Testi e dispense consigliati Fisica 2 Argomenti trattati Le variabili angolari. Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di inerzia,definizione e collocamento del centro di massa, raggio giratorio,momento meccanico e momento angolare. Equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali rigido. Rotazione in due dimensioni di un corpo rigido: il centro di massa, rotazione piana, momento angolare, conservazione del momento angolare. Centro di Massa; Momento di Inerzia: proprietà del Centro di Massa, collocazione del Centro di Massa. Calcolo del Momento di Inerzia. Teoremi del Momento di Inerzia. Energia cinetica Rotazionale. Rotazione nello spazio. Il momento meccanico in tre dimensioni,le equazioni della rotazione usando il prodotto vettoriale. Momento angolare di un corpo rigido in tre dimensioni. Lavoro energia e potenza nel moto rotatorio. Moto oscillatorio di un corpo rigido: il pendolo fisico il pendolo composto, il giroscopio. Attrito e rotolamento Equilibrio statico di un corpo rigido. Il diagramma di corpo libero. Vari esempi. Leve e c arrucole. Cenni sui sistemi deformabili Testi e dispense consigliati Serway Principi di Fisica Seconda Edizione I volume editrice EdiSES Halliday Resnick Walker Fondamenti di Fisica Quinta Edizione meccanica,termologia editrice Ambrosiana Il materiale didattico distribuito a lezione e reperibile sul sito web: http://www.fe.infn.it/~ferretti

richiami le variabili angolari

Posizione angolare:definizione di radiante Es001 Ricordarsi dell’angolo giro =360 gradi Ricordarsi che percorrere un angolo giro NON azzera l’angolo ma si aggiunge l’angolo alle rotazioni complete eseguite Esercizi 1-4 polo di rotazione

Le variabili angolari spostamento posizione Velocità istantanea Velocità media Velocità istantanea accelerazione media Per un corpo in moto traslazionale puro in direzione x tutte le informazioni sono date da x(t) Tutte le informazioni sulla rotazione pura di un corpo sono contenute nella funzione (t) Nel caso della rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso TUTTE LE PARTICELLE del corpo ad ogni istante hanno la stessa velocità e accelerazione angolare Esercizi 5-10 accelerazione istantanea

altre variabili frequenza La frequenza di rotazione è il numero di giri compiuti nell’unità di tempo frequenza Il periodo del moto è l’intervallo di tempo impiegato per compiere un giro completo Queste sono le unita di misura nel sistema SI periodo evidentemente:

equazioni dimensionali [numero puro] L’Hertz Es002

Gli spostamenti angolari finiti non sono vettori L’ordine delle rotazioni cambia il risultato. Le rotazioni “non commutano” È possibile dimostrare che sono vettori gli spostamenti angolari infinitesimi Vedi Resnick, pagina 203 Per poter considerare una quantità un vettore, essa deve seguire le regole della algebra vettoriale: non basta assegnare un modulo direzione e verso sono condizioni necessarie, ma non sufficienti. Rotazione 90 gradi libro a): prima attorno all’asse x e poi attorno all’asse y Rotazione b) prima attorno all’asse y e po all’asse x

Le variabili angolari istantanee come vettori  come un vettore diretto come l’asse di rotazione. Per convenzione, l’asse di rotazione è orientato con verso positivo verso l’alto La rotazione è in verso orario,  è diretta verso il basso, negativa La rotazione in verso antiorario,  è diretta verso l’ alto,positiva Es007 La velocità e ‘accelerazione angolari sono grandezze vettoriali, ma le velocita ed accelerazione medie non lo sono. Alpha e diretto come omega ed il segno dipende dalla definizione: se la velocità angolare cala è negativa , se aumenta è positiva.

Moto circolare Relazione vettoriale tra velocità lineare e angolare, e vettore posizione

relazioni tra le variabili angolari un caso particolare importante posizione angolare velocità angolare accelerazione angolare all’istante iniziale

variabili lineari e variabili angolari, accelerazione costante Nella traslazione pura, il moto con accelerazione costante, (per esempio la caduta libera dei gravi è molto importante.) Anche nella rotazione pura,il caso di accelerazione costante è molto importante Qui a confronto due tabelle, con formule che si possono benissimo ricavare per via analitica. Ricordate che Trovate una tabella analoga nel capitolo 10 del Serway.

Un esercizio

Dalle variabili angolari alle variabili lineari importante: gli angoli sono in radianti Es003 RICORDARE CHE L’ACCELERAZIONE RADIALE è STATA CALCOLATA NEL CASO PARTICOLARE DI MOTO CIRCOLARE UNIFORME Come accelerazione centripeta. Vedi Resnick: gli angoli sono in radianti. Vedi Ohanian, pagina 400. Tutti i punti materiali del corpo rigido si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare.Concentriamoci su uno di questi punti e valutiamo la sua velocità di traslazione. s=spazio percorso dal punto materiale sulla traiettoria circolare v è proporzionale al raggio R. a parità di vel. ang. piu lontano e il punto piu rapidamente si muove. Qui dv/dt e la variazione della velocita lungo la traiettoria: quindi è l'accelerazione tangenziale. ( Non dimenticarsi l'accelerazione centripeta. Qui ar) Per ar, vedi Resnick 4.32, pag 59 per la dimostrazione. Serway da la formula senza dimostrazione nel capitolo 3. Rotazione piana di un punto materiale a distanza r dall’asse , o dal polo di rotazione

richiami:accelerazione e velocità Per produrre una curva, la forza risultante deve formare un angolo con la velocità. Possiamo scomporre la forza In tal caso, l’accelerazione che è sempre parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla velocità ed una normale alla velocità: una tangenziale ed una normale alla traiettoria. la accelerazione tangenziale causa il cambimento del modulo della velocità, mentre quella normale ( o radiale) cambia la direzione

moto di un punto materiale soggetto ad una forza F richiami moto di un punto materiale soggetto ad una forza F

moto di un punto materiale soggetto alla forza F quantità di moto, o momento lineare momento meccanico, rispetto ad un polo distante r dal punto momento angolare, rispetto ad un centro di rotazione, o polo, distante r dal punto energia cinetica rotazionale momento di inerzia, rispetto ad un polo distante r dal punto energia cinetica rotazionale, in funzione del momento di inerzia

Energia cinetica rotazionale per una singola particella in moto rotatorio L’energia cinetica di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia il quadrato della velocità angolare, diviso due

richiami il momento meccanico

Retta o linea di azione di F richiami Braccio di leva di F Centro di rotazione Retta o linea di azione di F definizione di momento meccanico  di un punto materiale A, rispetto ad un polo O

il momento meccanico è un vettore che risulta da un prodotto vettoriale Una forza F,giacente sul piano xy agisce su una particella posizionata in A. Questa forza esercita sulla particella un momento meccanico =r F rispetto all’origine O Il vettore  è diretto come z e la sua intensità è rF=rF Secondo le convenzioni riguardanti il prodotto vettoriale tau è perpendicolare al piano di r ed F.Traslare il vettore F fino all’origine,cosi è più facile applicare la regola della mano destra. Definire il Braccio di F Notare che dimensionalmente il momento meccanico è come l’energia, ma si tratta di grandezze fisiche completamente diverse Braccio di F Dimensioni

Il momento meccanico è un vettore libero che si ottiene come momento polare od assiale del vettore forza (F,P) applicata nel punto P Es004,Es016

determinazione del momento meccanico rispetto ad un punto. metodo vettoriale metodo scalare

Momento netto Il momento delle forze è un vettore ed ubbidisce al principio di sovrapposizione Se più momenti agiscono su un corpo, la loro somma prende il nome di momento risultante delle forze, oppure momento netto .

propietà del momento meccanico rispetto ad un punto: il principio dei momenti il momento di una forza rispetto ad un polo è uguale alla somma dei momenti delle sue componenti rispetto a quello stesso polo Pytel46

relazione tra il momento meccanico ed il momento di inerzia, nel caso del moto rotatorio di un punto materiale su un piano Resnick 11.9 Un semplice corpo rigido rotante è rappresentato da una piccola massa m di dimensioni trascurabili, fissata all’estremità di una asticciola priva di massa e di lunghezza l.L’asta può muoversi solo per rotazione attorno all’altra estremità,girando attorno ad un asse perpendicolare al piano xy .La piccola massa non può che percorrere una circonferenza con centro nel perno di rotazione dell’asta. La componente tangenziale della forza e cioè dell’accelerazione è la sola in grado di variare il modulo della velocità. Un semplice corpo rigido rotante è rappresentato da una piccola massa m di dimensioni trascurabili, polo di rotazione Angoli in radianti Dimostrazione della II legge di Newton per il moto rotatorio di un punto materiale

richiami: momento angolare di un punto materiale Un punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xy con un momento (o quantità di moto) p. Rispetto all’origine O, esso ha un momento angolare ( o della quantità di moto):

richiami: momento angolare di un punto materiale Es005 Dimensioni nel sistema SI

il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme Nel caso del moto circolare uniforme la velocità del punto materiale,costante ed r, distanza dal centro di rotazione, sono sempre perpendicolari e giacciono entrambi sul piano dell’orbita circolare del punto La direzione del momento angolare, rispetto al centro dell’orbita, è perpendicolare al piano dell’orbita. Il verso si calcola come per il prodotto vettoriale. Nel moto circolare uniforme, il momento angolare è costante se il centro di rotazione è posto nell’origine, ( o polo) ma non se l’origine è posta altrove. In tal caso il momento angolare si conserva.

il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme una relazione importante Questa relazione è importante, perchè collega il modulo del momento angolare con la quantità I=mr2, che è il momento di inerzia del punto materiale. Nel caso del punto materiale I non ha un grande interesse. Vedremo che nel caso dei sistemi estesi rigidi, invece, I è la quantità che descrive la distribuzione della massa del sistema in questione, necessaria per determinarne la dinamica

Momento angolare e velocità angolare In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per istante. Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il centro di rotazione O,che considereremo l’origine delle coordinate, allora r e v sono coplanari ed l è sempre perpendicolare al piano. Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del cerchio si ha : il modulo della velocità lineare è r Nel caso del moto circolare possiamo convenzionalmente definire la velocità angolare  come un vettore diretto come il momento angolare.

OSSERVAZIONE Nel caso del moto circolare uniforme il momento angolare rispetto al centro della traiettoria è costante: r,m,v sono costanti. Quando il punto materiale si muove attorno ad un centro di forza, verso cui punta la forza che lo fa girare allora il momento angolare è costante. Una forza che punta verso un polo si chiama forza centrale Il momento angolare si conserva se il punto materiale si muove sotto l’azione di una forza centrale vedi Es014

Seconda legge di Newton, in forma angolare relazione tra momento angolare e momento meccanico per un punto materiale in moto rotatorio, attorno ad un centro O Seconda legge di Newton, in forma angolare Es006, pinguino

le equazioni cardinali del moto di un punto materiale soggetto ad una forza

Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale. La somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento lineare della particella La somma vettoriale di tutti i momenti delle forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento angolare della particella Resnick 12.7 ATTENZIONE: i vettori momento meccanico e angolare devono essere definiti rispetto la stessa origine o polo

Leggi di conservazione se il punto materiale non è soggetto a forze esterne , la sua quantità di moto si conserva se il punto materiale non è soggetto a momenti meccanici esterni , il suo momento angolare si conserva