LA RICERCA FILOSOFICA FRA SCIENZE UMANE E SCIENZE NATURALI VINCENZO FANO E GINO TAROZZI Giornate urbinati della ricerca 23 novembre 2010

FEDERICO COMMANDINO (1509-1575)

LE TRADUZIONI DI EUCLIDE

COMMANDINO E ARCHIMEDE

GUIDOBALDO DEL MONTE (1545-1607)

IL LIBER MECHANICORUM

GALILEO GALILEI (1564-1642)

IL DIALOGO

LA REALTA’ E’ NUMERO ARISTOTELE (384-322) PITAGORA (570-495)

INCOMMENSURABILITA’ FRA IL LATO E LA DIAGONALE DEL QUADRATO

LA DIMOSTRAZIONE Nella proposizione 117 del libro X degli Elementi di Euclide viene riportata una dimostrazione dell’incommensurabilità del lato con la diagonale del quadrato. Si tratta con ogni probabilità di un’aggiunta posteriore. Aristotele cita negli Analitici una dimostrazione molto simile.

PLATONE Nel Menone platonico, Socrate insegna a uno schiavo che il quadrato che ha aria doppia di un quadrato dato non ha il lato doppio.

SOLUZIONE Il quadrato costruito sulla diagonale ha l’aria doppia.

WILBUR RICHARD KNORR Propongo una versione modificata di quella che è forse stata la prima dimostrazione dell’incommensurabilità.

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO PRIMO PASSO DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO 1. Ipotizziamo per assurdo che il lato azzurro del quadrato rosso sia lungo m punti e che la sua diagonale verde sia lunga n punti.

SECONDO PASSO LE AREE Dunque n è più grande di m. Riduciamo la frazione n/m ai minimi termini, in modo che n non sia divisibile per m. 2. I punti dell’area del quadrato in azzurro sono il doppio di quelli dell’area del quadrato in rosso e il quadruplo di quelli del quadrato piccolo.

TERZO PASSO NUMERI PARI Perciò l’area del quadrato azzurro è divisibile per 4 e quella del quadrato rosso per 2. 3. Quindi il lato del quadrato rosso ha un numero pari di punti e lo stesso vale per il lato del quadrato azzurro.

QUARTO PASSO LA CONTRADDIZIONE 4. Ma il lato azzurro è uguale a quello verde. E quello verde è la diagonale del quadrato rosso. Dunque n e m sono entrambi pari, contro l’ipotesi che avevamo ridotto n/m ai minimi termini.

CONCLUSIONE CIRCA 430 a.C. Perciò è impossibile che il lato e la diagonale di un quadrato siano costituite da un numero finito di punti indivisibili.

CANTOR In un certo senso solo con l’opera di Cantor, nel 1880 il problema dell’incommensurabilità verrà risolto, con la sua teoria dei numeri transfiniti.

IL CONTINUO IL SEGMENTO VERDE E QUELLO ROSSO SONO EQUINUMEROSI Se i punti di un segmento sono infiniti, C, si può costruire una corrispondenza biunivoca fra due segmenti di lunghezza diversa.