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GEOMETRIA EUCLIDEA. UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI.

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Presentazione sul tema: "GEOMETRIA EUCLIDEA. UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA EUCLIDEA

2 UNITA 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

3 GEOMETRIA Può essere INTUITIVARAZIONALE

4 INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI

5 LA NATURA DELLA GEOMETRIA Che cosè la geometria?cosè Qual è loggetto di studio della geometria?loggetto di studio Quali sono le origini della geometria?origini Qual è il metodo della geometria?metodo

6 La geometria è larte di fare i ragionamenti giusti sulle figure sbagliate. Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le componenti essenziali della geometria: il ragionamento (logico) deduttivo; i ragionamenti giusti; lintuizione concreta; il riferimento alla realtà; le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.

7 figure … o … immagini mentali figureimmagini mentali Le figure non sono il vero oggetto dello studio della geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentali (vero oggetto di studio della geometria) che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le forme degli oggetti reali. Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei significati che noi conveniamo di attribuire loro, di cui noi vogliamo caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono sempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per rappresentare un particolare concetto astratto, allora possono essere un utile guida per i nostri ragionamenti logico deduttivi.

8 Le radici della geometria Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol diremisura della terra), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dellutilità pratica.

9 Il metodo ipotetico deduttivo Se loggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo dindagine della geometria devessere diverso da quello del fisico, basato sullosservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio). La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli Elementidi Euclide. Euclide

10 Chi è più lungo Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF? TS AB CD E F

11 E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi delle apparenze!apparenze TS AB F

12 GEOMETRIA RAZIONALE Parte da CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Definiti mediante

13 CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA (TEOREMI) Da cui si deducono Mediante definizioni Mediante dimostrazioni

14 EUCLIDE … chi?! Considerata la fama degliElementi e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria dEgitto, nellaccademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Ma …Elementi temperamento

15 … GENTILE, MA … DECISO Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Alessandria laccademia nota come il Museo e che chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina allallievo perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara

16 STRUTTURA DEGLI ELEMENTIELEMENTI DEFINIZIONI DEFINIZIONI DEFINIZIONI ASSIOMI ASSIOMI ASSIOMI POSTULATI POSTULATI POSTULATI I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE I-VI VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI VII-IX X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI X XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA XI-XIII ED IL METODO DI ESAUSTIONE XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI XIV-XV

17 DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

18 Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo

19 Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo Aristotele ASSIOMA:ASSIOMA gli assiomi o nozioni comuni devono essere convincenti di per se stessi, sono verità comuni a tutte le scienze (dal greco axios, degno di credibilità) POSTULATO:POSTULATO i postulati sono meno evidenti e non presuppongono lassenso dellallievo, poiché riguardano soltanto la disciplina in questione (dal latino postulare, richiedere) I matematici moderni non fanno alcuna differenza essenziale fra un assioma e un postulato differenza essenziale fra un assioma e un postulato

20 Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di : COMPATIBILITA (non devono contraddirsi luno con laltro) INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate delluno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dellaltro)

21 ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTI RETTE PIANI P r

22 ASSIOMI - Su di una retta esistono infiniti punti - Due punti distinti determinano una retta ed una sola che li contiene - I punti della retta sono ordinati secondo due versi o sensi opposti luno allaltro. In ciascuno di questi due versi della retta non vi è né primo né ultimo punto; inoltre tra due qualsiasi punti distinti di essa esistono altri punti intermedi AB

23 - Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette - La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano -Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta determinano un piano ed uno solo che li contiene

24 GEOMETRIE EUCLIDEE Le geometrie Euclidee accettano vero il postulato di Euclide: Per un punto P esterno ad una retta r passa una ed una sola retta parallela alla retta data P r

25 Diverse sono state nella storia della matematica le formulazioni del V postulato, citiamo ad esempio la seguente: date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto; Nella tradizione didattica moderna il V postulato è in genere sostituito dall'assioma di Playfair: Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data.

26 Il postulato delle parallele

27 ALCUNE DEFINIZIONI SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto : origine delle semirette O

28 SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti I punti vengono detti gli estremi del segmento AB

29 Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto Segmenti ADIACENTI : due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta SEGMENTI PARTICOLARI A B C A B C

30 SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano r

31 ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi lorigine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

32 Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento dellaltro ( 180 °) Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°) ANGOLI PARTICOLARI

33 Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto

34 Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni luno il prolungamento dellaltro

35 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati delluno sono i prolungamenti dellaltro

36 CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente allaltro a b a + b

37 a b Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, laltro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore. a < b

38 CONFRONTO E SOMMA DI ANGOLI CONVESSI Dati due angoli convessi la loro somma è langolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo allaltro

39 Angolo ottuso Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

40 Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

41 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Angoli supplementari: Due angoli si dicono supplementari se: α + β = 180° (es. angoli adiacenti)

42 Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Angoli complementari: Due angoli si dicono complementari se: α + β = 90°

43 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

44 Gli angoli possono misurarsi in : 1) gradi : un grado è la novantesima parte di un angolo retto 2) radianti : un radiante è la misura di un angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggio Relazione tra misure degli angoli espresse in gradi (α )e radianti ( r ) 360° : 2π = α : r da cui r = π α / 180 o α = 180 r /π se α < 90° ( π/2) = angolo acuto se α = 90° ( π/2) = angolo retto se α > 90° ( π/2) = angolo ottuso se α = 180° ( π) = angolo piatto se α = 360° (2 π) = angolo giro MISURA DI ANGOLI

45 PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONE Moritz PASCH ( ) Lezioni sulla nuova geometria, 1882.PASCH Giuseppe PEANO ( ) Principii di geometria, 1889PEANO Giuseppe VERONESE ( ) Fondamenti di geometria, 1891VERONESE David HILBERT ( ) Grundlagen der geometrie, 1899HILBERT

46 HILBERT … chi?! David Hilbert ( ), matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo considerano il più grande matematico del suo tempo soprattutto per limportanza da lui data allidea di struttura. Konigsberg I pregi dei Grundlagenpregi La curva di Hilbertcurva di Hilbert I 23 problemi di Hilbertproblemi di Hilbert Grundlagen der GeometrieGrundlagen

47 LERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulle Geometrie Non Euclidee(G.N.E.) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo).Geometrie Non Euclidee falso teorema Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi allacostruzione dei fondamenti della geometria euclidea e di altre geometrie che potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi trentanni del XIX secolo.costruzione dei fondamenti

48 STRUTTURA DEI GRUNDLAGENGRUNDLAGEN SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE CONNESSIONE 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO ORDINAMENTO 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA CONGRUENZA ASSIOMA DELLE PARALLELE ASSIOMA DELLE PARALLELE PARALLELE 2 ASSIOMI DI CONTINUITA 2 ASSIOMI DI CONTINUITA CONTINUITA

49 POLIGONALE Una figura formata da più segmenti disposti consecutivamente di definisce poligonale Poligonale aperta Poligonale chiusa Poligonale intrecciata

50 POLIGONO PARTE DI PIANO COMPRESA IN UNA POLIGONALE CHIUSA NON INTRECCIATA

51 CONGRUENZA FIGURE CONGRUENTI SE SONO SOVRAPPONIBILI


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