 100 = 2.000 2.000 + 25 = 2.025

18 Quadrato di numeri che terminano con 6 Giustificazione: n² = (n – 1)² + ( n + n – 1) con n numero dato 36 36 = (36 – 1)² + (36 + 36 – 1) = 35² + 36 + 35 = 1.225 + 71 = 1.296 56 56 = 55² + 56 + 55 = 3.136 Spiegazione: Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di 1 Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di 1

19 Quadrato di numeri che terminano con 9 39 39 = 40² - (40 + 39) = 1.521 39 39 = 40² - (40 + 39) = 1.521 19 19 = 20² - (20 + 19) = 361 19 19 = 20² - (20 + 19) = 361 69 69 = 70² - (70 + 69) = 4.761 69 69 = 70² - (70 + 69) = 4.761Giustificazione: n² = (n + 1)² - (n + n + 1) con n numero dato Spiegazione: Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si toglie il numero di partenza e il numero di partenza aumentato di 1 Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si toglie il numero di partenza e il numero di partenza aumentato di 1

20 Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50 26 26 = 100 (26 – 25) + (50 – 26)² = 100 1 + 576 = 676 26 26 = 100 (26 – 25) + (50 – 26)² = 100 1 + 576 = 676 47 47 = 100 (47 – 25) + (50 – 47)² = 100 22 + 9 = 2209 47 47 = 100 (47 – 25) + (50 – 47)² = 100 22 + 9 = 2209 32 32 = 100 (32 – 25) + (50 – 32)² = 100 7 + 324 = 1024 32 32 = 100 (32 – 25) + (50 – 32)² = 100 7 + 324 = 1024 28 28 = 100 (28 – 25) + (50 – 28)² = 100 3 + 484 = 784 28 28 = 100 (28 – 25) + (50 – 28)² = 100 3 + 484 = 784 Giustificazione: n² = 100 (n – 25) + (50 – n)²con n numero dato Spiegazione: Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100; dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della differenza tra 50 e il numero di partenza Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100; dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della differenza tra 50 e il numero di partenza

21 Quadrato di numeri vicini a 100 98 98 = 100 (2 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.604 98 98 = 100 (2 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.604 104 104 = 100 (2 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816 104 104 = 100 (2 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816 110 110 = 100 (2 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100 110 110 = 100 (2 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100 108 108 = 100 (2 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664 108 108 = 100 (2 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664Giustificazione: n² = 100 (2n – 100) + (100 – n)²con n numero dato Spiegazione: Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero dato e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra 100 e il numero di partenza Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero dato e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra 100 e il numero di partenza

22 Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1 Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5 Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine pari Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine dispari

23 Moltiplicazione per 11 Moltiplicazione per 11 Moltiplicazione per 21,31,41… Moltiplicazione per 21,31,41… Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1

24 Moltiplicazione per 11 Metodo A Metodo A Metodo B Metodo B Metodo C Metodo C

25 A) 67. 11=67. 10 + 67=737 A) 67. 11=67. 10 + 67=737Spiegazione: Si applica la proprietà distributiva ;si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.

26 B) 369. 11 369+ 369+ 369 = 369 = 4059 4059Spiegazione: Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al numero stesso con questo incolonnamento. Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al numero stesso con questo incolonnamento.

27 C) 27. 11 Sommare 2+7=9 Inserire il numero tra 2 e 7 297 43. 11=473 72. 11=792 85. 11=935 156

28 Moltiplicazione per 21,31,41… 67. 21 = 2. 67. 10 + 67 = 1340 + 67 = 1407 54. 31 = 3. 54. 10 + 54 = 1620 + 54 = 1674 32. 41 = 4. 32. 10 + 32 = 1280 + 32 = 1312 Spiegazione: Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il numero per la cifra delle decine del numero terminante con 1, si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza. Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il numero per la cifra delle decine del numero terminante con 1, si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.

29 Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5 (oppure metodo del doppio e della metà) Moltiplicare per 15,25,35… : Moltiplicare per 15,25,35… : 64. 35 =32. 70 = 32. 7. 10 = 2240 64. 35 =32. 70 = 32. 7. 10 = 2240 175. 24 = 350. 12 = 700. 6 = 4200 175. 24 = 350. 12 = 700. 6 = 4200 Spiegazione: Spiegazione: Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per due laltro. Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per due laltro. Metodo alternativo per moltiplicare per 15: Metodo alternativo per moltiplicare per 15: 64. 15 = (64+32). 10 = 960 64. 15 = (64+32). 10 = 960 Spiegazione: Spiegazione: Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio: Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio: Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la metà di quel numero addizionato al numero stesso. Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la metà di quel numero addizionato al numero stesso.

30 Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine pari 35. 55=1925 3. 5=15 (3+5). ½=4 15+4=19 1925 Dimostrazione:(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25= =100ab+100/2(a+b)+25 =100ab+100/2(a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 2

31 Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine dispari 65. 35=2275 6. 3=18 6+3=4,5 18+4,5=22 2275 2 0,5. 100=50 2 0,5. 100=50 Dimostrazione: 50+25=75 (10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25= =100ab+100/2(a+b)+25 =100ab+100/2(a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 2

32 Altre scorciatoie nelle moltiplicazione Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a 1 Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a 1 Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità pari a 10 e le decine uguali Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità pari a 10 e le decine uguali Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine pari a 10 e le unità uguali Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine pari a 10 e le unità uguali

33 Moltiplicazione di due numeri fra 10 e 19 16. 13 = 208 Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra delle unità del secondo:16 + 3 = 19 19. 10 = 190 Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra delle unità del secondo:16 + 3 = 19 19. 10 = 190 Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle unità: Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle unità: 190 + 6. 3 = 208 190 + 6. 3 = 208Dimostrazione:(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab =10(10+a+b)+ab prodotto delle cifre delle unità =10(10+a+b)+ab prodotto delle cifre delle unità primo numero cifra delle unità del secondo numero primo numero cifra delle unità del secondo numero

34 Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità uguali a 10 e le decine uguali 72. 78 = 5616 Procedimento: Si moltiplica la cifra delle decine per la sua successiva:7. 8 = 56 Si moltiplica le unità:8. 2 = 16 Dimostrazione: (10a+b)(10a+c)=100a 2 +10ab+10ac+bc =100a 2 +10a(b+c)+bc =100a 2 +10a(b+c)+bc =100a 2 +10a(b+10-b)+bc =100a 2 +10a(b+10-b)+bc =100a 2 +100a+bc =100a 2 +100a+bc =100a(a+1)+bc =100a(a+1)+bc

35 Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine uguali a 10 e le stesse unità 36. 76 = 2736 Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle unità per 10: (3. 7 + 6). 100 = 2700. Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle unità per 10: (3. 7 + 6). 100 = 2700. Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle unità: Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle unità: 2700 + 6 2 = 2736. 2700 + 6 2 = 2736.Dimostrazione: (10a+c)(10b+c)=100ab+10bc+10ac+c 2 =100ab+10c(b+a)+c 2 =100ab+10c(b+a)+c 2 =100ab+100c+c 2 =100ab+100c+c 2

36 Criteri di divisibilità (con dimostrazioni) Per 2 Per 2 Per 3 o 9 Per 3 o 9 Per 4 Per 4 Per 5 Per 5 Per 7 Per 7 Per 11 Per 11 Per 13 Per 13

37 Per 2 100a+10b+c 2. (50a+5b)+c La divisibilità è legata allultima cifra. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2.

38 Per 3 o 9 100a+10b+c=99a+9b+(c+a+b) divisibili per 3 o 9 divisibili per 3 o 9 Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 o 9. Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 o 9.

39 Per 4 100a+10b+c Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue ultime due cifre. Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue ultime due cifre. Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che se la sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la sua penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8. Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che se la sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la sua penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8. N.B=considero 0 pari. N.B=considero 0 pari.

40 Per 5 100a+10b+c Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dallultima cifra. Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dallultima cifra. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

41 Per 7 100a+10b+c+20c-20c=21c+10. (10a+b-2c) Un numero è divisibile per 7 se (10a+b-2c) è divisibile per 7. Procedimento: Si toglie lultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente il doppio della cifra tolta. Si toglie lultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente il doppio della cifra tolta.Esempio: 147 è divisibile per 7 ? Si,perché 14- 14= 14= 0 0 è divisibile per 7. 0 0 è divisibile per 7.

42 Per 11 100a+10b+c=100a+10b+c+100b-100b+100c-100c =100(a-b+c)+110b+99c =100(a-b+c)+110b+99c divisibili per 11 divisibili per 11 Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue cifre di posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto pari. Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue cifre di posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto pari.

43 Per 13 100a + 10b + c = 100a + 10b + c + 40c - 40c =10(10a + b + 4c)- 39c =10(10a + b + 4c)- 39c divisibile per 13 divisibile per 13 Un numero è divisibile per 13 se (10a + b + 4c)è divisibile per 13. Procedimento: Si toglie lultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente quadruplo della cifra tolta. Si toglie lultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente quadruplo della cifra tolta.Esempio: 143=divisibile per 13 ? Si,perché: 14+12=26 divisibile per 13

44 Curiosità della matematica Moltiplicazioni con numeri bizzarri Moltiplicazioni con numeri bizzarri Radice quadrata con metodo di Erone Radice quadrata con metodo di Erone Dal numero decimale periodico alla frazione generatrice Dal numero decimale periodico alla frazione generatrice Giochi matematici Giochi matematici

45 Moltiplicazioni con numeri bizzarri Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre. Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre. Il numero 12345679 Il numero 12345679

46 Numeri (contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre. 57624831 9 = 518623479 72645831 9 = 653812479 81274365 9 = 731469285 518623479 2 = 1037246958 653812479 2 = 1307624958 731469285 2 = 1462938570 35577 35579 = 1265794083 46836 46838 = 2193704568 63727 63729 = 4061257983 78426 78428 = 6150794328

47 Il numero 12345679 Il numero 12345679 Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81: Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81: 12345679 18 = 222222222 12345679 27 = 333333333 12345679 36 = 444444444 12345679 45 = 555555555 12345679 54 = 666666666 12345679 63 = 777777777 12345679 72 = 888888888 12345679 81 = 999999999 Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate fra di loro, diano 9 Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate fra di loro, diano 9 12345679 108 = 1333333332 12345679 117 = 1444444443 12345679 126 = 1555555554

48 Radice quadrata con metodo di Erone Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono di calcolare la radice quadrata di un numero. Lalgoritmo di Erone utilizza solo le quattro operazioni dellaritmetica, per la sua efficacia é usato in tutte le calcolatrici e nei linguaggi di programmazione. Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono di calcolare la radice quadrata di un numero. Lalgoritmo di Erone utilizza solo le quattro operazioni dellaritmetica, per la sua efficacia é usato in tutte le calcolatrici e nei linguaggi di programmazione. Esempio: Esempio: 5 < 35 < 7 5 < 35 < 7 35/6(approssimato) 5,8 < 35 < 6 media fra 5 e 7 35/6(approssimato) 5,8 < 35 < 6 media fra 5 e 7 media fra 5, 8 e 6 5,9 < 35 < 5,93 35/5,9(approssimato) media fra 5, 8 e 6 5,9 < 35 < 5,93 35/5,9(approssimato) (…) (…) Procedimento: Procedimento: Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di partenza (nellesempio 35) per la media trovata. In questo modo si trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si può continuare con questo procedimento fino a quando non si è soddisfatti dellapprossimazione della radice trovata. Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di partenza (nellesempio 35) per la media trovata. In questo modo si trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si può continuare con questo procedimento fino a quando non si è soddisfatti dellapprossimazione della radice trovata. Giustificazione GiustificazioneGiustificazione

49 Lalgoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un numero l costruiamo un quadrato di area l, il suo lato è proprio la radice di l. Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i cui lati misurano h e l /h, scegliamo h minore di l. Larea del rettangolo è h. l/h = l, cioè è uguale allarea del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno maggiore del lato del quadrato. Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo h 1 =h+l/h dove h 1 è maggiore di h. 2 Lalgoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un numero l costruiamo un quadrato di area l, il suo lato è proprio la radice di l. Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i cui lati misurano h e l /h, scegliamo h minore di l. Larea del rettangolo è h. l/h = l, cioè è uguale allarea del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno maggiore del lato del quadrato. Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo h 1 =h+l/h dove h 1 è maggiore di h. 2 Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano h 1 e l/h 1 Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano h 1 e l/h 1 Anche in questo caso larea del rettangolo è h 1. l/h 1 = l cioè uguale a quella del quadrato; h 1 è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, l/h 1 è un valore approssimato per difetto. Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore h 1 più vicino a l di quanto lo fosse h. Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di numeri che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di l. Anche in questo caso larea del rettangolo è h 1. l/h 1 = l cioè uguale a quella del quadrato; h 1 è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, l/h 1 è un valore approssimato per difetto. Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore h 1 più vicino a l di quanto lo fosse h. Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di numeri che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di l. l h l/h l/h

50 Dal numero decimale alla frazione generatrice 0,93 = 84 0,93 = 84 90 90 Sia n = frazione generatrice 10n = 9,33333… 10n = 9,33333… 10n – n = 9,333 – 0,9333 10n – n = 9,333 – 0,9333 9n = 8,4 9n = 8,4 90n = 84 n = 84 90n = 84 n = 84 90 90

51 Giochi matematici Gioco di carte Gioco di carte Gioco con numeri primi Gioco con numeri primi Gioco algebrico Gioco algebrico

52 Gioco di carte Spiegazione: Spiegazione: Il gioco si basa sul fatto che la somma di tutti i valori attribuiti alle 40 carte di un mazzo completo è uguale a 180,che un multiplo di 10. Il gioco si basa sul fatto che la somma di tutti i valori attribuiti alle 40 carte di un mazzo completo è uguale a 180,che un multiplo di 10. Si porge allo spettatore un mazzo di 40 carte e gli si chiede di togliere una carta. Si sfoglia velocemente il mazzo,facendo la somma progressiva dei valori delle carte (re=0,asso=1,due=2…),usando laccortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto ad esempio:7+8= 1 5 (in questo modo si scartano le decine di 180). Al termine del calcolo si otterrà un risultato compreso fra 0 e 9; sottraendo questo numero da 10 si ricaverà il valore della carta tolta. Si porge allo spettatore un mazzo di 40 carte e gli si chiede di togliere una carta. Si sfoglia velocemente il mazzo,facendo la somma progressiva dei valori delle carte (re=0,asso=1,due=2…),usando laccortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto ad esempio:7+8= 1 5 (in questo modo si scartano le decine di 180). Al termine del calcolo si otterrà un risultato compreso fra 0 e 9; sottraendo questo numero da 10 si ricaverà il valore della carta tolta.

53 Gioco con numeri primi Si chiede allo spettatore di pensare ad un numero da 1 a 9. Si chiede allo spettatore di pensare ad un numero da 1 a 9. Gli si chiede poi di moltiplicare il numero (con la calcolatrice!!!) per 3, per 7, per 11, per 13, per 37, senza premere uguale alla fine del calcolo. Gli si chiede poi di restituirci la calcolatrice, e basterà premere uguale e guardare il display, perché il numero pensato sarà scritto 6 volte! Gli si chiede poi di moltiplicare il numero (con la calcolatrice!!!) per 3, per 7, per 11, per 13, per 37, senza premere uguale alla fine del calcolo. Gli si chiede poi di restituirci la calcolatrice, e basterà premere uguale e guardare il display, perché il numero pensato sarà scritto 6 volte! Spiegazione: Spiegazione: I numeri 3, 7, 11, 13, 37 sono i fattori primi di 111111. I numeri 3, 7, 11, 13, 37 sono i fattori primi di 111111. Questo numero moltiplicato per le cifre comprese fra 1 e 9, darà un numero le cui cifre saranno il numero pensato dallo spettatore. Questo numero moltiplicato per le cifre comprese fra 1 e 9, darà un numero le cui cifre saranno il numero pensato dallo spettatore.

54 Gioco algebrico Scrivete un numero su un foglio e ponete il foglio in una busta chiusa. Chiamate uno spettatore e fornitegli le seguenti istruzioni. a) Scegli un numero di due cifre(per esempio 75). a) Scegli un numero di due cifre(per esempio 75). b) Esegui la somma delle due cifre(7+5=12) b) Esegui la somma delle due cifre(7+5=12) c) Sottrai il numero così ottenuto da quello scelto prima(nel nostro caso: 75-12=63). c) Sottrai il numero così ottenuto da quello scelto prima(nel nostro caso: 75-12=63). d) Esegui la somma delle cifre del valore ottenuto, ripetendo loperazione, nel caso in cui il risultato non sia composto da una sola cifra (nel nostro caso: 6+3=9). d) Esegui la somma delle cifre del valore ottenuto, ripetendo loperazione, nel caso in cui il risultato non sia composto da una sola cifra (nel nostro caso: 6+3=9). e) Comunica il risultato ottenuto,nel nostro caso(anche in tutti i casi:9) e) Comunica il risultato ottenuto,nel nostro caso(anche in tutti i casi:9) - Aprite la busta e mostrate che sul vostro foglio avevate scritto proprio 9, strappando un applauso di vivo stupore (si spera). - Aprite la busta e mostrate che sul vostro foglio avevate scritto proprio 9, strappando un applauso di vivo stupore (si spera). Giustificazione: Giustificazione: 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 10x – x = 9x 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 10x – x = 9x Il risultato finale è un multiplo di 9; un numero è divisibile per 9 se la sua somma è divisibile per 9. Il risultato finale è un multiplo di 9; un numero è divisibile per 9 se la sua somma è divisibile per 9.

55 Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici


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