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Lezione n° 13: 27-28 Aprile 2009 Teoria della dualità: - Teorema forte della dualità - Teorema degli scarti complementari Anno accademico 2008/2009 Prof.

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1 Lezione n° 13: Aprile 2009 Teoria della dualità: - Teorema forte della dualità - Teorema degli scarti complementari Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 2. Teorema (forte) della dualità Se (P) e (D) ammettono soluzione ottima finita, allora per ogni ottimo x * per (P) esiste una soluzione ottima w * per (D) tale che La dimostrazione del Teorema della dualità forte evidenzia che il valore della soluzione ottima di (D) corrispondente alla soluzione ottima di (P) vale

3 Dim.Sia B la base associata a x * quindi Se allora e Dimostriamo che è ammissibile per (D):

4 Poichè è la condizione di ottimalità per (P) (problema di minimizzazione), è verificata lammissibilità. Per la dualità debole è estremo superiore per (D), quindi la soluzione ammissibile per cui è ottima per (D).

5 La base B è ottima per (P) e per (D). Siano infatti X e W rispettivamente gli insiemi delle soluzioni ammissibili per (P) e (D)

6 una sol. di base per (P) la corrispondente per (D)

7 lammissibilità per (P) lammissibilità per (D) (vera sempre) sono le (n-m) condizioni di ottimalità (costi ridotti) di (P)

8 La base B è ottima se e sono rispettivamente ammissibili per (P) e (D).

9 l Solo in corrispondenza dellottimo dalla base B ammissibile per (P) si ottiene una soluzione ammissibile per (D) (che in particolare è anche ottima). l Ad una generica iterazione del simplesso dalla base corrente per (P) si può costruire un vettore che non è soluzione di (D). l Tale vettore è detto dei MOLTIPLICATORI DEL SIMPLESSO e compare nel calcolo dei coefficienti di costo ridotto (problema di min):

10 Il Teorema dello scarto complementare (Complementary Slackness Theorem) Consideriamo la coppia di problemi (P) e (D) in forma canonica e trasformiamoli in forma standard

11 Ad ogni variabile di (P) è associato un vincolo di (D) e quindi la corrispondente variabile di slack e viceversa. 3. Teorema della slackness complementare Data la coppia di soluzioni x e w rispettivamente ammissibili per (P) e (D), x e w sono ottime per (P) e (D) se e solo se dovea j è il vettore riga j-esima di A a i è il vettore colonna i-esima di A


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