Index Land Surface for Efficient kNN Query Gruppo 2 Riccardo Mascia Roberto Saluto Relatore Roberto Saluto Cyrus Shahabi Lu-An TangSonghua Xing

Obiettivi Necessità di trovare siti più vicini sulla superficie terrestre soprattutto nei casi di aree non pianeggianti Risolvere query in 3-D chiamate Surface k Nearest Neighbor poiché sono effettuate su database geospaziali 3-D che tengono conto dellaltimetria della superficie Progettare una struttura indicizzata su database geospaziali del mondo reale per migliorare velocità e accuratezza delle risposte alle query skNN

Query Surface k Nearest Neighbor Risolvere queste query significa affrontare tre problematiche : 1.Gestione di enormi database contenenti la rappresentazione 3D del modello della superficie 2.Sostenere la complessità di calcolo per la ricerca del più breve percorso di superficie 3.Mancanza di strutture indicizzate della superficie per unesecuzione più rapida di queste query

Approcci Esistenti per query skNN I principali approcci attuali per questo tipo di query sono: 1.Range Ranking che fornisce risposte in modo rapido ma approssimativo 2.CH Algorithm che restituisce risposte precise ma è lento

Concetti di base (1) Per la tecnica 1.Distanza di superficie (Ds) : è la lunghezza del percorso più breve che collega due punti sulla superficie 2.Distanza Euclidea in 3D (De) : è la linea retta che collega due punti

Concetti di base (2) 3.Distanza di rete (Dn): Dato un modello di superfice costruito attraverso TIN (Triangolar Irregular Network), la distanza di rete è la lunghezza del percorso più breve tra due punti, attraverso i lati dei triangoli. TIN è una struttura dati vettoriale basata su triangoli con maglia irregolare, capace di fornire unelevata risoluzione solo dove questa è necessaria

Concetti di base (3) Tra due punti sulla superficie si ha: De Ds Dn quindi De e Dn possono essere considerati rispettivamente il limite inferiore e il limite superiore per Ds

Concetti di base (4) Dato un poliedro, il percorso più breve tra due punti sulla sua superficie è definito dallalgoritmo CH, come la lunghezza della più breve linea retta che collega i due punti, dopo aver dispiegato su un piano tutte le sue facce in diversi ordini

Concetti di base (5) Un diagramma di Voronoi divide uno spazio in celle disgiunte a seconda dei siti. Per ogni punto della query che cade all'interno di una cella, il punto più vicino è il generatore della cella (il sito corrispondente a quella cella). Il confine comune tra due celle di Voronoi vicine è la bisettrice perpendicolare della linea che collega i due siti corrispondenti

Tight Surface Index Gli autori propongono due schemi di indicizzazione spaziale della superficie: Il primo è il Tight Surface Index (TSI) che definisce uno spazio stretto intorno ad un sito p, nel quale ad ogni punto è garantito di avere p come Nearest Neighbor per distanza di superficie

Tight Surface Index Definiamo Tight Cell come una zona poligonale attorno ad un sito pi definito da TC(pi)={q : q T, Dn(pi,q)<De (pj,q) ( pj P, pj pi)} dove pi è chiamato generatore di TC(pi), T è il modello della superficie e P linsieme dei siti Proprietà: per ogni punto query q TC(pi), il Nearest Neighbor di q, calcolato con la distanza di superficie, è pi Quindi il TSI è linsieme delle Tight Cell generate da P TSI(P) = {TC(p1)……TC(Pm)}

Loose Surface Index Per computare lo spazio non coperto dalle tight cell si introduce un nuovo indice Il Loose Surface Index (LSI) definisce uno spazio ampio intorno ad un sito p, allesterno del quale ad ogni punto è garantito di non avere p come suo vicino più prossimo per distanza di superficie Definiamo Loose Cell come zona poligonale attorno ad un sito pi definito da LC(pi)={q:q T, De(pi,q)<Dn (pj,q) ( pj P, pj pi)} dove pi è chiamato generatore di LC(pi), T è il modello della superficie e P linsieme dei siti

Loose Surface Index La Loose Cell di ogni sito contiene completamente la Tight Cell Al sito p è garantito di non essere il Nearest Neighbor di q se q è esterno a LC(pi) Quindi il LSI è linsieme delle Loose Cell generate da P. LSI(P) = {LC(p1)……LC(Pm)} Dato che la TSI e LSI sono generati per lo stesso insieme di siti P, le tight cell e le loose cell devono avere bordi in comune; più in particolare, tutti i confini delle tight cell sono anche i bordi delle loose cell

Loose Surface Index Dato un sito p, i vicini di p sono definiti come NL(p)={pi | TC(pi) ed LC(p) hanno confini in comune} A differenza delle tight cell, le loose cell possono avere delle zone di sovrapposizione, dette aree non classificate

Loose Surface Index Se pi è il punto più vicino di q, allora il più breve percorso di superficie da q a pi è all'interno della Loose Cell LC(pi).

Costruzione Naïve dellindice Illustriamo lapproccio di base per la costruzione del TSI

Costruzione Naïve dellindice

I punti di transizione devono essere sui bordi e la loro distanza di rete da p è uguale al minimo delle sue distanze euclidee da tutti gli altri siti

Costruzione Naïve dellindice Collegando tutti i punti di transizione attraverso la superficie dei triangoli si generano i bordi delle tight cell

Costruzione veloce dellindice La generazione dellindice appena proposta è significativamente complessa perché deve esaminare i vertici di ogni triangolo Si generano i diagrammi di Voronoi per i siti nello spazio euclideo e si individuano i triangoli che sono attraversati dal bordo delle celle di Voronoi Dato un qualsiasi sito p, la sua tight cell si trova dentro la sua cella di Voronoi

Costruzione veloce dellindice I triangoli appena individuati saranno ora esaminati per determinare se sono triangoli di bordo Se non lo sono, si cercano dei triangoli adiacenti allinterno della cella di Voronoi per determinarli Nei triangoli di bordo si determineranno i punti transizione come per lapproccio naïve e quindi si determinerà il bordo della tight cell

Costruzione veloce dellindice Per la costruzione delle Loose Cell lalgoritmo è uguale, tranne nel caso dei triangoli che non sono di bordo per il quale vengono scelti i triangoli, vicini al triangolo non di bordo, meno prossimi al sito

Surface Index R-Tree Gli indici TSI e LSI hanno una complessità tale da non poter essere memorizzate in strutture ad albero classiche come gli R-Tree Vengono allora create delle strutture ad albero basate su R-Tree che possano incorporare questi indici, tali strutture sono chiamate Surface Index R-Tree

Surface Index R-Tree Questa struttura permette di memorizzare nei nodi foglia, oltre al sito, anche i puntatori alla lista dei vertici delle TC e LC. Lalgoritmo oltre ai puntatori memorizza la lista dei siti vicini, il cui numero è costante e limitato per tutti i siti (da esperimenti risulta sempre minore di 10)

Surface Index R-Tree Il SIR-tree è costruito una sola volta per ogni luogo e permette le operazioni di inserimento, cancellazione e aggiornamento 1.locate p in I, find out the loose cell LC(r) containing p; 2.p.neighbor LC(r)s neighbor; 3.compute TC(p) and LC (p); 4.for each site pi in p.neighbor 5. update LC(pj)s edges according to TC(p); 6. update TC(pj)s edges according to LC(p); 7.insert p into I; 8.return I; Algoritmo di inserimento nel SIR-Tree

Surface Index R-Tree

Surface Nearest Neighbor Query Ricerca in profondità nel SIR-Tree del nodo contente il punto di query Restituzione del generatore della tight cell che contiene q, altrimenti : Restituzione dei generatori delle loose cell e attraverso il calcolo del percorso più breve individuazione del vicino più prossimo

Surface Nearest Neighbor Query Per esempio, se cerchiamo il punto di query q1, Lo troviamo nel SIR-Tree nel nodo N1 Verifichiamo se é contenuto in una delle tight cell dei nodi figli di N1 Lo individuiamo in TC(p2) e restituiamo p2 come Nearest Neighbor

Surface Nearest Neighbor Query Se invece cerchiamo q2, lo troviamo nel SIR-Tree in N4 Cerchiamo se è contenuto nelle tight cell dei nodi figli di N4 Non trovandolo lo cerchiamo nelle loose cell Lo individuiamo nella loose cell di p3

Surface Nearest Neighbor Query Controlliamo i vicini in NL(p3) Controlliamo quale loose cell dei vicini contiene q2 Lo individuiamo in LC(p6). Calcoliamo le distanze di superficie Ds(q2,p3) e Ds(q2,p6) La distanza di superficie minore ci restituisce il Nearest Neighbor Ds(q2,p6) Ds(q2,p3)

Surface K Nearest Neighbor Query Aggiunta delle loose cell di tutti i vicini del sito più prossimo determinato come nella Nearest Neighbor Query alla coda di siti candidati Calcoliamo le distanze superficiale di ogni sito, tra il sito candidato e il punto di query nellarea definita dallunione della loose cell del sito con larea formata dalle loose cell dei siti inseriti nella serie dei vicini prossimi già determinati (G) Il sito con distanza minima sarà indicato come successivo vicino e inserito nella serie G, per ogni iterazione dellalgoritmo fino al raggiungimento dei k desiderati

Surface k Nearest Neighbor Query 1.pNearest Neighbor Query(I, q, T); 2.add p to kNN set G; 3.initialize minimum heap H; 4.while(G.size < k) 5.for each neighbor site pi of G; 6. unfold LC(G) U LC(pi) to compute surface distance; 7. add pi to H; 8.end for 9. pdeheap H; 10. add p to G; 11.end while; 12.return G;

Calcolo del DS per un candidato

Analisi delle Prestazioni Si è confrontato lalgoritmo proposto con quelli preesistenti per le kNN Query su un database geospaziale standard fornito dal U.S.Geological Survey su queste due superfici

Efficienza Come si deduce dai grafici lalgoritmo proposto è più veloce e meno oneroso in termini di operazioni di I/O d è la densità di siti sul modello della superficie

Accuratezza Dai grafici si deduce che lalgoritmo proposto anche allaumentare di k rimane preciso al pari del CH Algorithm

Conclusioni Si può concludere che questo algoritmo garantisce: 1.Risposte precise e rapide alle skNN query 2.Effettivo percorso più breve di superficie 3.Risultati incrementali