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ALLINEATI e COMPATTI verso l'INFINITO Le Pierangiolate n.3 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta.

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1 ALLINEATI e COMPATTI verso l'INFINITO Le Pierangiolate n.3 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta

2 PROBLEMA r s A' CBA C'B' Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s. Analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C. Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. L Il triangolo LMN: 1) è sempre rettangolo, 2) è sempre equilatero, 3) ha sempre area 0, 4) non è mai isoscele. M N cioè i 3 punti sono sempre allineati VA DIMOSTRATO!! Siano r,s due rette parallele.

3 TEOREMA di PAPPO Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s. Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. e analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C. Allora i 3 punti L, M, N sono sempre allineati. Siano r,s due rette paralelle. Pappo di Alessandria Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Pappo fu uno dei più importanti matematici del periodo tardo ellenistico. Della sua vita si conosce ben poco e anche le date della sua nascita e della sua morte sono assai incerte. Sembra accertata solo la data del 320, anno intorno al quale egli ha scritto un commento all'Almagesto di Tolomeo. Si ritiene inoltre che fosse un insegnante. Le sue opere sono in gran parte andate perdute; l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

4 TEOREMA di PAPPO r s CBA L M N A' C'B' dimostrazione y = 0 y = 1 (a,0) (c',1)(b',1) (c,0)(b,0) (a',1) retta AB' x - a y = b' - a retta A'By = a' - b x - b { aa' - bb' a - b + a'- b' a - b L = a - b + a'- b', () analogamente... aa' - cc' a - c + a'- c' a - c M = a - c + a'- c', () cc' - bb' c - b + c'- b' c - b N = c - b + c'- b', () allineamento di tre punti

5 TEOREMA di PAPPO r s CBA L M N A' C'B' dimostrazione y = 0 y = 1 (a,0) (c',1)(b',1) (c,0)(b,0) (a',1) aa' - bb' a - b + a'- b' a - b L = a - b + a'- b', () aa' - cc' a - c + a'- c' a - c M = a - c + a'- c', () cc' - bb' c - b + c'- b' c - b N = c - b + c'- b', () allineamento di tre punti aa' - bb'a - b + a'- b' aa' - cc'a - c + a'- c'a - c cc' - bb'c - b + c'- b'c - b a - b si calcola il determinante di () viene 0

6 TEOREMA di PAPPO r s BA A'B' (2,0) (6,1) (5,0) (9,1) aa' - bb' a - b + a' - b' = = 0 a - b L = a - b + a'- b', () aa' - cc' a - c + a'- c' a - c M = a - c + a'- c', () cc' - bb' c - b + c'- b' c - b N = c - b + c'- b', () dimostrato! Tutto sistemato. O FORSE NO? cosa succede se questo denominatore si annulla? IL PUNTO L SPARISCE! caso concreto: a - b + a'- b' le due rette sembrano parallele

7 TEOREMA di PAPPO r s BA A'B' (a,0) (b',1) (b,0) (a',1) aa' - bb' quando a - b + a' - b' = 0 a - b L = a - b + a'- b', () cosa succede se questo denominatore si annulla? a - b + a'- b' retta AB' x - y = b' - a retta A'B 1 b' - a a x - y = a' - b 1 b cioè b' - a = a' - b hanno lo stesso coefficiente angolare C'(c',1) C (c,0) M N la retta MN è parallela alle precedenti (VERIFICARE!) le due rette sono parallele il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele

8 TEOREMA di PAPPO r s BA A'B' (a,0) (b',1) (b,0) (a',1) aa' - bb' quando a - b + a' - b' = 0 a - b L = a - b + a'- b', () cosa succede se questo denominatore si annulla? a - b + a'- b' cioè b' - a = a' - b C'(c',1) C (c,0) M N la retta MN è parallela alle precedenti il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele due rette parallele si incontrano in un punto all'infinito... va all'infinito la retta MN passa ancora per il punto L! ancora vale!

9 TEOREMA di PAPPO aa' - bb'a - b L = a - b + a'- b', () aa' - cc' a - c + a'- c' a - c M = a - c + a'- c', () cc' - bb' c - b + c'- b' c - b N = c - b + c'- b', () cosa succede se DUE denominatori si annullano? a - b + a'- b' a - b + a'- b' = 0 a - c + a'- c' = 0 sottraggo la seconda dalla primac - b + c'- b' = 0 anche il terzo denominatore si annulla: se due dei punti L,M,N "vanno all'infinito", anche il terzo "va all'infinito" A C'B'A' CB ABA'B' è un parallelogramma CBC'B' è un parallelogramma CAC'A' è un parallelogramma XX O O ?

10 INTERSEZIONE E RETTE PARALLELE r1r1 P1P1 r4r4 r3r3 r2r2 P5P5 P4P4 P3P3 P2P2 r5r5 r6r6 P 6 non c'è, sul piano è andato "all'infinito" talvolta i punti di intersezione si "volatilizzano" non c'è una "legge di conservazione dell'intersezione" o forse di qua? lassù Il piano non è un ambiente compatto: ci sono successioni di punti i cui limiti sembrano uscire fuori dall'ambiente

11 ambiente compatto ogni successione ha una sottosuccessione che ha limite 0101 intervallo aperto intervallo chiuso non compattocompatto retta reale (non compatta) anche una sfera è compattauna circonferenza è compatta negli ambienti compatti è possibile fare ragionamenti al limite ) ][ (

12 che bello sarebbe poterli vedere questi punti all'infinito... Pappo, Pappo... ci penso io! ECCOLO! il punto all'infinito APPLAUSI orizzonte

13 ma chi sarebbe questo tizio? Piero della Francesca (Sansepolcro, 1416 circa – Sansepolcro, 12 ottobre 1492) pittore e matematico. Tra le personalità più emblematiche del Rinascimento, le sue opere sono mirabilmente sospese tra arte, geometria. La sua attività può senz'altro essere caratterizzata come un processo che va dalla pratica pittorica, alla matematica e alla speculazione matematica astratta. Il De prospectiva pingendi ("Della prospettiva del dipingere") è un trattato sulla prospettiva scritto da Piero. La datazione dell'opera è incerta e in ogni caso legata alla tarda maturità dell'autore, tra gli anni sessanta e ottanta del Quattrocento, entro il Il manoscritto originale, ricco di illustrazioni, è alla Biblioteca Ambrosiana di Milano. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

14 Piero della Francesca è stato un precursore della Geometria Prospettica, oggi detta Geometria Proiettiva. Nella Geometria Proiettiva, una retta (quella dell'orizzonte) funziona come se si trovasse all'infinito, per cui due rette parallele si incontrano in un punto della linea d'orizzonte. orizzonte visione dall'altovisione prospettica Nel trattato di Piero della Francesca si spiega come le costruzioni geometriche del piano normale si possono ripetere nel piano proiettivo, con la retta dell'orizzonte.

15 A C'B'A' CB TEOREMA di PAPPO orizzonte A C' B'A' CB LMN L, M, N sono ancora allineati! ?funziona

16 TEOREMA di PAPPO orizzonte A C' B'A' CB LMN L, M, N sono ancora allineati! funziona Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i punti all'infinito, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. Se guardo l'orizzonte del mare, però, più che una retta, mi sembra un cerchio ma è un cerchio di raggio infinito, quindi è come una retta.

17 LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA

18

19 Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i punti all'infinito, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. è l'unica compattificazione possibile del piano? NO! Oppure si può introdurre un UNICO punto all'infinito che vada bene per tutto (compattificazione di Alexandrov) Ad esempio, si possono mandare all'infinito la x e la y separatamente. sfera Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i punti all'infinito, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. punto all'infinito

20 PadreEterno e quaggiù che c'è? diavolo o qua? e qua?

21 SFERA: compattificazione di Alexandrov del piano tutto tornerebbe meglio...

22 un momento! Non correte troppo e le coordinate? Renato Cartesio (Renè Descartes) Nacque il 31 marzo 1596 a La Haye nella Touraine, da famiglia della nobiltà di toga. Fu educato nel collegio dei gesuiti a La Flèche. In seguito Cartesio poté viaggiare per tutta l'Europa, dedicandosi agli studi di matematica e di fisica. Nel 1628 si stabilì in Olanda per godervi di quella libertà filosofica e religiosa che era propria del paese. La condanna di Galilei del 22 giugno 1633 lo sconsigliò dal pubblicare un'opera, nella quale egli sosteneva la dottrina copernicana. In seguito pensò di divulgare almeno alcuni risultati che aveva raggiunti; e così nacquero i tre saggi la Diottrica, le Meteore e la Geometria ai quali premise una prefazione intitolata Discorso del metodo, e che pubblicò a Leyda nel INel 1649 egli cedette ai ripetuti inviti della regina Cristina di Svezia di andare a stabilirsi presso la sua corte. Nell'ottobre egli giungeva a Stoccolma; ma nel rigido inverno nordico si ammalò di polmonite e l'11 febbraio 1650 moriva. Enciclopedia Multimediale delle Scienze Filosofiche

23 un momento! Non correte troppo e le coordinate? Come mettere coordinate ai punti all'infinito? r s BA A'B' (a,0) (b',1) (b,0) (a',1) C'(c',1) C (c,0) M N aa' - bb'a - b L = a - b + a'- b', ( se questo denominatore si annulla, L va all'infinito. a - b + a'- b' ) Anche se va all'infinito, il punto L può essere visualizzato nel piano proiettivo. Ma non possiamo dargli coordinate, perchè non si può dividere per zero.

24 Già: ma perchè non si può dividere per zero? Una volta, 3 meno 5 non si poteva fare. Poi hanno inventato i numeri negativi, e ora si può fare. Una volta, 2 diviso 7 non si poteva fare. Poi hanno inventato le frazioni, e ora si può fare. Una volta, certi segmenti non si potevano misurare. Poi hanno inventato i numeri reali, e ora tutti i segmenti possono essere misurati. Una volta, la radice quadrata di -1 non si poteva fare. Ma hanno inventato i numeri complessi, e ora si può fare. Mettiamo una buona volta 1/0 =, e non se ne parla più! Allora: perchè non si può dividere per zero? vogliamo 1/0

25 si comporta male, come numero. In particolare, non si integra bene con le operazioni e la legge distributiva. 1 = 0 0 = = (0 + 0) = 0 = = Allora: perchè non si può dividere per zero? Dovendo necessariamente scegliere, preferiamo tenerci la legge distributiva e buttiamo via dagli insiemi numerici. Va bene. Ma allora, queste coordinate? distributiva 2 =

26 Coordinate proiettive (Schulpforta, 17 novembre 1790 – Lipsia, 26 settembre 1868) è stato un matematico e astronomo tedesco. Era discendente di Martin Lutero per parte di madre. Si iscrisse all'Università di Lipsia, all'inizio seguendo i corsi di legge secondo i desideri della famiglia, poi seguendo la sua inclinazione, frequentando corsi di matematica, astronomia e fisica. Nel 1813 si trasferì a Gottinga per studiare astronomia con Gauss nel suo osservatorio. Nel 1816 divenne, molto giovane, professore straordinario su una cattedra di astronomia e meccanica superiore all'Università di Lipsia. Möbius fu il primo matematico ad introdurre le coordinate omogenee in geometria proiettiva. August Ferdinand Möbius

27 Coordinate proiettive (7,4)(1,1) 1...(1,0) 1 0 punto all'infinito PROBLEMI. 1) Ogni punto della retta proiettiva ha due coordinate. 2) Poiché 7/4 = 14/8, i punti (7,4) e (14,8) coincidono. Più in generale, tutti i punti della forma (7k, 4k) coincidono. 3) Poiché (-1,0) = -(1,0), il punto all'infinito dalla parte negativa coincide con quello della parte positiva. punto all'infinito

28 e sul piano? P = (, 1 ) 5 2 = (, ) = ( 5, 2, 2 ) equazione della retta y= mx + q y z x z = m + q y = mx + qz punti all'infinito z = 0 Ex. Punto all'infinito della retta y= 3x + 6z pongo z = 0ottengo y = 3x cioè il punto (x, 3x, 0) = x ( 1, 3, 0) y = 2x + 2z y = 2x + z rette parallele { z = 0 y = 2x { punto all'infinito x (1, 2, 0) intersezione è una retta!!! OKOK equazione della retta proiettiva

29 TEOREMA di PAPPOdimostrazione aa' - bb' a - b + a'- b' a - b L = a - b + a'- b', () aa' - cc' a - c + a'- c' a - c M = a - c + a'- c', () cc' - bb' c - b + c'- b' c - b N = c - b + c'- b', () allineamento di tre punti nel piano proiettivo aa' - bb'a - b + a'- b' aa' - cc'a - c + a'- c'a - c cc' - bb'c - b + c'- b'c - b a - b si calcola il determinante di ( ) viene 0 = (aa' - bb', a - b, a - b + a' - b') = (cc' - bb', c - b, c - b + c' - b') = (aa' - cc', a - c, a - c + a' - c') punti allineati dimostrazione valida anche per rette parallele

30 r s A' C B A C' B' L M N TEOREMA di PAPPO vale qualunque siano le rette di partenza

31 A' B A C' B'C punti generici punti su conica Pappo non vale Pappo vale

32 cosa hanno in comune? equazione di secondo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 y = mx + q y = m'x + q' (y - mx - q)(y - m'x - q') = 0 ancora un'equazione di secondo grado unione

33 coniche orizzonte iperbole parabola ellisse

34 xy = 1 xy = 0 xy = insieme di tutte le coniche coppia di rette non è compatto sta nella compattifi- cazione iperbole Il Teorema di Pappo vale quando i 6 punti stanno su una conica, comprese le coniche spezzate in due rette, che stanno nel bordo della compattificazione

35 fine della storia? MAGARI! in realtà siamo solo a metà strada cosa succede al teorema di Pappo, quando due punti vanno a coincidere? punti su conica A B' A' C' C B per esempio quando B' va a coincidere con A? che fine fa la retta AB'? = B' retta tangente Pappo vale

36 ma ho barato! 0 0 un numero tale che, moltiplicato per 0, mi dà 0 MA TUTTI I NUMERI, moltiplicati per 0, DANNO 0!!! 0 0 è una FORMA INDETERMINATA mancano i dati sufficienti per una risoluzione del problema e la sostanza cambia! A = B' x - a y = b' - a retta AB' il coefficiente angolare viene

37 Quando due dei sei punti coincidono, ce la possiamo cavare specificando che devono stare su una conica Ma quando 3 o più punti coincidono, anche la conica diventa indeterminata, e stavolta mancano dati per davvero ABBIAMO COMPATTIFICATO TROPPO! Stavolta il problema consiste nel DECOMPATTIFICARE il problema, per poi RICOMPATTIFICARLO in maniera meno stretta. caso super-limite A = B = C = A' = B' = C' ???

38 pensate che capire come descrivere le collisioni di punti sia un aspetto marginale della Matematica? I Fisici studiano cosa avviene nella collisione di atomi, per capire la strutttura della materia Gli esseri viventi come noi originano dalla collisione di due frammenti di DNA Ma tutto l'Universo nasce da una grande decompattificazione di un punto: il Big Bang Italo Calvino - Le Cosmicomiche Tutto in un punto Isaac Asimov - Il meglio di Asimov Palla da biliardo

39 All'alta fantasia, qui mancò possa hic sunt leones confine della Matematica

40 GRAZIE PER L'ATTENZIONE


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