Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie

La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi che siano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale degli eventi possibili Px = nx / ntotali Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6 eventi totali possibili = 6 eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numero P1 = 1/6 P2= 1/6 P3 = 1/6 P4 = 1/6 P5 = 1/6 P6 = 1/6

Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15 Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15 Frequenza relativa = numero successi / numero prove f = x / n Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ? F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25 Lancio singolo: eventi possibili = 6 evento favorevole a 4 = 1 P3 = 1 / 6 = 0.1666 4 0.1666/ 1 = x /10000 x = 1666 È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzione anche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento

Simulazione lancio di un dado (1,2,3,4,5,6) Visualizzazione esiti per 400 lanci, ripetuti per 6 volte: totale 2400 lanci Per ogni 400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6 Per 2400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6 Per 2400 lanci si visualizzano percentuali per 1,2,3,4,5,6 :somma = 1 Probabilità per uscita 1,2,3,4,5,6 = 1 / 6 = 0.166 Probabilità risultanti da esperimento (2400 lanci), si approssimano a teoriche 0.164 – 0.171 - 0.161 - 0.164 – 0.172 – 0.165 0.166

Primi 400 lanci del dado

Eseguiti 1200 lanci ( 3 volte 400)

Eseguiti 2400 lanci : 6 volte 400: tabella globale esperimento

Lancio contemporaneo di due dadi E1 = d1 = d2 numeri uguali (11,22,33,44,55,66) = 6 p(E1) = 6/36 E2 = d1 + d2 = 6 (15,24,33,24,15) = 5 p(E2) = 5 / 36 = 5/36 E3 = (E1 ∩ E2 ) = (33) = 1 P(E3) = 1/36 E12=escono due numeri uguali (E1) oppure la somma = 6 (E2) p(E12) = p(E1) + pE2) – p(E3) = 6/36 + 5/36 -1 /36 = 10 /36 = 5 / 18

Lancio contemporaneo di due dadi E1 = non esce numero 1 (25) p(E1) = 25/36 E2 = somma facce = 5 (4) p(E2) = 4/36 E12 = non esce numero 1 (E1) oppure somma due numeri = 5 (E2) E3 = coppie comuni,intersezione (2) p(E3) = 2/36 p(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 25/36 + 4/36 – 2/36 = 3/4

Lancio di un dado: (1,2,3,4,5,6) E1 = esce pari (2,,4,6) =3………………………p(e1) = 3/6 E2 = esce < 5 (1,2,3,4)= 4…………………….p(e2) = 4/6 E3 = in comune , intersezione (2,4) = 2……..p(E3) = 2/6 E12 = esce E1 o E2 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 3 / 6 + 4/6 – 2/6 = 5/6 E1 1 3 2 4 6 E2 E3

Lancio di due dadi: probabilità di ottenere determinate somme con 36 lanci

Osservare andamento diagrammi 200 prove 36 prove Osservare andamento diagrammi

Lancio di un dado S = 6 (1,2,3,4,5,6) Calcola probabilità uscita numero diverso da 2, non minore di 6, non maggiore di 3, non primo E1 = ≠ 2 (1,3,4,5,6) p(E1) = 5 / 6 E2 = non < 6 ( 6 ) p(E2) = 1 /6 E3 = non > 3 (1,2,3) p(E3) = 3 / 6 = 1 / 2 E4 = non primo (2,4,6) p(E4) = 3/6 = 1/2

Esercizi con soluzione uso di probabilità semplice teoremi su probabilità calcolo combinatorio descrizione mediante immagini per didattica medio-elementare

Lancio consecutivo di un dado per due volte = lancio contemporaneo 2 dadi E1 = non esce il 6 ( 1,2,3,4,5) Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D6,2 = 6^2 = 36 Eventi favorevoli = disposizioni con ripetizione Dn,k = D5,2 = 5^2 = 25 Calcola probabilità E1 (esce 1,2,3,4,5) = Pf / Pp = 25 /36

1 2 3 4 5 1 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) 1 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 1 2 3 4 5 >> 3…..5 (2) 1 2 3 4 5 >> 1 …5 (1) 1 2 3 4 5 >> 1…5 ( 0) Doppiette valide = 10 Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

486/38 Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6) n E1 = uscita numero maggiore di 2 (3,4,5,6) P(E1) = 4/6 E2 = uscita numero pari (2,4,6) P(E2)= 3/6 E12 = uscita numero pari o > 2 (2,4,6…3,4,5,6) ..(4,6) P(E12) = 2/6 2 4 6 3 5 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6

486/38 Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6) n E1 = uscita numero maggiore di 3 (4,5,6) P(E1) = 3/6 E2 = uscita numero <6 (1,2,3,4,5) P(E2)= 5/6 E12 = uscita numero >3 o < 6 ((4,5,6)..(1,2,3,4,5))..4,5 P(E12) = 2/6 1,2,3 4 5 6 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 3/6 + 5/6 – 2/6 = 6/6 = 1

Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presenta un evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n Il rapporto tra il numero dei successi e il numero di prove va aumentando con il numero delle prove e il rapporto tra successi e prove si avvicina al valore della probabilità

Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6 Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166

Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale

Ricerca su totale 499 e parziale 399 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 299 e 199 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 99 e 1 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità

D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3 D = evento differenza tra insieme E1 e E2: D = E1 – E2 si verifica quando si presenta E1 ma non E2: formato da elementi di E1 e non di E2 D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3 D={ 1, 2 } E1 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6 E2 = esce numero non inferiore a 3 (3, 4, 5, 6) E1 1 2 3 6 4 5 E2 D B E1 A 1 3 4 2 6 5 E2 D Insieme differenza D : A - B Comprende gli elementi di A che non appartengono a B

A = evento contrario di A formato dagli elementi di X che non appartengono ad A A complementare di A rispetto a X Due eventi sono contrari se uno si verifica quando non si verifica l’altro { 1,2,3 } A= A = esce numero minore di 4 A { 4, 5,6 } B= Non esce A 4 5 6 1 2 3 { 1,2, 3 ,4, 5,6 } X=

Due ( o più) eventi , appartenenti allo stesso insieme di eventi, X, sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro Ed = esce numero dispari (1 3 5) 2 4 6 1 3 5 X Ep = esce numero pari (2 4 6) Ep ∩ Ed = Ø

C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3 C = evento totale o somma logica o unione di E1, E2 se si verifica almeno uno degli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad almeno uno dei due eventi C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3 C={ 1, 3, 5, 6 } E1 = esce numero dispari (1 3 5) 1 5 3 6 4 E2 = esce numero multiplodi 3 (3 6 ) 2 C = E1 U E2 = { 3 } { 1,2,3,4,5,6 } X=

D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6 D = evento composto,prodotto logico,intersezione di E1, E2 se si verificano entrambi gli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad entrambi gli eventi D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6 D={ 1, 3 } E1 = esce numero dispari (1 3 5) 5 1 3 2 2 6 4 E2 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6 D = E1 ∩ E2 = { 1,3 } { 1,2,3,4,5,6 } X=

Lancio di un dado :probabilità che esca numero dispari o 2 pEd = 3/6 pEp = 3/6 pE2 = 1/6 Ed = 1,3,5 Ep = 2,4,6 Ed U Ep = (1,3,5,2) 1 , 3 , 5 2 Unione di due eventi P (Ed U Ep) = 4/6 P (Ed U Ep ) = pEd + pEp = 3/6 + 1/6 = 4/6 Ed U Ep = Intersezione Ed e Ep = insieme vuoto Ed , Ep incompatibili La probabilità della unione di eventi incompatibili (totale) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (A | B) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2 P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A) Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (B | A) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18 P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 ) p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11 Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

Se risulta p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti

Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (A | B) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2 P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A) Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (B | A) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18 P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 ) p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11 Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari Numero oggetti n = 6 (1,2,3,4,5,6) evento x numero pari (2,4,6) = 3 Px = x / n = 3 /6 = 1/2 Dato un mazzo con 40 carte (10 quadri, 10 cuori, 10 fiori, 10 picche) n = 40 calcolare probabilità di estrarre una figura (12 su 40): Pf calcola probabilità di estrarre un asso (4 su 40) :Pa calcola probabilità di estrarre asso rosso (2 su 4):Pr Pf = 12/40 = 3/10 Pa = 4 / 40 = 1 / 10 Pr = 2 / 40 = 1 /20

Lancio di due dadi : eventi possibili = 36: 4-1 4-2 4-3 4-5 4-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 2-1 2-3 2-4 2-5 2-6 3-1 3-2 3-4 3-5 3-6 5-1 5-2 5-3 5-4 5-6 Lanciando un dado, calcola probabilità che esca numero muliplo di 2 oggetti n = 6 evento (2,4,6) = 3 Px = 3/6 = 1/2

Lancio di due dadi : eventi possibili = 36: 4-1 4-2 4-3 4-5 4-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 2-1 2-3 2-4 2-5 2-6 3-1 3-2 3-4 3-5 3-6 5-1 5-2 5-3 5-4 5-6 Probabilità che la somma di due numeri risulti 4 ? Evento (2+2, 1+3, 3+1) = 3….Px = 3 /36 = 1/12 Probabilità che la somma sia minore di 5 ? Evento(1+1,1+2,2+1, 2+2,1+3,3+1) = 6 …Px = 6/36 = 1/6 Probabilità che non esca 1 ? Evento(n azzurri + 2-2 ) = 25…..Px = 25/36 Probabilità che escano due numeri pari ? Evento (….) 9 ….Px = 9/36 = 1/4

Colonne A, B valori dei due dadi colonna D somma valori dei due dadi per ogni lancio colonna E conta comparsa somme uguali per valori d 2 a 12

Somme uguali con stesso colore, diverso per ogni somma Vedi esempio soluzione con excel

Somma < 5 =1/6……due numeri pari = 1/4

25 lanci senza comparsa di 1 Px = 25/36

Programma per trovare lanci senza comparsa di 1

Ricerca probabilità due dadi usando programma su excel