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Lezione n° 4: 16-17 Marzo 2009 Problemi di Programmazione Matematica - Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi - Forma Canonica. Forma Standard - Rappresentazione.

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1 Lezione n° 4: Marzo 2009 Problemi di Programmazione Matematica - Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi - Forma Canonica. Forma Standard - Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità Anno Accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 Programmazione Matematica Lineare Problema di Programmazione Matematica (PM) (problema di ottimizzazione) max f(x) s.t. funzione obiettivo scalare vettore delle variabili decisionali insieme delle soluzioni ammissibili

3 Un problema di PM è lineare quando: l linsieme X è espresso in termini di relazioni (uguaglianze e disuguaglianze) lineari l la funzione obiettivo è lineare X variabili x continue Programmazione Lineare Continua (PL) variabili x intere Programmazione Lineare Intera (PLI)

4 Problemi di Programmazione Lineare: Forma Canonica Consideriamo un problema di Programmazione Lineare (PL) con m vincoli ed n variabili in Forma Canonica di minimo: dove: l x è il vettore nx1 delle variabili decisionali l c è il vettore nx1 dei coefficienti della funzione obiettivo l b è il vettore mx1 dei termini noti dei vincoli l A è la matrice mxn dei coefficienti dei vincoli; A=[a ij ], i=1,...,n, j=1,...,m

5 Problemi di Programmazione Lineare: Forma Standard di minimo Condizione: b 0

6 Inoltre, si assumono soddisfatte le seguenti ipotesi: - m

7 Lipotesi m

8 Qualunque problema di PL può essere trasformato in un problema equivalente in forma standard.

9 Formulazioni equivalenti: Esempio Funzione Obiettivo

10 Formulazioni equivalenti: Vincoli

11 Formulazioni equivalenti: Vincoli di disuguaglianza in vincoli di uguaglianza Variabile di slack (variabile fittizia)

12 Formulazioni equivalenti: Variabili

13 Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità: Esempio

14 (1) (2) (3) X

15 Un problema di PL può essere: 1.Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili) 2.Ammissibile con valore ottimo finito: 2.1 unico punto di ottimo 2.2 infiniti punti di ottimo 3. Ammissibile con valore ottimo illimitato

16 Da un punto di vista grafico: Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili): la regione di ammissibilità è lisieme vuoto X1X1 X2X2

17 Da un punto di vista grafico: Ammissibile con valore ottimo finito: regione di ammissibilità è diversa dallinsieme vuoto, è chiusa e limitata X

18 Ammissibile con valore ottimo illimitato: in questo caso la regione di ammissibilità è un insieme non vuoto e illimitato (n.b., una soluzione con valore ottimo illimitato implica un insieme di ammissibilità X illimitato, ma non è vero il viceversa) Da un punto di vista grafico: (X illimitato) X


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