Interpolazione e regressione Molto frequentemente si scopre l’esistenza di una relazione sperimentale tra due (o più) variabili ed è allora naturale la ricerca di una espressione matematica di questa relazione sotto forma di un’equazione che leghi fra di loro le variabili in questione.

Interpolazione e regressione Date due variabili X e Y costruiamo un diagramma di dispersione con i loro valori. Se tutti i punti giacciono più o meno su una retta, si dice che tra le variabili esiste una relazione lineare.

Interpolazione e regressione Se i punti stanno su una curva, la relazione è non lineare. Se non c’è relazione fra le variabili diciamo che sono incorrelate:

Interpolazione e regressione Il problema generale di trovare l’equazione di una curva che interpoli certi dati è detto interpolazione. Uno degli scopi principali dell’interpolazione è di stimare una delle variabili (la variabile dipendente) per mezzo dell’altra (la variabile indipendente). Il procedimento di stima è chiamato regressione. Se y deve essere stimata mediante x per mezzo di qualche equazione, chiameremo l’equazione una equazione di regressione di y in x e la corrispondente curva la curva di regressione di y in x.

Interpolazione e regressione In generale esiste più di una sola curva di un certo tipo che interpola l’insieme dei dati. Al fine di evitare l’intervento della valutazione personale nella costruzione di rette, parabole o altre curve interpolatrici è necessario mettersi d’accordo su una definizione della “migliore retta interpolatrice”, “migliore parabola interpolatrice”, e così via.

METODO DEI MINIMI QUADRATI

METODO DEI MINIMI QUADRATI Chiamiamo Dn la deviazione (o errore) fra il valore Yn e il corrispondente valore della curva (positiva o negativa). Una misura della “bontà dell’interpolazione” è la somma D12 + D22 …..+ Dn2

METODO DEI MINIMI QUADRATI La curva avente la proprietà che D12 + D22 …..+ Dn2 è minima è detta migliore interpolante o retta/curva dei minimi quadrati.

METODO DEI MINIMI QUADRATI SY = A N+ B SX SXY = A S X+ B SX2 La prima delle due equazioni si ottiene dalla sommatoria di entrambi i membri di Y = A + B X , la seconda moltiplicando i membri per X e poi facendo la sommatoria.

Caso della parabola

y