Stima dell’incertezza di misura

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 2 Definizione dell’ incertezza di misura “Parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando” (VIM, 1993) “Stima di valori caratterizzante il campo di valori entro cui cade il valore vero del misurando” (VIM, 1984) Valutazione quantitativa dell’errore possibile nel valore stimato del misurando fissato un assegnato livello di confidenza (probabilità) Dubbio … Compatibilità delle misure … (UNI 4546) Qualità della misura … Coefficiente di sicurezza della misura…

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 3 Errore, errore massimo ed incertezza 1)Stabilire un limite (ovvero un errore massimo ammissibile) per lo scopo di misura prefissato E < E max 2a)Verificare la qualità della misura attraverso la stima dell’errore E = X m – X rv < E max 2b)Verificare la qualità della misura attraverso un approccio statistico E < U 95% < E max Xm U Xrv E Emax

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 4 Quale metodologia di misura (e quindi incertezza) scegliere? Il problema di fondo non è pertanto quello di: fare la migliore misura possibile e quindi scegliere la metodologia con la minima incertezza (probabilmente scopo degli scienziati); ma piuttosto: scegliere la metodologia di misura con un’incertezza ed un costo adatto allo scopo (in altre parole, poiché l’incertezza ha un costo, la massima incertezza possibile per lo scopo che ci si è prefissati)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 5 In altre parole … … l’incertezza ha un costo! Misure affidabili richiedono:  Strumenti costosi  Tempi di misura ed elaborazione lunghi  Operatori esperti  Laboratori condizionati  Metodologie di misura validate  …

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 6 Scegliere e stimare l’incertezza Per scegliere l’incertezza è possibile avvalersi del: - GPS (Geometrical product specifications) - Metodo PUMA - Valutazione integrità dell’incertezza (ISO parte 1/2/3) Per stimare l’incertezza è possibile utilizzare la cosiddetta: - ISO GUIDE (UNI CEI ENV 13005, “Guida all’espressione dell’incertezza di misura”, 2000)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 7 Stima dell’incertezza: tipo A e B La ISO Guide classifica le incertezze di misura in due distinte categorie: Tipo A: comprende quelle incertezze di misura la cui valutazione può essere basata su metodi statistici (oggettivi). In tal senso l’incertezza viene stimata “a posteriori” ovvero sulla base dei risultati ottenuti nell’esperimento. Tipo B: comprende quelle incertezze la cui stima è basata su “altri metodi”; ciò, inevitabilmente, implica elementi di valutazione di tipo soggettivo. L’incertezza viene determinata “a priori” ovvero sulla base delle conoscenza pregresse all’esperimento condotto. Nota: Si noti che la distinsione in categorie non riguarda la causa di incertezza, ma il modo di stimare quest’ultima nell’esperimento.

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 8 Casi limite Si potrebbero immaginare due casi limite:  il caso di una singola misurazione (o una invariabilità del risultato della misura), in cui è impossibile stimare le incertezze di tipo A e tutte le cause di errore vengono stimate mediante l’approccio probabilistico di tipo B;  il caso di misure numerose in cui tutte le grandezze di influenza vengono fatte variare in modo casuale al fine di stimare a posteriori le cause di incertezza statisticamente come incertezze di tipo A e considerando nulle le incertezze di tipo B.

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 9 Esempi – Quale categoria è l’incertezza …?  … dichiarata nel certificato di taratura dello strumento?  … dovuta alla dilatazione di un volume campione al variare della temperatura?  … deriva dello strumento nel tempo?  …

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 10 I passi per la stima incertezze di tipo A 1.Scelta dello stimatore singola misura media aritmetica di diverse misure media ponderata di diverse misure regressione lineare … 2.Ripetizione della misura campione poco/molto numeroso in quali condizioni ripetere (ripetibilità, riproducibilità) … 3.Modello distribuzione statistica Stima dei parametri della distribuzione … 4.Stima dell’incertezza tipo

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 11 Stima incertezza tipo A Nota All’aumentare del numero di misure N diminuisce il contributo di tale incertezza Stimatore Incertezza tipo A

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 12 Esempio – Stima incertezza tipo A

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 13 Stima incertezze tipo B Le sorgenti di informazione per la stima dell’incertezza tipo B sono le conoscenze a priori che l’operatore di misura può reperire anche in modi diversi come:  i dati di misure precedenti;  l’esperienza o conoscenza circa il comportamento di materiali o strumenti;  le specifiche del costruttore;  i dati di taratura o di altri certificati;  l’incertezza assegnata a dati di riferimento presi in manuali o banche dati;  le previsioni circa le variazioni di grandezze d’influenza o della grandezza d’ingresso stessa (es., comportamento dinamico)  …

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 14 I passi per la stima delle incertezze di tipo B 1.Individuare le cause di errore 2.Correggere l’errore probabile 3.Individuare l’intervallo (a, b) entro il quale può essere contenuto l’errore 4.Ipotizzare la distribuzione di errore 5.Stimare l’incertezza tipo 6.(Calcolare numero di gradi di libertà)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 15 Distribuzioni tipiche ( Distribuzione normale) Si ipotizza una distribuzione normale per i possibili valori della grandezza in ingresso Xi e si stimano due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b. In realtà per una distribuzione normale non esiste un intervallo contenente il 100% dei valori possibili, ma l’intervallo 99,73% li contiene “quasi tutti”. La miglior stima della grandezza Xi e del suo scarto tipo sarà allora: b a x i

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 16 Distribuzioni tipiche: Distribuzione uniforme (rettangolare) La distribuzione più conservativa, ovvero quella che a parita di altre condizioni sovrastima lo scarto tipo, è quella rettangolare. Pertanto in assenza di informazioni specifiche è ragionevole assumere una distribuzione rettangolare. Si ipotizzano per la variabile casuale X i in ingresso due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b, tali che l’intervallo tra a e b contiene il 100% dei possibili valori. Si suppone inoltre che i valori compresi in questo intervallo siano ugualmente probabili ovvero che la distribuzione della probabilità è uniforme. La miglior stima della grandezza x i e del suo scarto tipo sarà allora: a bxixi

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 17 Distribuzioni tipiche (Distribuzione triangolare) Ma nel caso sia realistico supporre che i valori prossimi agli estremi siano meno probabili di quelli centrali, è ragionevole ipotizzare una distribuzione normale o, per semplicità, una distribuzione triangolare. Si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b, tali che l’intervallo tra a e b contiene il 100% dei possibili valori. Si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano distribuiti secondo una distribuzione triangolare. La miglior stima della grandezza x i e del suo scarto tipo sarà allora: a bxixi

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 18 Esempio - Stima incertezza tipo B misura di volume

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 19 Esempio - Stima incertezza tipo B misura della massa

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 20 Incertezza composta Una volta pervenuti alle stime dei diversi contributi di incertezza (tipo A e B) è necessario procedere alla loro composizione in un unico valore u C (definito incertezza composta), che rappresenta la qualità complessiva della misura

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 21 Incertezza composta estesa L’incertezza estesa viene calcolata moltiplicando l’incertezza tipo per il fattore di copertura k che corrisponde ad una assegnata probabilità di copertura (livello di confidenza). In ambito EA si è stabilito che tutti i laboratori esprimano l’incertezza estesa di misura moltiplicando l’incertezza tipo per un fattore di copertura k tipicamente pari a 2 (che corrisponde ad un livello di confidenza circa pari al 95%)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 22 Gradi di libertà Nel caso in cui non si dispone di un numero di misure ripetute indipendenti (almeno misure) vi è un elevata probabilità di sottostimare lo scarto tipo. Per tale motivo è prudente in tal caso utilizzare la distribuzione t-student valutando opportunamente il numero di gradi di libertà associati alla misura. La formula di Welch-Satterthwaite ci consente di calcolare il numero di gradi di libertà effettivi per valutare, fissato un coefficiente di copertura, il livello di confidenza corrispondente:

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 23 Stima dei gradi di libertà Incertezza di tipo A Incertezza di tipo B 176% 252% 342% 436% 1024% 2016% 3013% 5010% Incertezza dell’incertezza

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 24 Livello di confidenza dell’incertezza composta estesa Nel caso di campioni poco numerosi, è, invece, necessario utilizzare la variabile t di Student, e la relativa distribuzione, in luogo della distribuzione normale. L’incertezza estesa viene calcolata moltiplicando l’incertezza tipo per il fattore di copertura k che, per una distribuzione t-Student con gradi di libertà eff, corrisponde ad una determinata probabilità di copertura (generalmente scelta pari al 95%) L’intervallo –tP() e +tP() entro cui può cadere il valore vero del misurando Xrv risulta pertanto: E’ evidente, che la distribuzione t di Student coincide con la distribuzione normale per un numero di elementi n sufficientemente grande.

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 25 Esempio Se, ad esempio, P=0.95 e eff =9, t 0.95 (9)=2.26, l’intervallo di confidenza al 95% sarà 2.26 u. Si noti che facendo tendere il numero di gradi di libertà ad infinito (o meglio, quando si superano le 25 misure e si ricade nel caso di campione molto numeroso), i valori di t tendono a quelli della distribuzione normale (ovvero 1.00 per una probabilità del 68.27%, 1.96 per il 95.0% e 3.00 per il 99.7%).

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 26 Procedura schematica di stima dell’incertezza 1.Equazione di misura 2.Correzioni 3.Cause di incertezza 4.Stima incertezza tipo A 5.Stima incertezze tipo B 6.Stima gradi di libertà 7.Scelta livello di confidenza e fattore di copertura 8.Calcolo incertezza composta estesa 9.Esprimere il risultato di misura e la relativa incertezza

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 27 Processo di misura e di stima dell’incertezza

Propagazione delle incertezze

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 29 Misure dirette e indirette Definizione di misura indiretta “Metodo di misurazione nel quale il valore del misurando è ottenuto mediante misurazione di altre grandezze legate funzionalmente al misurando” (VIM) “Metodo che consente di assegnare per calcolo la misura ad un misurando effettuando la misurazione con metodi diretti su altri parametri ad esso collegati (UNI 4546) Definizione di misura indiretta “Metodo che consente di collegare il segnale di lettura alla misura di del misurando senza dover conoscere esplicitamente misure di altri parametri, eccetto quello delle grandezze di influenza …” (UNI 4546)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 30 Equazione di misura Sia nel caso di misure diretta che indirette la grandezza misurata (uscita) Y è funzione di altre N grandezze X1, X2, …, XN (ingressi, grandezze di influenza) mediante una relazione funzionale f: Y=f (X 1,X 2,…,X n ) dove le grandezze Xi possono essere interpretate sia come le grandezze direttamente misurate, sia come grandezze di influenza per la misura La funzione f dell’equazione di misura non rappresenta semplicemente il principio fisico di misura, ma l’intero metodo di misura e quindi contiene tutte le grandezze che contribuiscono all’incertezza di misura (i.e. operatori, ambiente, misurando, procedura).

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 31 Propagazione degli errori Sulla base dell’equazione di misura sopra illustrata ed utilizzando come modello matematico uno sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x m approssimato ai soli termini del primo ordine è possibile ricavare l’errore Ey sulla base degli N errori E xi :

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 32 Propagazione delle incertezze Nel caso di errori non correlati è possibile dimostrare che l’incertezza composta risulta pari a : avendo indicato con - c i i coefficienti di sensibilità (essi rappresentano il contributo all’incertezza su y relativo ad un incertezza unitaria su Xi) - u i (Y) i diversi contributi all’incertezza su Y derivanti dalle incertezze u(Xi)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 33 Tabella – Leggi di propagazione per legami funzionali semplici

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 34 Propagazione delle incertezze: il caso di grandezze correlate Nel caso in cui uno o più errori (quindi incertezze) siano correlati tra loro è necessario utilizzare la seguente relazione: avendo indicato con: - u(X x,X j ) la covarianza associata alle stime di X i e X j - r(X i,X j ) il coefficiente di correlazione tra X i e X j

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 35 Misura per somma e differenza  Nel caso di variabili X1 e X2 non correlate, sia nella misura per somma che per differenza si sommano le varianze.  Ciò implica che in entrambi i casi l’incertezza tipo composta assoluta aumenta all’aumentare del numero di componenti e della loro entità  Per conto l’incertezza relativa mediamente diminuisce in misure per somma ed aumenta in misure per differenza.

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 36 Misura per somma e differenza (caso di grandezze correlate)  Il caso di variabili X1 e X2 correlate tra loro è sicuramente molto più comune di quanto si pensi  Ad esempio nella misura di un volume per travasi multipli la misura viene effettuata con la stessa capacità. In tal caso alcune componenti di incertezza possono ritenersi perfettamente correlate tra loro (misurando, taratura, metodo, …)  Allo stesso modo nella misura di una massa la differenza tra lordo e tara implica certamente una certa correlazione delle incertezze.  In entrambi i casi la correlazione tra le due variabili è positiva, mentre nel primo caso l’incertezza tipo composta assoluta è maggiore rispetto al caso non correlato (derivata positiva), nel secondo l’incertezza tipo composta assoluta praticamente tende a zero

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 37 Misura per prodotto e rapporto  Nel caso di prodotto o rapporto è facile invece dimostrare che, per misure non correlate possono semplicemente propagarsi le incertezze relative considerando i coefficienti di sensibilità delle stesse unitari  Anche in tal caso per correlazioni positive (r>0), mentre nelle misure per prodotto l’incertezza aumenta, nelle misure per rapporto diminuisce.

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 38 Schema bilancio delle incertezze Grandezz a X i Stima x i Distribuzion e Incertezz a tipo u(x i ) Coefficient e di sensibilità c i Contribut o incertezz a u i (x) X1X1 x1x1 normaleu(x 1 )c1c1 u 1 (x) X2X2 x2x2 rettangolareu(x 2 )c2c2 u 2 (x) ……………… XNXN xNxN triangolareu(x N )cNcN u N (x) Yynormaleu c (y)

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 39 Esempio bilancio delle incertezze misuratori di portata

19-20 Febbraio 2004Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 40 Riferimenti Normativi UNI CEI ENV 13005, Guida all’espressione dell’incertezza di misura, 2000 International Vocabulary of Basic and general Term in Metrology, 2 a ed 1993, ISO, Geneve. EA-4/02, Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration; SIT, Doc-519, Introduzione ai criteri di valutazione dell’incertezza di misura nelle tarature; UNI 4546 – Misure e Misurazioni – Termini e definizioni fondamentali, 1984