Ottica geometrica e geometria simplettica Genova 22/9/2005 Daniele Musso Relatore: Prof. Enrico Massa Ottica geometrica e geometria simplettica Gli aspetti salienti dell’ottica lineare e dell’ottica geometrica rivisitati utilizzando tecniche e strumenti matematici propri della geometria simplettica. Ottica lineare descritta con il metodo delle matrici. William Rowan Hamilton Formulazione Hamiltoniana basata sul principio variazionale di Fermat.

Ottica lineare e ottica gaussiana Introduzione dell’asse ottico. Oggetti ottici rappresentati matematicamente da superfici ottiche. L’ottica lineare è una teoria classica il cui ambito di applicazione è definito dalle seguenti ipotesi: Trascurabilità del carattere ondulatorio della radiazione elettromagnetica Indici di rifrazione costanti Ipotesi di linearità Ulteriore ipotesi per l’ottica gaussiana: Ipotesi di simmetria cilindrica

Definizione del formalismo Caratterizzazione dello “stato” di un raggio mediante i due parametri e variabili in . in cui è detto momento. Rappresentazione della relazione fra gli “stati” di un raggio a due quote diverse mediante una trasformazione lineare simplettica della coppia di parametri e . è simplettica

Sistemi ottici elementari Percorso in assenza di superfici ottiche Condizione iniziale a : Condizione finale a : Pongo Essendo l’indice di rifrazione costante, il raggio si propaga in maniera rettilinea, risulta pertanto: Ponendo , la matrice di trasferimento dal punto al punto assume la forma

Superficie rifrangente Equazione della linea di separazione: Per l’ipotesi di simmetria cilindrica rispetto all’asse ottico, è pari e . A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo Con riferimento alla figura, sotto l’ipotesi di linearità, si ottiene Considerando i triangoli rappresentati in figura ; Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava

Si considera la legge di Snell linearizzata: Utilizzando le relazioni si ottiene vale a dire avendo definito il potere della superficie rifrangente La matrice di trasferimento dal punto al punto sarà pertanto

Il comportamento del generico sistema ottico è determinato dagli effetti del sistema stesso sull’evoluzione dei raggi luminosi fra e , Nello spazio delle variabili e , tale evoluzione è descritta da una trasformazione appartenente al gruppo . Il gruppo è a sua volta generato dalle trasformazioni di tipo “elementare” Casi Notevoli dipende solo da e non dalla direzione del raggio stesso; i punti e sono detti coniugati. Anche i piani sono detti coniugati poiché formati da punti coniugati a due a due. dipende solo da e non dal punto di incidenza.

Lente sottile Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti a distanza trascurabile l’uno dall’altro. Il problema associato alla lente sottile risulta dalla composizione di due problemi di singola superficie rifrangente. con La matrice associata al sistema in esame è pertanto

Fuochi della lente sottile Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo rifrangente uniforme la cui matrice associata è Si scelgono e in modo che I piani sono coniugati e vale la seguente relazione viene detto fattore d’ingrandimento

Formulazione Hamiltoniana dell’ottica gaussiana se Introduciamo la funzione iconale oppure L’eq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle derivate parziali di

la funzione iconale è additiva. da cui segue che Esprimendo in funzione di si ha che soddisfa le seguenti relazioni

Scegliendo la funzione iconale coincide con il cammino ottico Propagazione rettilinea con Matrice associata: La funzione iconale vale pertanto identica al cammino ottico per

Superficie ottica Superficie ottica: Il cammino ottico è: Utilizzando le relazioni si ha Identica alla funzione pur di porre

Legge di Snell e principio di Fermat Cammino ottico: Condizione di stazionarietà del cammino ottico: Utilizzando le relazioni si ottiene la legge di Snell:

Pierre Fermat (1601 – 1665) William Rowan Hamilton (1805 – 1865) Willebrord Snell (1580 – 1626) Claudio Tolomeo (~ 87 – 150 A.D.) Carl Friedrich Gauss (1777-1885)