Progressioni aritmetiche descrizione elementare

Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ? K=2 Usando mattoni di diverso colore per ogni gruppo verticale quanti mattoni per ogni gruppo si devono usare ? 16 14 12 10 8 6 4 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 9*(0+16)/2= 72 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ? K=2 Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 9*(0+16)/2= 72 Numero mattoni 72/ 2 = 36 K Mattoni per scalino e altezza a1=0k=0 a2=1k=2 a3=2k=4 a4=3k=6 a5=4k=8 a6=5k=10 a7=6k=12 a8=7k=14 a9=8k=16 sn = 36k 16 14 12 10 8 6 4 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mattoni k

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 5*(0+16)/2= 40 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a1=0 a livello a5 = 16 ? Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 5*(0+16)/2= 40 Numero mattoni 40/ 4 = 10 K Mattoni per scalino e altezza a1=0k=0 a2=1K=4 a3=2k=8 a4=3k=12 a5=4k=16 sn = 10k K=4 16 12 8 8 6 4 4 a1 a2 a3 a4 a5 0 1 2 3 4 mattoni k

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 4*(4+16)/2= 40 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a1=4 a livello a3 = 16 ? Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 4*(4+16)/2= 40 K=4 Numero mattoni 40/ 4 = 10 K 16 Sottraendo 4 mattoni della base:6 k 12 8 Mattoni per scalino e altezza a1=0k=4 a2=1K=8 a3=2k=12 a4=3k=16 sn = 6k 4 a1 a2 a3 a4 0 1 2 3 mattoni k

concludendo Il numero di mattoni necessario varia In funzione del livello iniziale dal quale si inizia la costruzione a1 e dal livello finale an E dallo spessore dei mattoni k

La differenza tra due termini contigui risulta costante :ragione , k Ogni termine si può ottenere aggiungendo la ragione al termine precedente 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8)

Ogni termine può essere ottenuto aggiungendo al primo, k , un numero di volte pari alla differenza tra l’indice del termine e l’indice del primo termine a1 Es. a6 = a1 + (6-1)*k…….a8= a1 + (8-1)*k an = a1 +(n-1)*k 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8))

Il termine ennesimo della progressione aritmetica si può calcolare con la formula an = a1 + (n-1)*k a8=2+7k =16 16 14 a7 = 2+6k=14 12 a6=2+5k=12 10 a5=2+4k=10 8 A4=2+3k=8 6 2 4 Ragione k 2 2 2 2 2 2 2 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

Il primo termine , a1, della progressione aritmetica si può calcolare con la formula a1 = an - (n-1)*k a1 =a8 - (8-1)*2 = 16 – (7)*2 = 2 16 a1= a5-(5-1)*k = 10-(4)*2=2 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

k = (an –a1) / (n-1)… (a8-a1) /(n-1) = (16-2)/(8-1)= 14/7=2 Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e il numero dei termini, n, è possibile calcolare la ragione k k = (an –a1) / (n-1)… (a8-a1) /(n-1) = (16-2)/(8-1)= 14/7=2 K =(a6-a1)/(n-1) = (12-2)/(6-1)=10/5 = 2 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e la ragione k è possibile calcolare il numero totale dei termini n n = ((an-a1)/k)+1 N = ((a8-a1)/k)+1 = (16-2)/2)+1 = 8 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 termini a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16 K=2 16 16 16 14 10 16 12 16 10 6 8 4 6 2 4 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16 K=2 Sn = 16*4+8 = 72 …Sn = n*((a1+a9/2) =9*8= 72 16 16 16 14 10 16 12 16 10 6 8 4 6 2 4 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

La somma di n termini si ottiene moltiplicando il numero n dei termini per la semisomma degli estremi Sn = n * ((a1+an)/2) K=2 Sn = n*((a1+a9/2) =9 *((0+16/2)=72 16 16 16 14 10 16 12 16 10 6 8 4 6 2 4 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 36 k * 2 = 72

Inserimento di h medi aritmetici tra due termini assegnati x, y :h=3 Calcolo la ragione con la formula k = (an-a1)/(n-1) numero termini totale risulta 2 ( x,y) + h = h+2 quindi (n-1) = (h+2-1) = h+1 k = (y –x) /(h+1) K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2 m1= x+k =6+2=8 m3 m2=x+2k=6+2*2=10 m2 m1 m3=x+3k=6+3*2=12 X=6 Y=14 6 8 10 12 14

Inserimento di 3 medi aritmetici tra due termini assegnati interni di una progressione aritmetica :x=6, y=14 completare la progressione per un totale di 10 termini a8=y+k = 14+2 = 16 a9=y + 2k = 14+2*2 =18 a10 = y + 3k = 14+3*2=20 K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2 m1= x+k =6+2=8 m2=x+2k=6+2*2=10 m3=x+3k=6+3*2=12 m3 m2 a2=x-k=6-2=4 m1 a1=x-2k=6-4=2 a9 a10 a1 a2 X=6 a4 a5 a6 Y=14 a8 a3 a7 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Fine descrizione arrivederci