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Sismica Applicata La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni. La nozione elementare di sforzo.

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Presentazione sul tema: "Sismica Applicata La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni. La nozione elementare di sforzo."— Transcript della presentazione:

1 Sismica Applicata La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni. La nozione elementare di sforzo è legata al bilancio delle azioni interne, fra le differenti parti di un corpo, in un determinato punto interno ad esso. Sia ΔS una porzione di superficie, di normale n, attorno al punto P. Si può definire: stress in P sulla superficie Principi fisici: sforzi Lo stress su ΔS ha 2 componenti, una normale ed una tangenziale Si può dimostrare che gli sforzi su qualunque ΔS passante per P sono noti se sono note le componenti di sforzo su tre piani (ortogonali), ovvero sulle facce di un cubo elementare: tensore di sforzo: ove per lequilibrio: p yx =p xy, etc cioè vi sono solo 6 componenti indipendenti x z y P yz P yx P yy F FnFn n S FtFt P t principi fisici

2 Sismica Applicata Principi fisici: deformazioni Considerando due punti P (x, y, z) e Q (x+dx, y+dy, z+dz) di un solido non deformato, per uno spostamento s (u i, v j, w k ) di P in P (x+u, y+v, z+w), Q si sposta di s+ds finendo in Q (x+dx+u+du,...), ove ds (du, dv, dw) si può esprimere come: Le nove derivate costituiscono un tensore che può essere scomposto in due componenti, una simmetrica ed una antisimmetrica; solo quella simmetrica corrisponde a deformazione del materiale: tensore di deformazione: (simmetrico e xy = e yx ) PP s Q Q s+ds principi fisici

3 Sismica Applicata Principi fisici: deformazioni Le tre componenti sulla diagonale principale del tensore di deformazione corrispondono a deformazioni longitudinali, cui corrispondono anche variazioni di volume: u 1 x 1 Infatti la dilatazione cubica, ovvero la variazione relativa di volume, si esprime come: Le tre componenti fuori dalla diagonale corrispondono invece a deformazioni di taglio puro, cui corrisponde una variazione di volume nullo: x 1 u 1 principi fisici

4 Sismica Applicata Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare Un solido elastico è caratterizzato dalla proprietà che la deformazione in qualsiasi punto è nota conoscendo lo sforzo nello stesso punto. Il caso particolare nel quale le componenti della deformazione sono funzioni lineari omogenee delle componenti dello sforzo è chiamato elasticità perfetta, regolata dalla legge di Hooke. Molte delle proprietà delle onde sismiche sono descritte in maniera soddisfacente dalla legge di Hooke. Per uno stato di tensione monoassiale: p xx e xx E E : modulo di Young (p yy = p zz = 0) E e yy E e zz ν p xx ν : rapporto di Poisson = e zz / e xx ν e xx E Se lo stato di tensione è pluriassiale, vale la seguente equazione (p yy, p zz 0) E e ii = (1+ ) p ii (p xx + p yy + p zz ) ma essendo si ha: ove sono note come costanti di Lamè principi fisici

5 Sismica Applicata Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare È quindi possibile scrivere la legge di Hooke, in un sistema di riferimento qualsiasi, in forma tensoriale, nel seguente modo: ove ik : delta di Kronecker, ik = 0 (i k); ik = 1 (i = k). Costanti elastiche (1) Modulo di Young [Pa]: se tutte le componenti di stress sono nulle salvo quella agente lungo lasse 1 E= e 11 /P 11 P 22 = 0 (2)Rapporto di Poisson [-]: nelle stesse condizioni di carico: ν= -e 22 / e ν <0.5 (in pratica 0 ν <0.5) P 11 principi fisici

6 Sismica Applicata Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare (3)Modulo di taglio (o seconda costante di Lamè) [Pa]: = p 12 /(2 e 12 ) (4) Modulo di deformazione uniassiale [Pa]: in condizioni di deformazione laterale impedita: e 22 =0; (5)Modulo bulk [Pa]: lega la dilatazione cubica con linvariante di sforzo P = p 11 +p 22 +p 33 : (6)Prima costante di Lamè [Pa]: λ definita in precedenza. Nota: M = +2 NB!: per definire un mezzo elastico lineare bastano DUE delle sei costanti, le altre si ricavano con formule algebriche. p 12 P 11 P 22 0 principi fisici

7 Sismica Applicata Principi fisici: onde P Sostituendo la Legge di Hooke per mezzi isotropi nellequazione del moto (F= m a) otteniamo: (*) prendendo la divergenza di entrambi i membri dellequazione (*) si ottiene: che è lequazione delle onde per la propagazione della dilatazione cubica, con velocità: Questa è la dimostrazione che le onde di compressione esistono e si muovono con la velocità in qualsiasi solido isotropo ed elastico. Le onde di compressione sono note come onde P, onde longitudinali o dilatazionali. principi fisici

8 Sismica Applicata Principi fisici: onde S Prendendo il rotore di entrambi i membri dellequazione (*) e ricordando che si ha: che è lequazione donda della propagazione di una perturbazione rotazionale, con velocità Questa è la dimostrazione della possibilità della propagazione di onde trasversali o rotazionali in un corpo elastico ed isotropo, che si muovono con velocità. Esse sono note come onde S, onde rotazionali o trasversali o di taglio. Considerando la propagazione dei fronti donda a grande distanza dalla sorgente, le onde possono essere considerati polarizzate su di un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Le componenti orizzontali del moto delle particelle di tali onde, che costituiscono onde polarizzate su di un piano orizzontale, sono chiamate SH, mentre, nel caso verticale, prendono il nome di SV. Nota: (1) α>β, ( 2 ) cioè le onde di compressione sono più veloci delle onde di taglio (2) In fluido le onde S non si trasmettono, essendo questo caratterizzato dallavere il modulo di taglio nullo (μ=0) principi fisici

9 Sismica Applicata Principi fisici: onde P ed onde S Onde P Onde S principi fisici

10 Sismica Applicata Principi fisici: energia delle onde sismiche Lenergia delle onde sismiche diminuisce con la distanza percorsa a causa di tre fenomeni: (1)Divergenza sferica (2)Attenuazione intrinseca (frizione) (3)scattering (1) Divergenza sferica: si consideri un onda sferica sinusoidale: Lenergia cinetica per unità di volume è: Lenergia cinetica si trasforma in elastica e viceversa: lenergia totale è: e lintensità di energia che attraversa la superficie unitaria è: Data la simmetria sferica e la conservazione dellenergia: ovvero: principi fisici

11 Sismica Applicata Principi fisici: energia delle onde sismiche (2) assorbimento intrinseco unonda piana in un mezzo dissipativo e dispersivo avrà unequazione del tipo: Si definisce Fattore di Qualità il rapporto (f=frequenza, λ=lunghezza donda, v=velocità) La definizione de Fattore di qualità si basa sul fatto che sperimentalmente γ è proporzionale alla frequenza, per cui il prodotto γλ è una costante (adimensionale). Q risulta un parametro proprio del mezzo, e Q -1 è lattenuazione per lunghezza donda. Tipicamente γ= 0.02÷0.16 dB/lunghezza donda, da cui: Q=20 ÷ 150 principi fisici

12 Sismica Applicata Principi fisici: energia delle onde sismiche 1.ka<<1, mezzo quasi omogeneo, le eterogeneità sono troppo piccole per essere viste, ma producono unattenuazione apparente 2.ka 0.1, la lunghezza donda è ancora grande rispetto alle eterogeneità, ma queste producono diffusione dellenergia (scattering di Rayleigh), è il caso più comune 3.ka=0.1÷10, le eterogeneità sono di grandi dimensioni (p.es. in discariche) e lo scattering si manifesta come un sovrapporsi di segnali confusi (scattering di Mie) (3) scattering Lenergia delle onde si riduce anche per effetto di riflessioni e diffrazioni causate da eterogeneità lungo il percorso. Lo scattering si classifica in base al rapporto fra la lunghezza donda λ e la dimensione media delle eterogeneità a, ovvero al prodotto ka, dove k è il numero donda: sorgente principi fisici

13 Sismica Applicata Principi fisici: Principio di Huygens Il fronte donda è ogni superficie nei cui punti londa che si propaga sia in fase. Il principio di Huygens afferma che ogni punto su una superficie donda può essere considerato una sorgente secondaria di onde sferiche. Il nuovo fronte donda è dato dallinviluppo delle onde sferiche. Usando il principio di Huygens è facile comprendere i meccanismi di riflessione, rifrazione e diffrazione. Tuttavia invece di considerare la propagazione seguendo i fronti donda è spesso più facile tracciare raggi ortogonali ai fronti donda, per cui la propagazione delle onde viene spesso rappresentata tramite percorsi di raggi. sorgenti secondarie nuovo fronte donda originario principi fisici

14 Sismica Applicata Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati Lanalisi viene usualmente condotta tramite onde piane. In ogni strato omogeneo valgono le equazioni donda (P ed S). Ad ogni interfaccia devono essere soddisfatte due condizioni: (1)equilibrio degli sforzi, normali e tangenziali (2)congruenza degli spostamenti, normali e tangenziali In modo empirico, la riflessione e la rifrazione ad ogni interfaccia può essere studiata usando il Principio di Huygens. 1 2 principi fisici

15 Sismica Applicata Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati La rifrazione delle onde sismiche allinterfaccia è governata dalle velocità delle onde nei due mezzi. La legge di Snell descrive la relazione geometrica fra raggio incidente e raggio rifratto: La legge di Snell si può dimostrare p.es. usando il Principio di Huygens. La legge di Snell descrive anche la riflessione allinterfaccia. Se londa riflessa è dello stesso tipo di quella incidente (p.es. P e P, o S ed S), allora langolo di riflessione è uguale a quello incidente. La legge di Snell si può anche esprimere in termini di una costante detta parametro del raggio p, costante lungo lo stesso raggio. 1 2 principi fisici

16 Sismica Applicata Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati Passando da un mezzo più lento ad uno più veloce, il raggio si allontana dalla normale. Per la legge di Snell: Se v 2 >v 1, esiste un angolo di incidenza tale per cui langolo di rifrazione è pari a 90°. Questo angolo di incidenza è detto angolo critico.Per angoli di incidenza superiori, tutta lenergia (relativa a quel tipo di onde) viene riflessa. (1) se v 2 >v 1 (2) se v 2

17 Sismica Applicata Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati La ripartizione dellenergia allinterfaccia dipende dal contrasto di velocità e dellangolo di incidenza. P.es. per unonda P ad incidenza normale: Coefficiente di riflessione Coefficiente di trasmissione A incid A rifl A trasm 1 2 Z i =ρ i v i è detta impedenza acustica del mezzo i-esimo; contatto R arenaria/calcare 0.20 tipica interfaccia superficiale tipica interfaccia profonda fondo oceanico soffice 0.33 fondo oceanico duro 0.67 oceano/atmosfera (da sotto) base dellareato 0.68 nota che se R<0, questo indica uninversione di fase dellonda riflessa è detta principi fisici

18 Sismica Applicata Principi fisici: diffrazione principi fisici tempo distanza

19 Sismica Applicata tv/2 t 0 v/2 xx z=t 0 v/2 NMO DIFFRAZIONE OFFSET = 0 RIFLESSIONE OFFSET ZERO

20 Sismica Applicata Principi fisici: onde di superficie Un caso particolarmente interessante è considerare come mezzo superiore il vuoto. Si consideri ancora una perturbazione contenente componenti di P e di SV. Si osserva la generazione di onde di superficie dalla interferenza costruttiva di onde di corpo in connessione con la superficie libera. La condizione al contorno è che le componenti di stress si annullino per z=0. Le onde che si generano hanno velocità e compresa tra 0 e β (velocità delle onde S nel mezzo); tali onde sono smorzate esponenzialmente allaumentare di z. [Onde simili si propagano allinterfaccia fra due mezzi e si chiamano Onde di Stoneley] Queste onde si chiamano Onde di Rayleigh o Ground Roll. principi fisici

21 Sismica Applicata Principi fisici: onde di Rayleigh Il moto delle particelle è ellittico, retrogrado alla superficie, progressivo in profondità. Sia il moto orizzontale che quello verticale decadono esponenzialmente con la profondità. piano nodale principi fisici

22 Sismica Applicata Principi fisici: onde di Rayleigh Lenergia di una sorgente superficiale (p.es. un maglio) viene convertita per 2/3 in onde di Rayleigh. Per convertire un maggior % di energia in onde di volume (P e S) la sorgente (esplosivo) va interrata, spesso in pozzetti profondi anche qualche decina di metri. La velocità delle onde di Rayleigh è circa uguale al 90% della velocità delle onde S nello stesso mezzo. Le onde di Rayleigh in un mezzo omogeneo sono non dispersive (ovvero la velocità non dipende dalla frequenza). principi fisici

23 Sismica Applicata Principi fisici: onde rifratte criticamente Abbiamo visto che se un mezzo più lento sta sopra un mezzo più veloce, esiste un angolo di incidenza critico. Lenergia corrispondente viaggia con incidenza radente nel mezzo più veloce e ogni punto dellinterfaccia può ritrasmettere energia nel mezzo a velocità più bassa. Sfruttando il principio di Huygens si ricostruisce facilmente langolo di emergenza per i piani a fase costante re-irradianti energia, uguale a quello critico. Nota che la teoria delle onde piane non prevede che ci sia energia trasportata secondo queste traiettorie. Il paradosso trova soluzione se si considera che i fronti donda sono curvi. SP h principi fisici

24 Sismica Applicata Principi fisici: tipiche velocità Materiale Aria Acqua Petrolio suolo superficiale Neve Ghiaccio in ghiacciai (funzione della temperatura) Sabbia sciolta non satura Sabbia sciolta satura Morena Sabbia r ghiaia superficiale Sabbia r ghiaia a 2 km di profondità Argilla Permafrost Arenaria Calcare soffice Calcare duro Dolomia salgemma Gesso Argilliti Graniti Basalti Gabbro Serpentinite Gneiss Marmo V p (m/s) principi fisici

25 Sismica Applicata Principi fisici: tipiche velocità I fattori preponderanti che controllano la velocità delle onde sismiche sono: 1. porosità (che dipende dalla profondità) 2. Contenuto di fluidi Dalla porosità deriva la densità bulk (complessiva) della roccia ρ b, nei cui termini è espressa la relazione di Gardner: ove a è una costante empirica. Molto nota è lequazione cosiddetta di media temporale o di Wyllie (1958): ove è la porosità, V è la velocità della roccia, V f è la velocità del fluido, V m è la velocità della matrice solida. Esistono moltissime relazioni semi-empiriche che legano velocità con altre grandezze (porosità, fluidi, saturazione, temperatura, profondità, etc). In ogni caso queste relazioni vanno intese come linee guida di prima approssimazione. principi fisici

26 Sismica Applicata Principi fisici: percorsi del segnale sismico e del rumore ONDA DARIA C RIFLESSIONE V 2, 2 AREATO V W SUB-Areato V SW BASAMENTO RIFRATTE GROUND ROLL RIVERBERAZIONI DIRETTA RICEVITORI principi fisici

27 Sismica Applicata Principi fisici: percorsi del segnale sismico riflessioni Le dromocrone principi fisici


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