Errori casuali Si dicono casuali tutti quegli errori che possono avvenire, con la stessa probabilità, sia in difetto che in eccesso. Data questa caratteristica, definiamo errori casuali tutte quelle incertezze sperimentali che possono essere rilevate mediante la ripetizione delle misure. Questi tipi di errore si possono manifestare per svariati motivi: ad esempio a causa della variazione del tempo di reazione da un soggetto ad un altro (e anche per lo stesso soggetto in situazioni diverse), per errori di lettura di indici dovuti ad un non perfetto allineamento tra l'osservatore e la scala graduata o anche per semplici fluttuazioni del sistema in esame attribuibili per esempio a degli sbalzi termici. La loro natura di casualità è proprio legata al fatto che essi hanno un'origine aleatoria e molto spesso temporanea: questo, al ripetersi delle misure, determina sull'evento in esame delle fluttuazioni in modo tale che le misurazioni che si ottengono oscillano attorno ad valore pressochè costante. Ovviamente nel caso in cui sia possibile ripetere le misure l'individuazione di tali errori è abbastanza semplice: inoltre all'aumentare del numero delle misure, le fluttuazioni introdotte tendono a "bilanciarsi" in quanto avvengono sia in difetto che in eccesso con la stessa probabilità.

Errori casuali Vogliamo ora indagare sulla distribuzione dei risultati di misure ripetute della medesima grandezza, nellipotesi che esse siano affette da errori esclusivamente casuali. La densità di probabilità

La distribuzione di Gauss

(1)

La funzione di Gauss per tre diversi valori di h

La distribuzione di Gauss (2)

La distribuzione di Gauss

2.

Distribuzione normale standardizzata (3)

Distribuzione normale standardizzata

Scarto quadratico medio o deviazione standard Scarto quadratico medio Stima più corretta di

Popolazione e campione. Inferenza statistica. Spesso ci si trova di fronte al problema di arrivare a conclusioni valide per un ampio gruppo di individui o di oggetti; in questi casi, invece di esaminare lintero gruppo, detto la popolazione, esame che può comportare notevoli difficoltà o in qualche caso essere perfino impossibile, si può fare ricorso allesame di una piccola parte della popolazione: questa piccola parte viene definita un campione. Il procedimento mediante il quale dallanalisi dei risultati osservati sul campione si perviene a conclusioni relative allintera popolazione è conosciuto come inferenza statistica. Esempi: vogliamo trarre conclusioni circa la statura ( o il peso) di studenti adulti (popolazione) esaminando solo 100 studenti (il campione) estratti dalla popolazione.

Esempi: 1)Vogliamo trarre conclusioni circa la statura media (o il peso) di studenti adulti (popolazione) esaminando solo 100 studenti (il campione) estratti dalla popolazione. 2)Desideriamo trarre conclusioni circa la percentuale di bulloni difettosi costruiti da una certa fabbrica durante i 6 giorni lavorativi di una settimana, esaminando ogni giorno 20 bulloni prodotti in diverse ore della giornata. In questo caso la popolazione sono i bulloni prodotti nella settimana lavorativa, mentre il campione sono i 120 bulloni scelti. Popolazione e campione. Inferenza statistica.

Osservazioni: 1)Il termine popolazione non ha necessariamente il significato che esso possiede nel linguaggio comune; infatti spesso il termine popolazione è usato per denotare osservazioni o misurazioni piuttosto che individui od oggetti. 2)La popolazione può essere finita o infinita; il numero che la definisce sarà detto grandezza della popolazione. Analogamente il numero dei componenti il campione sarà detto grandezza del campione e denotato ad esempio con N.

Mediamente la varianza di un campione di N misure è inferiore alla varianza della intera popolazione per un fattore (N-1)/N. Questo è il motivo per cui, per avere una stima mediamente corretta di, si usa la quantità:

Per calcolare lo scarto quadratico medio può essere utile sfruttare la seguente proprietà:

La distribuzione di Gauss

Deviazione standard della media