Che cos’è una retta? CODOGNI GIULIO IVD A.S. 2004-05

Possiamo definire il concetto di retta in due modi: A priori A posteriori

Metodo a priori - Metodo a posteriori Definiamo la retta senza far ricorso all’esperienza La definiamo a partire da altre idee che già abbiamo in mente Definiamo la retta a partire dall’esperienza Definiamo la retta come un oggetto che ha la stessa forma di un qualcosa di reale (per esempio gli spigoli di una stanza)

Possibile definizione a priori: Per definire la retta a priori dobbiamo partire da altri enti geometrici, ma la retta è il primi ente ad essere definito, insieme al punto e al piano: non esisto ancora altri enti geometrici a cui riferirsi!!! Tutti gli altri enti vengono definiti a partire dal concetto di retta, e perciò non possono essere usati nella sua definizione!!!

Perciò: Una definizione diretta della retta è impossibile

Ma: Possiamo definire la retta a partire semplicemente dalle sue proprietà (cioè non “la retta è questo”, ma la retta è qualunque cosa che goda di queste proprietà”)

La definizione a priori di retta: La retta è un sottoinsieme proprio del piano Per due punti distinti passa una ed una sola retta

Ma questa definizione dà molti problemi Tanti oggetti diversi godono di queste proprietà:

Due tipi di rette diverse:

Conseguenti pesanti di una definizione semplice In tutte e due le immagini l’oggetto AB, prima segmento e poi arco di circonferenza, gode delle proprietà della retta, quindi è una retta a pieno titolo Se noi scegliamo come retta il segmento la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi, se scegliamo l’arco di circonferenza è minore.

Capite cosa vuol dire questo???? I teoremi della geometria non sono più verità essolute perciò, per esempio, non abbiamo più un modo univoco per dire qual è la distanza tra due punti, dipenderà anche quella da che idea di retta scegliamo

Proviamo con la definizione a posteriori Forse avremo più fortuna

Allora, dobbiamo scegliere un oggetto e dire che la retta ha la sua forma Potremmo provare dire che le rette sono come gli spigoli di una stanza prolungati all’infinito

Quadro di ESCHER

Uhmmm Questa litografia di Escher ci dice che anche gli spigoli di una normalissima stanza possono essere curvi se li guardiamo da un punto di vista opportuno, in questo caso riflessi su una sfera.

Neanche la definizione a posteriori ci dà tante garanzie Baste guardare le cose da un altro punto di vista che tutte le nostre certezze crollano e si ricade nello stesso problema di prima:

Non riusciamo a definire la retta in maniera univoca E quindi non abbiamo neanche un modo univoco per misurare una distanze

Una delle definizioni di rette più accettate è: La retta è il percorso compiuto da un raggio di luce (ovvero i raggi di luce si muovono sempre in linea retta)

Ma ci pone anche di fronte a tanti problemi: Questa definizione è la più comoda perché la luce gode di molto proprietà utili Ma ci pone anche di fronte a tanti problemi:

I problemi: Se un raggio di luce viene visto riflesso su una sfera è comunque curvo Se un raggio di luce passa vicino ad una massa sufficiente mente grande (per esempio il sole) si incurva. Se cambia mezzo, per esempio se passa dall’aria ad un diamante, cambia direzione.

Immagine:Raggio di luce che si incurva vicino il sole

Immagine: Raggio che si piega quando passa in un diamante (Pink Floyd)                               

Morale della favola: Non possiamo più pensare ad una geometria ma a tante geometrie Dobbiamo pensare ad una geometria per quando la retta è “dritta”, per quando è “curva”, per quando è “spezzata”, ecc…. Se cambia la natura dello spazio, per esempio si passa da uno spazio vuoto ad uno spazio con una grande massa al suo interno, dobbiamo cambiare geometria.