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1 Ferdinando Arzarello Cristina Sabena Controllo logico e controllo semiotico nelle attività matematiche Università di Torino SFIDA Torino 22 Maggio 2009.

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1 1 Ferdinando Arzarello Cristina Sabena Controllo logico e controllo semiotico nelle attività matematiche Università di Torino SFIDA Torino 22 Maggio 2009

2 Il ruolo cruciale delle risorse semiotiche nei processi di argomentazione e problem solving Il problema di ricerca Strumenti di analisi: Aspetti logici: il modello di Toulmin Aspetti semiotici: (il modello del semiotic bundle) Arzarello, F. (2006). Semioss as a multimodal process. Relime Vol Especial, Toulmin, S. (1975). Gli usi dellargomentazione. Torino: Rosemberg & Sellier. ( ). The uses of argument. Cambridge/New York: Cambridge University Press.

3 Il modello di Toulmin Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda.

4 Claim : the statement of the argument Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda. Il modello di Toulmin

5 Claim : the statement of the argument Data : facts supporting the claim Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda. Il modello di Toulmin

6 Claim : the statement of the argument DC since W Data : facts supporting the claim Warrant : rule that connects data to the claim Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda. Il modello di Toulmin

7 Qualifier : the strength provided by the warrant Rebuttal : exception to the rule of the warrant Backing : grounding of the warrant Il modello di Toulmin

8 Warrant : a man born in Bermuda will be a British subject Data : Harry was born in Bermuda Claim : Harry is a British subject Rebuttal : unless he has become a naturalised American… Qualifier : presumably… Backing : on account of the British laws D Q C W R B Il modello di Toulmin

9 …il punto dinizio dei nostri studi sarà la pratica logica (Toulmin, 1975, p. 9). Lobiettivo è caratterizzare ciò che può essere chiamato il processo razionale, le procedure e le categorie usando le quali si possono discutere e dirimere le pretese in generale (ibid., p. 10). Il modello di Toulmin In che senso si tratta di unanalisi ti tipo logico?

10 Osservazione: Lanalisi condotta da Toulmin ed il suo schema sono pensati per analizzare non come si raggiungono le conclusioni, ma come le si stabilisce sostenendole con unargomentazione: …. Il modello di Toulmin Non vogliamo, in generale, in questi saggi trattare dei modi in cui di fatto raggiungiamo le nostre conclusioni […] In questo saggio, ad ogni modo, non ci interessa come si raggiungono le conclusioni ma come le stabiliamo sostenendole con unargomentazione (ibid., p. 19). Nelle nostre analisi, invece, noi usiamo il modello di Toulmin proprio per analizzare i processi argomentativi, nonché processi di problem solving, ….

11 In letteratura: -Pedemonte, ESM 2006: modello di Toulmin combinato con il modello di Balacheff per studiare continuità e distanze tra argomentazione e dimostrazione. -Inglis, Mejia-Ramos & Simpson, ESM 2007; Jahnke, ZDM 2008: importanza del modello completo per analizzare le argomentazioni matematiche, in quanto saper gestire qualifier e rebuttal fa parte della competenza matematica. -… Il modello di Toulmin

12 ANALISI SEMIOTICA Noi consideriamo come segni (nel senso di Peirce) un ampio spettro di risorse, nel modello del semiotic bundle: sistema dinamico di segni (includendo drawings, symbols, words, gestures, …) prodotto dai soggetti coinvolti (studenti, insegnante) In matematica, nel risolvere problemi e argomentare è fondamentale avere competenza semiotica, ossia nel trattamento di sistemi semiotici, e nel passare dalluno allaltro (Duval parla di trattamenti e conversioni).

13 13 Classe: I Liceo Scientifico, verifica di un percorso sullaspetto grafico, sulle primitive di funzioni, in cui avevano risolto in gruppo problemi simili Francesca, Emanuela, Daniele stesso gruppo CASE STUDY 1 Il disegno mostra i grafici di: una funzione f, la derivata di f, una primitiva di f. Identifica il grafico di ogni funzione, giustificando la risposta. Task: F E D

14 metti che sia una derivata… da qua a qua…decresce questa è la primitiva …aspetta… e non ce nè nessuna che… …quindi questa è una primitiva osservare la corrispondenza tra i grafici

15 15 Emanuela 3 CLAIMS DATI WARRANTS

16 16 Emanuela Modalità osservativa Modalità logico- deduttiva Livello meta- cognitivo

17 17 Emanuela Mondo ipotetico Realtà fattuale

18 Dinamica complessa dellargomentazione: da un livello osservativo ad una strutturazione via via più generale Dialettica tra aspetti logici e semiotici. Emanuela Strutturazione ricorsiva del modello di Toulmin

19 Francesca CLAIM WARRANT BACKING markers linguistici per ciascun passaggio DATI

20 Argomentazione fortemente strutturata Consapevolezza di tale struttura. CONTROLLO LOGICO COMPETENZA LOGICA Francesca

21 21 Il Backing: E molto generale sono sottintese relazioni logiche di equivalenza kit logico per risolvere i problemi di quel tipo crescenza - decrescenza positivo - negativo CONTROLLO LOGICO

22 Sia dato il seguente grafico di una funzione y = f(x) Che cosa si può dire del grafico della funzione che descrive, al variare di x, come variano le pendenze delle tangenti al grafico di f nel punto (x, f(x))? Giustificate le vostre risposte. Attività di gruppo in classe II Liceo Scientifico CASE STUDY 2

23 Tre studenti : Luca, Marco, and Roberto Selezione di due episodi 1)una refutazione riuscita 2)una refutatione mancata

24 Primo episodio: una refutazione riuscita

25 25 1a 1b

26 Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo lequazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 1a

27 Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo lequazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 1a DC since W La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione

28 Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo lequazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 1a La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione Possiamo ottenere la funzione pendenza DC since W

29 Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo lequazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 1a La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione Possiamo ottenere la funzione pendenza DC since W Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali

30 Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo lequazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 1a La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione Possiamo ottenere la funzione pendenza DC since W Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali Sulla base di quanto abbiamo fatto nellattività precedente (limiti di rapporti incrementali)

31 31 Di conseguenze, il problema è riuscire a risalire ad una funzione polinomiale… 1b

32 … e per questo, inizialmente avevamo pensato di prendere le coordinate di alcuni punti della funzione al fine di calcolarne le differenze e scoprire di che tipo di funzione si trattasse, 1b

33 ma ci è impossibile per 2 motivi: - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze 1b

34 ma ci è impossibile per 2 motivi: - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze 1b DC since W Non possiamo avere lequazione della funzione

35 ma ci è impossibile per 2 motivi: - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze 1b - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti DC since W Non possiamo avere lequazione della funzione

36 ma ci è impossibile per 2 motivi: - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze 1b DC since W Per avere lequazione ci servono le coordinate esatte di molti punti - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti Non possiamo avere lequazione della funzione

37 La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione Primo episodio: una refutazione riuscita Le risorse semiotiche intervengono in modo fondamentale nelle argomentazioni 1a e 1b: 1b 1a La funzione data è polinomiale e ne conosciamo lequazione - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti - non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti - ci servirebbero troppi punti Non possiamo avere lequazione della funzione

38 Primo episodio: una refutazione riuscita COMPETENZA E CONTROLLO SEMIOTICO COMPETENZA E CONTROLLO LOGICO Consapevolezza di tale struttura. La refutazione avviene a livello di pratiche e tecniche collegate ai segni in gioco.

39 Secondo episodio: una refutazione mancata

40 Linsegnante suggerisce di concentrarsi sul registro grafico; Registrazione degli zero e del segno della funzione pensenza Gli studenti individuano i punti stazionari; Linsegnante suggerisce di organizzare tale informazione in un piano cartesiano; Gli studenti producono un diagramma:

41 Gli studenti intendono quindi descrivere la crescenza della funzione pendenza: 2. Muove la mano nellaria a mimare il grafico 1. pointing sul secondo flesso del grafico 1. Roberto: Qui pressappoco è costante 2. Luca: No, partiamo di qua (pointing sulla prima parte del grafico). Qui non è che decresce? Cioè, decresce sempre meno. Sì, guarda! 3. Marco: la pendenza…fa così, in teoria… 3. mette la mano sul foglio a mimare una tangente

42 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. Completano il diagramma:

43 Registrazione degli zeri e del segno della funzione pendenza Registrazione della crescenza/descrescenza della funzione pendenza,, : collegamenti tra le due rappresentazioni la funzione data Diagramma della funzione pendenza

44 44

45 decresce sempre meno negativa Raggiunge zero contraddizione Perchè gli studenti non individuano tali contraddizioni? Perchè in questo caso non emerge alcuna refutazione?

46 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero.

47 DC since W La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero.

48 DC since W Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero

49 La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero DC since W Regola di inferenza: se due fatti sono veri ciascuno per conto loro, essi sono veri anche insieme Falso Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero.

50 Gli studenti confondono proprietà del grafico dato (il quale invero decresce sempre meno e raggiunge zero, nella sua parte iniziale) con quelle del grafico della funzione pendenza. Possibile interferenza del significato quotidiano del termine pendenza. 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero.

51 Agli studenti manca un uso adeguato delle risorse semiotiche utilizzate: languaggio e gesti sono entrambi usati in modo fuorviante: - mancano degli strumenti per distinguere i riferimenti ai due grafici; - entrambi potrebbero fare riferimento al significato quotidiano di pendenza; il diagramma suggerito dallinsegnante è utilizzato senza adeguate pratiche e techiche ad esso associate Una refutazione mancata DEBOLE CONTROLLO SEMIOTICO

52 dim logica dim semiotica 1 episodio Competenza (liv cognitivo) Controllo (liv meta-cogn) Competenza (liv cognitivo) Controllo (liv meta-cogn) scarso assenteforte scarso refutazione mancata refutazione riuscita CASE STUDY 2 2 episodio

53 Prime conclusioni Un controllo ad entrambi i livelli logico e semiotico risulta necessario per portare a termine correttamente processi argomentativi in matematica. Processo dialettico tra un controllo semiotico e controllo logico. Lanalisi semiotica risulta complementare al quadro di Toulmin per analizzare i processi argomentativi.

54 Questioni aperte: indipendenza o interdipendenza? Indipendenza: si possono avere casi in cui sia presente un controllo a livello semiotico ma non a livello logico? Interdipendenza: un controllo di tipo logico è favorito da un controllo (non solamente una competenza) a livello semiotico? O viceversa? … Grazie


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