Estrazione Casuale palline

Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2 si estrae una pallina , la si rimette nell’urna, si estrae una seconda pallina Spazio campioni S = [R1, R2, R3, A1, A2] Eventi = 25 1^ estratta, reinserita 2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione Cfr.prossima

P(nessuna azzurra)=9/25 P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25 [R1, R2, R3, A1, A2] P(con due palline azzurre)=4/25 Eventi = 25 R1 R2 A1 R3 A2

S= [R, V, A] Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre Probabilità uscita prima pallina P1, seconda pallina P2 P1r(2/6 = 1/3 P1v(2/6 = 1/3) Prima pallina estratta P1a(2/6 = 1/3) Seconda pallina estratta P2r(2(5) P2r(2/5) P2r(1/5) P2a(1/5) P2a(2/5) P2a(2/5) P2v(1/5) P2v(2/5) P2v(2/5)

Urna con 3 palline rosse e due azzurre Si estrae una prima pallina, non si reinserisce; si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti Numero campioni 5*4 = 20 Prima pallina Seconda pallina P(nessuna azzurra)=6 Determinare alcune probabilità P(una azzurra) = 12 P(con 2 azzurre) = 2

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1-2 azzurre, 3-4 rosse vengono estratte insieme due palline numero oggetti ?n Probabilità che escano due rosse ? Pr probabilità che escano due con lo stesso colore ? Ps probabilità che escano due con colore diverso ? Pd 3 4 1 2 n = 6 2 3 1 3 1 2 1 4 4 2 3 4 Pr = 1/6 3 4 Ps =2/6 = 1/3 1 2 Pd = 4/6 = 2/3 1 3 2 3 1 4 4 2 3 4

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1-2 azzurre, 3-4 rosse vengono estratte insieme due palline numero oggetti ?n Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpd probabilità che escano due con lo stesso colore ,pari? Psp probabilità che escano due con colore diverso ,pari o dispari? Pdppdd 3 4 1 2 n = 6 2 3 1 3 1 2 1 4 4 2 3 4 Pdpd = 2/6 = 1/3 Psp = 0 /6 = 0 Pdppdd = 2/6 = 1/3 1 4 4 2 2 3 1 3

Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = nRosse / nTotale 5 / 10 = ½ = 0.5 PA= nAzzurre/nTotale 5 / 10 = ½ = 0.5 Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y) Eventi favorevoli a X (rossa= = 5 eventi favorevoli a Y (azzurra=5) eventi totali = 10

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = nRosse / nTotale 2 / 10 = 1/5 = 0.2 PA= nAzzurre/nTotale 8 / 10 = 4/5 = 0.8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = nRosse / nTotale 2 / 10 = 1/5 = 0.2 PA= nAzzurre/nTotale 8 / 10 = 4/5 = 0.8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/7 = 0.71 PA= 2/7 = 0.29 Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/11 = 0.45 PA= 6/11 = 0.55 Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete: sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una moneta è decrescente la probabilità di estrarre una determinata moneta P100 > P 50 > P20 manca la possibilità che venga estratta una moneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilità P100 = 7/10 = 0.7 P50 = 2/10 = 0.2 P20 = Px = 0/10 = 0

O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875 Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875

Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore pV = 14 / 56 = 0.25 pA = 14 / 56 = 0.25 pM = 14 / 56 = 0.25 pR = pV = pA = pM = 0.25 S= 56 S = 4 1 R 1 V 1 A 1 M 14 R 14 V 14 M 14 A Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta , rapida: da quale urna sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?

Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60 Estrazione una pallina :calcola probabilità uscita rossa, verde, blu E1 = rossa (5) p(E1) = 5 / 60 = 1 /12 E2 = verde ( 25) p(E2) = 25 / 60 = 5 / 12 E3 = blu (30) p(E3) = 30 / 60 = 1 / 2

Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30 Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu E1 = uscita rossa p(E1)= 15 / 30 = 1/2 E2 = uscita verde p(E2)= 7 / 30 = 7/30 E3 = uscita blu p(E3)= 8 / 30 = 4/15

Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C) Esiti possibili con tre lanci (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3 E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8 Disposizioni con ripetizione P(E1)= 3 / 8 TTC,TCT,CTT

Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30 Estrazione di una pallina calcolare probabilità uscita verde o blu,rossa o blu E1 = esce verde o blu (15,8) p(verde) = 15/30 P(blu) = 8 /30 p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30 E2 = esce rossa o blu (7,8) P(rossa) = 7 / 30 P(blu) = 8 / 30 p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2

p.282 rosa Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse Estrazione contemporanea di 2 palline p1 : 2 nere p2 : nessuna bianca p3 : 2 colore diverso S = x + 5 N = Cs,2 = (x+5)(x+5-1)/2 = (x+5)(x+4)/2 estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2 p1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4) C5,2 = 5*4/2 = 10 p2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4)

Vedi diapositive seguenti per descrizione mediante immagini Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30 Estrazione contemporanea di due palline Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu E1 = due palline blu E2 = due palline verdi E3 = palline rossa e blu Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline : gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso dagli altri per almeno 1 pallina combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn,k = C30,2 C30,2 = 30*29/2 = 435 E1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C16,2 = 16*15/2 = 120 E2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C5,2 = 5*4/2 = 10 E3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB p(E1) = 120 / 435 = 8/29 Vedi diapositive seguenti per descrizione mediante immagini p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87 p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145

Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30 2 3 4 10 9 8 7 6 5 16 15 14 13 12 11 1 1 2 3 4 10 9 8 7 6 5 16 15 14 13 12 11 2 1 1 2 2 Solo ordine diverso:duplicati prendere solo una coppia 1 2 2 1 Con stesso numero:escludere Immaginare di numerare le palline da 1 a 16 Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioni escludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordine escludere coppie con numeri uguali associati (16) coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120

Coppie totali 16*16 = 256 256 – 136 = 120 valide Escludere coppie tra stesso numero= 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 1…16(15) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 2….16(14) Escludere coppie con stessi numeri duplicate 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 136 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 3…16(13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 4…16(12) Contare coppie valide 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 5…16(11) 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 6…16(10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 7…16(9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 8…16(8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 9…16(7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 10…16(6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >>11…16(5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 12…16(4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 13…16(3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 14…16(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 15…16(1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 16..16(0)

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-9 1-10 1-11 1-12 1-13 1-14 1-15 1-16 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15 4-16 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13 5-14 5-15 5-16 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13 6-14 6-15 6-16 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 7-9 7-10 7-11 7-12 7-13 7-14 7-15 7-16 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 8-11 8-12 8-13 8-14 8-15 8-16 9-8 9-9 9-10 9-11 9-12 9-13 9-14 9-15 9-16 10-9 10-10 10-11 10-12 10-13 10-14 10-15 10-16 11-10 11-11 11-12 11-13 11-14 11-15 11-16 13-12 13-13 13-14 13-15 13-16 14-13 14-14 14-15 14-16 15-14 15-15 15-16 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 12-16 16-15 16-16 136 -16 = 120 valide 16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =136 Coppie non duplicate 136 – 16 identiche = 120

1 2 3 4 5 1 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) 1 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 1 2 3 4 5 >> 3…..5 (2) 1 2 3 4 5 >> 1 …5 (1) 1 2 3 4 5 >> 1…5 ( 0) Doppiette valide = 10 Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9 Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa 1 8 7 6 5 4 3 2 9 2 1 8 7 6 5 4 3 9 3 1 8 7 6 5 4 2 9 4 1 8 7 6 5 3 2 9 1 2 3 4 16 5 6 7 8 9 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 (16 B) * (9 R) = 144 BR

488/52 Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a 8 1 8 Estrazione contemporanea di due cubetti 6 4 2 E1 = somma 2 numeri risulta pari 5 7 3 E2 = somma 2 numeri risulta dispari Calcolare p(E1), p(E2) Eventi possibili Cn,k = C 8,2 = 8*7/2 = 28 E1 = 12 p(E1) = 12 / 28 = 3 / 7 E2 = 16 p(E2) = 16 /28 = 4 / 7 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 6-7 6-8 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 4-5 4-6 4-7 4-8 5-6 5-7 5-8 7-8

488/53 Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu Estrazione contemporanea di 2 palline E1 = uscita 2 rosse E2 = uscita 2 blu E3 = uscita rossa, blu S = 10 Calcolare probabilità p(E1), p(E2) , p(E3) Eventi possibili, Cn,k = C 10,2 = 10*9 / 2 = 45 E1 = Cn,k = C6,2 = 6*5/1 15 R1-B1 R1-B2 R1-B3 R1-B4 R2-B1 R2-B2 R2-B3 R2-B4 R3-B1 R3-B2 R3-B3 R3-B4 E2 = Cn,k = C4,2 = 4*3/2 = 6 E3 = 6*4 = 24 p(E1)= 15/45 = 3/15 R4-B1 R4-B2 R4-B3 R4-B4 R5-B1 R5-B2 R5-B3 R5-B4 R6-B1 R6-B2 R6-B3 R6-B4 p(E2) = 6 / 45 = 2/15 p(E3) = 24/45 = 8 /15 Cfr. diapositiva seguente

10*10 = 100 …C10,2 = 10*9/2 = 45 rosa53

r1 r2 r3 r4 r5 r6 r1r1 r2r1 r3r1 r4r1 r5r1 r6r1 r1r2 r2r2 r3r2 r4r2 36 coppie 6*6 C6,2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse 6 da ignorare (stessi numeri) 15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento r1 r2 r3 r4 r5 r6 r1r1 r2r1 r3r1 r4r1 r5r1 r6r1 r1r2 r2r2 r3r2 r4r2 r5r2 r6r2 r1r3 r2r3 r3r3 r4r3 r5r3 r6r3 r1r4 r2r4 r3r4 r4r4 r5r4 r6r4 r1r5 r2r5 r3r5 r4r5 r5r5 r6r5 r1r6 r2r6 r3r6 r4r6 r5r6 r6r6

6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse B1 B2 B3 B4 R1 R1B1 R1B2 R1B3 R1B4 R2 R2B1 R2B2 R2B3 R2B4 R3 R3B1 R3B2 R3B3 R3B4 R4 R4B1 R4B2 R4B3 R4B4 R5 R5B1 R5B2 R5B3 R5B4 R6 R6B1 R6B2 R6B3 R6B4

B1 B2 B3 B4 B1B1 B2B1 B3B1 B4B1 B1B2 B2B2 B3B2 B4B2 B1B3 B2B3 B3B3 C4,2 =4*3/2 = 6 B1 B2 B3 B4 B1B1 B2B1 B3B1 B4B1 B1B2 B2B2 B3B2 B4B2 B1B3 B2B3 B3B3 B4B3 B1B4 B2B4 B3B4 B4B4 4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri) 6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento

Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilità di ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dell’altro Si estrae prima pallina, si rimette nell’urna, si estrae seconda pallina R1 = prima pallina estratta:rossa V2 = seconda pallina estratta :verde pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde pR1 = 3 / 5 pV2 = 2 /5 ∩ E = R1 V2 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi pE = p( R1 ∩ V2) = pR1*pV2 3/5 * 2/5 = 6 /25 P ( A B ) = pA * pB ∩ Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità Eventi interdipendenti

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità Eventi interdipendenti

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto Eventi indipendenti

Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilità di uno dipende dal verificarsi o meno dell’altro Si estrae prima pallina, non rimette nell’urna, si estrae seconda pallina R1 = prima pallina estratta:rossa V2 = seconda pallina estratta :verde pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde pR1 = 3 / 5 pV2 = 2 /4 = 1/2 pV2 = 2 /5 ∩ E = R1 V2 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½ per effetto del verificarsi dell’uscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)

Probabilità condizionata E : uscita come seconda pallina V pD = 2/9 = 0.22 1 uscita 2 uscita 1 uscita pD = 1/9 = 0.11 U con S = 10 :8 R 2 V S=9 : R=7 V=2 C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8 Situazione iniziale D = esce verde pD = 2/10 = 0.2 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20 Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E1 , E2 indipendenti : S = costante Eventi indipendenti E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5 E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5 E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25 S = 5 :R 3, V 2 (3/5)*(2/5)= 6/25 Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV

Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R1 , V2 dipendenti :S variabile R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5 V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2 E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10 S = 4 :R 2, V 2 (3/5)*(1/2)=3/10 p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta:segue Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto

5 6 Eventi indipendenti Urna 1 con 20 palline , 5 rosse urna 2 con 30 palline , 6 rosse Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2 U1 U2 E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20 E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30 20 30 30 rosse su 600 palline E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20 L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1 E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2 La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 : quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti Cfr.seguente per immagini

L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 1 2 3 1 4 2 3 4 5 5 6 Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6) L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20) con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 Eventi indipendenti, non correlati Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8 E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8 E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E1 e E2 indipendenti P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 E2 E1 U 5/8 U 4 / 7 U 5/8

Eventi indipendenti, non correlati Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde U con S = 30 E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3 E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3 E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3 E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27

Eventi indipendenti, non correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Unica estrazione E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4 E1 evento indipendente Due estrazioni successive con reinserimento E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente) E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti

Eventi dipendenti, correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento 5/20 4/ 19 E1 = prima pallina rossa 5/20 E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4 P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1) E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina verde E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4 P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente E2 e E1 correlati p(E2/E1) 5/19 E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4

Probabilità condizionata E : uscita come seconda pallina V pD = 2/9 = 0.22 1 uscita 2 uscita 1 uscita pD = 1/9 = 0.11 U con S = 10 :8 R 2 V S=9 : R=7 V=2 C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8 Situazione iniziale D = esce verde pD = 2/10 = 0.2 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20 Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

Probabilità condizionata:segue Se C evento condizionante e D evento condizionato da C avremo notazione : pD = p(D|C) probabilità che si verifichi evento D condizionato da C C e D risultano interdipendenti, correlati se pD viene ridotta: correlazione negativa se pD viene aumentata : correlazione positiva Probabilità composta : la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità dell’altro condizionata al primo P (A ∩ B) = pA * p(B | A) P (B ∩ A) = pB * p(A | B)

Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E1 , E2 indipendenti : S = costante Eventi indipendenti E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5 E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5 E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25 S = 5 :R 3, V 2 (3/5)*(2/5)= 6/25 Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV

Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R1 , V2 dipendenti :S variabile R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5 V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2 E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10 S = 4 :R 2, V 2 (3/5)*(1/2)=3/10 p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta:segue Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto

5 6 Eventi indipendenti Urna 1 con 20 palline , 5 rosse urna 2 con 30 palline , 6 rosse Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2 U1 U2 E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20 E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30 20 30 30 rosse su 600 palline E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20 L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1 E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2 La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 : quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti Cfr.seguente per immagini

L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 1 2 3 1 4 2 3 4 5 5 6 Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6) L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20) con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 Eventi indipendenti, non correlati Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8 E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8 E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E1 e E2 indipendenti P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 E2 E1 U 5/8 U 4 / 7 U 5/8

Eventi indipendenti, non correlati Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde U con S = 30 E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3 E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3 E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3 E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27

Eventi indipendenti, non correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Unica estrazione E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4 E1 evento indipendente Due estrazioni successive con reinserimento E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente) E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti

Eventi dipendenti, correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento 5/20 4/ 19 E1 = prima pallina rossa 5/20 E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4 P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1) E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina verde E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4 P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente E2 e E1 correlati p(E2/E1) 5/19 E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4

Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm. Sm Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT) evento B : uscita croce (3 lancio) B =(TTC,TCC,CTC,CCC) Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio C = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)

O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875 Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875