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Marco Bortoluzzi. Sappiamo che una grandezza è una proprietà che può essere misurata, si può cioè assegnarle un valore seguito da una unità di misura.

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1 Marco Bortoluzzi

2 Sappiamo che una grandezza è una proprietà che può essere misurata, si può cioè assegnarle un valore seguito da una unità di misura e la misurazione si può eseguire con uno strumento di misura appropriato. Esempi di grandezze: lunghezza, tempo, temperatura, massa, peso, velocità … Non sono grandezze: la bellezza, la bontà, la simpatia …

3 Una grandezza è costante se il suo valore rimane invariato, cioè non cambia (ad es. laltezza di una casa, la distanza tra due luoghi, il peso di un oggetto …) Una grandezza è variabile se il suo valore varia, si modifica, quindi cambia (ad es. la temperatura esterna, indice della borsa, soldi incassati in un supermercato …)

4 Quando una grandezza varia, il suo variare può dipendere da unaltra grandezza anchessa variabile. Tra le due grandezze si stabilisce un legame, in quanto una di esse DIPENDE dallaltra e questo legame si chiama FUNZIONE Ad esempio: la temperatura esterna dipende dallora del giorno la temperatura esterna è funzione dellora del giorno, il peso di un oggetto è funzione del suo volume …

5 Se una grandezza varia e il suo variare non è casuale, ma dipende da quello di unaltra grandezza (e quindi una è funzione dellaltra) allora quella che dipende si chiama variabile dipendente y mentre la grandezza che varia ma in modo autonomo si chiama variabile indipendente x. Una funzione in cui y dipende da x si indica: y = f(x) [y è funzione di x, y varia al variare di x, …]

6 Una funzione si dice EMPIRICA se non segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante rilevazione di dati (facendo un esperimento, misurando i valori …). Esempi di funzioni empiriche sono - la temperatura in funzione del mese dellanno, - i soldi incassati dal negozio in funzione del giorno, - la quantità di pioggia caduta in funzione del mese dellanno considerato …

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8 Una funzione si dice MATEMATICA se segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante operazioni matematiche che si fanno sulla variabile indipendente x. Ad esempio il perimetro di un quadrato (y) è funzione del lato (è sempre il quadruplo), la spesa per dei quaderni del costo di 2 euro luno in funzione del numero di quaderni comprati (sempre il doppio del numero dei quaderni …)

9 y = 2x significa che il valore di y dipende dalla x nel senso che y è il doppio del valore corrispondente di x y = 3x +2 il valore di y si ottiene facendo il triplo di x e poi aggiungendo 2 y = 4 / x il valore di y si ottiene dividendo il numero 4 per il valore di x corrispondente

10 Ho la funzione y = f(x) Ad esempio y = 2x +1 Disegno il I quadrante del piano cartesiano Costruisco la tabella dei valori Scelgo alcuni valori di x (di solito in modo opportuno) e ricavo i valori di y corrispondenti A questo punto rappresento i punti nel piano e li unisco … ottenendo il grafico della funzione.

11 y x Rappresentazione grafica della funzione matematica y = 2x +1 Si vede che unendo i punti ottenuti dalla tabella dei valori si ottiene una semiretta che parte dal punto (0,1)

12 Due grandezze sono direttamente proporzionali quando: se una raddoppia anche laltra raddoppia, se una triplica anche laltra triplica, se una si dimezza anche laltra si dimezza … in questo caso il rapporto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè k = y / x In questo caso k si chiama costante di proporzionalità diretta la funzione è y = k·x e il grafico è quello di una semiretta che parte dallorigine degli assi O (0,0)

13 Il perimetro di un triangolo equilatero è direttamente proporzionale al lato del triangolo y = 3xdove y (perimetro) e x (lato) Se raddoppio il lato il perimetro raddoppia es. se il lato è 3cm il perimetro è12 cm; se il lato è 6 cm il perimetro è 24 cm. La spesa per lacquisto di giornalini in funzione del numero di giornalini acquistati (se un giornalino costa ad es. 6 ) y = 6x dove y (spesa) e x (numero giornalini) Se i giornali sono 4 la spesa è 24; se sono 8 la spesa è 48 Esempi di grandezze direttamente proporzionali

14 Si vede che se aumenta x, aumenta anche y nel senso che se x raddoppia y raddoppia, se x quadruplica y quadruplica (es. se x va da 2 a 4, y va da 6 a 12 …) Si osserva che per ogni coppia di valori il rapporto tra y e x è sempre lo stesso, è costante: k = y/x quindi k = 3 Allora la funzione è y = 3x e il grafico è quello di una semiretta che parte da O(0;0) y x

15 Due grandezze sono inversamente proporzionali quando: se una raddoppia laltra si dimezza, se una triplica laltra diventa un terzo, se una diventa un quinto laltra diventa cinque volte di più e così via… in questo caso il prodotto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè h = y x In questo caso h si chiama costante di proporzionalità inversa la funzione è y = h/x e il grafico è quello di un ramo di iperbole che scende (se x aumenta y diminuisce) e tende a toccare entrambi gli assi senza raggiungerli

16 La base e laltezza di un rettangolo sono inversamente proporzionali se si vuole mantenere larea uguale. Ad esempio un rettangolo di area 60 m 2 può avere base 1 cm e altezza 60 cm, ma se raddoppio la base a 2 cm laltezza deve dimezzarsi 30 cm, se triplico la base 3 cm laltezza diventa un terzo 20 cm (160, 230, 320..) Il numero di giorni per costruire un muretto è funzione del numero di operai secondo una proporzinalità inversa: se 1 operaio ci impiega 12 giorni, 2 operai 6 giorni… Il tempo impiegato per andare da un posto ad un altro è funzione della velocità: se raddoppio la velocità il tempo diventa la metà, se dimezzo la velocità il tempo diventa il doppio … Esempi di grandezze inversamente proporzionali

17 Si vede che se aumenta x, diminuisce y nel senso che se x raddoppia y si dimezza, se x triplica y diventa un terzo (es. se x va da 1 a 2, y va da 12 a 6 …) Si osserva che per ogni coppia di valori il prodotto tra y e x è sempre lo stesso, è costante: h = y·x quindi h= 12 Allora la funzione è y = 12/x e il grafico è quello di un ramo di iperbole ) y x

18 Le funzioni quadratiche sono funzioni in cui il valore di y dipende dal quadrato di x, quindi da x 2 La funzione quindi avrà questa forma: y = a x 2 dove a è un numero intero o frazionario … Esempio: area di un quadrato in funzione del lato y = x 2 (l=3cm, A= 9cm 2 ; l=4 cm, A = 16 cm 2 …) Si ottiene una curva detta arco di parabola.

19 Si vede che se aumenta x, y aumenta con il quadrato di x In questo caso y = x 2 e il grafico è quello di un ARCO DI PARABOLA y x


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