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Le trasformazioni Daniele Marini. 2 Concetti Spazio affine Coordinate omogenee Matrici Traslazione, Scala, Rotazione, Shear Prodotto matrice-vettore colonna.

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Presentazione sul tema: "Le trasformazioni Daniele Marini. 2 Concetti Spazio affine Coordinate omogenee Matrici Traslazione, Scala, Rotazione, Shear Prodotto matrice-vettore colonna."— Transcript della presentazione:

1 Le trasformazioni Daniele Marini

2 2 Concetti Spazio affine Coordinate omogenee Matrici Traslazione, Scala, Rotazione, Shear Prodotto matrice-vettore colonna

3 3 Richiami di geometria affine Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori Campo scalare e operazioni prodotto vettore per scalare Spazio affine, due nuove operazioni: –addizione vettore - punto; –sottrazione punto-punto

4 4 Richiami di geometria affine

5 5

6 6 Trasformazioni affini Rappresentate tramite matrici Più trasformazioni possono essere combinate moltiplicando le rispettive matrici tra loro, creando una sola trasformazione Una trasformazione si ottiene in generale combinando trasformazioni lineari (rotazioni, scala e shear) seguite da una traslazione

7 7 Trasformazioni affini La trasformazione affine conserva le rette, sia A una generica trasformazione, scriviamo in funzione del parametro t un segmento tra i punti p 0, p 1 Siccome descriviamo poliedri mediante i vertici, le facce e gli spigoli, questa proprietà ci garantisce che possiamo trasformare soltanto i vertici: la relazione lineare tra punti e la topologia della struttura non cambiano.

8 8 Definizione degli oggetti Gli oggetti possono essere definiti in un proprio sistema di riferimento locale: i vertici delloggetto sono definiti rispetto a un orientamento proprio e naturale un oggetto complesso può essere decomposto in elementi più semplici col proprio riferimento locale e in seguito assemblato aggregando oggetti elementari un oggetto può essere istanziato più volte Per assemblare una scena e istanziare più oggetti si applicano le trasformazioni affini, che cambiano il riferimento locale

9 9 Tipi di oggetti base Punti –E definita loperazioni di differenza tra punti: produce un vettore Vettori, corrispondono allentità linea –Sono definite le operazioni sopra ricordate Sono definite le operazioni tra punti e vettori sopra ricordate

10 10 Tipi di oggetti base - 2 Piani: estensione della rappresentazione parametrica della retta; t,w sono parametri, P, Q ed R sono tre punti, con i quali possiamo identificare un piano; la retta tra P,Q si può scrivere: S(t)=tP+(1-t)Q la retta tra S e R si può ora scrivere: V(w)=wS+(1-w)R Combinando le due equazioni: V(t,w)=w(tP+(1-t)Q)+(1-w)R

11 11 Tipi di oggetti base - 3 Questa può essere considerata come equazione del piano per i tre punti P,Q,R: V(t,w)=P+w(1-t)(Q-P)+(1-w)(R-P) Q-P ed R-P sono due vettori u v, da cui V(t,w)=P+t u +w v Il piano può anche essere definito da un punto e due vettori non paralleli. Se 0t1 e 0w1 tutti i punti di V(t,w) sono interni al triangolo PQR Il vettore ortogonale a u e v è n = u x v quindi lequazione del piano può anche essere scritta come: n.(P-Q)=0

12 12 Sistemi di coordinate e sistemi di riferimento (frame) Quanto detto finora è indipendente da uno specifico sistema di coordinate La definizione di una base di vettori linearmente indipendenti e unitari permette di identificare un sistema di coordinate Se definiamo i tre versori con una medesima origine identifichiamo un sistema di riferimento (frame)

13 13 Un frame standard Lo spazio può essere orientato in due modi: –mano sinistra: avvolgete la mano allasse x e puntate il pollice verso x a sinistra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso lalto –mano destra: avvolgete la mano allasse x e puntate il pollice verso x a destra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso lalto In OGL sono definiti molti frames: –Object o model frame –World frame –Eye (camera) frame –Clip coordinates –Normalized device coordinates –Window (screen) coordinates Il passaggio da un frame allaltro avviene tramite trasformazioni

14 14 Cambiamento di riferimento Un cambiamento del sistema di riferimento consiste nel cambiare la base di vettori ortonormali La nuova base può essere espressa come combinazione lineare della vecchia base: –Vecchia base: v 1 v 2 v 3 –Nuova base: u 1 u 2 u 3 u 1 =a 11 v 1 +a 12 v 2 +a 13 v 3 u 2 =a 21 v 1 +a 22 v 2 +a 23 v 3 u 3 =a 31 v 1 +a 32 v 2 +a 33 v 3 a ij sono i coefficienti delle combinazioni lineari per esprimere la nuova base in funzione della vecchia Le equazioni non sono altro che il risultato del prodotto della matrice dei coefficienti per la vecchia base

15 15 Cambiamenti di riferimento Questi cambiamenti di riferimento lasciano invariata lorigine: se vogliamo traslare lorigine, non possiamo rappresentare il cambiamento con una matrice di 3x3 elementi. I cambiamenti di base possibili in questo modo sono quindi solo: rotazioni o scala (o shear)!

16 16 Classi di trasformazioni

17 17 Trasformare gli oggetti Le trasformazioni agiscono trasformando i vertici delloggetto nel sistema di riferimento originale, o come cambiamento di sistema di riferimento Denotiamo i vertici (punti) come vettori colonna v R, T e S rappresentano gli operatori di rotazione, traslazione e scala Il punto trasformato è quindi: v = v + T traslazione v = S v scala v = R v rotazione

18 18 Coordinate omogenee Spazio di classi di equivalenza: ogni punto in coordinate cartesiane 3D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w: Il passaggio dallo spazio omogeneo allo spazio 3D: solitamente si sceglie w=1

19 19 Coordinate omogenee In alto: il generico punto (x,y,z) in coordinate omogenee corrisponde a un unico punto sul piano z=1 In basso: loperazione di somma in coordinate omogenee dei vettori u,v genera il vettore con estremo in R, che corrisponde anche alla somma in coordinate omogenee dei punti P, Q.

20 20 Coordinate omogenee Utilizzando le coordinate omogenee le trasformazioni necessarie alla modellazione possono essere espresse come matrici 4x4, e lapplicazione di una trasformazione a un punto si riduce a un prodotto vettore-matrice In particolare la traslazione viene espressa come

21 21 Traslazione

22 22 Rotazione

23 23 Rotazione rotazione attorno allorigine rotazione attorno al centro delloggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare

24 24 Scala

25 25 Trasformazioni inverse Denotiamo le inverse come: T -1, S -1, R -1 La traslazione inversa si ottiene negando i coefficienti di traslazione La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco dei coefficienti La rotazione inversa si ottiene negando langolo di rotazione. Le trasformazioni sono invertibili salvo la scala 0! Nota se M è una matrice ortogonale M -1 = M T

26 26 Trasformazione generica rigida (niente scala!) Una trasformazione rigida generica può essere espressa come la concatenazione di una traslazione e una rotazione

27 27 Trasformazione delle normali La matrice M associata ad un oggetto può essere utilizzata per trasformare punti, linee e poligoni o generici vettori associati a punti di un piano. Però per la trasformazione delle normali deve essere utilizzata la matrice ( M -1 ) T Per capire la ragione notiamo che se n è la normale a un piano e v è un vettore sul piano allora n T v =0, ma questa equazione si può scrivere considerando la matrice di trasformazione M : n T M -1 Mv =0; Ovvero: n T M -1 è la trasposta del vettore normale trasformato Quindi la normale trasformata è la sua anti-trasposta: ( M -1 ) T n

28 28 Composizione di trasformazioni Si possono applicare trasformazioni in successione, moltiplicando in ordine opportuno le matrici (associatività) v=M 2 M 1 v = M 2 (M 1 v) =M 2 v –la trasf. M 1 viene applicata per prima! ricordiamo che il prodotto di rotazioni non è commutativo: R 2 R 1 R 1 R 2

29 29 Composizione di trasformazioni Possiamo applicare a ogni punto separatamente le matrici: (se ho 1000 punti devo applicare le matrici singolarmente per ognuno) Oppure calcolare prima la matrice M: ABC pq M qp C(B(A))

30 30 Le trasformazioni per modellare Da oggetti prototipo a loro istanze Tre trasformazioni nellordine: –Scala –Rotazione –Traslazione M inst =T(R(S))

31 31 Rotazioni: Metodo di Eulero -z y x Yaw - imbardata Pitch - beccheggio Roll - rollio

32 32 Metodo di Eulero Il metodo di Eulero costruisce le trasformazioni come moltiplicazione di matrici di rotazione intorno ai tre assi Linversa della trasformazione può essere calcolata come Purtoppo la rotazione non è commutativa: R 1 R 2 R 2 R 1

33 33 Rotazione di Eulero Sviluppiamo la concatenazione delle tre trasformazioni (scriviamo le matrici 3x3 per semplicità)

34 34 Rotazione attorno a un punto e parallela a un asse Traslare loggetto nellorigine, i coefficienti della traslazione T sono riferiti al punto p Ruotare attorno allorigine di un angolo Traslare inversamente nel punto p M=T -1 RT

35 35 Rotazione intorno ad un asse generico Un altro modo per risolvere il problema è di considerare la rototraslazione nellorigine come un cambiamento di sistema di riferimento, cioè di base ortonormale, eseguendo quindi la rotazione attrono al nuovo asse, ad esempio x. x z y r t s x z y r t s x z y r t s

36 36 Cambiamento di base Sia r lasse di rotazione desiderato, troviamo due nuovi versori ortogonali ad r che definiscono un nuovo riferimento. Per trovare il primo vettore ortogonale a r moltiplico r per uno dei versori del frame originale e x|y|z : ci sono due casi possibili: il nuovo vettore è parallelo a r oppure è ortogonale sia ad r sia ad e x|y|z ad es: r x e x = r x (1,0,0) T =(0,r z,-r y )= v

37 37 Cambiamento di riferimento Moltiplicando scalarmente il nuovo vettore trovato v.v, se è nullo r e e x sono paralleli, si cerca un altro vettore ortogonale a r e y|z Il vettore trovato sia s Il terzo vettore ortogonale a r ed s si determina con il prodotto vettore tra i due

38 38 Rotazione intorno ad un asse generico Il test per valutare il parallelismo tra r ed e x|y|z può essere semplificato come qui indicato Si noti che essendo M ortogonale, la sua inversa è M T

39 39 Gimbal Lock (blocco del giroscopio) Gimbal lock avviene quando le rotazioni sono concatenate in modo tale che un grado di libertà viene perso, ad es quando due assi di rotazione del giroscopio vengono a coincidere. Esempio: –rotazione di 90° intorno allasse z –volendo ruotare ora intorno a x, a causa della rotazione precedente, otterremo una rotazione intorno a y

40 40 Gimbal Lock Se eseguiamo una rotazione di 90° attorno a y otteniamo: Abbiamo perso un grado di libertà!


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