Esercizi con soluzione Probabilità e calcolo combinatorio

Dado lanciato per 3 volte: probabilità uscita stesso numero per 3 volte E1 = esce 6 p(E1)= 1/6 E2 = esce 6 p(E2)= 1/6 E3 = esce 6 p(E3)= 1/6 P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) : P(E123) = p(E1)*p(E2)*p(E3) =1/6*1/6*1/6 = 1 / 216 Gioco con probabilità di vittoria 70% :giocando tre partite calcolare la probabilità di vincere ( o mai ) p(E1) = 70% = 0.7 p(E2) = 70% = 0.7 p(E3) = 70% = 0.7 p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = p(E1)*p(E2)*p(E3) = 0.7*0.7*0.7 = 0,343 p(E4) = 1 – 0.343 = 0.657

Si lanciano una moneta e un dado :calcolare probabilità di uscita : croce e numero pari testa e numero divisibile per 3 E1 = uscita croce p(E1)= 1 / 2 E2 = uscita testa p(E2)= 1 / 2 E3 = uscita numero pari (2, 4, 6) : p(E3) = 1 / 2 E4 = uscita divisibile per 3 (3, 6) : p(E4) =1 /3 p(E1 ∩ E3) = p(E1)*p(E3) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 /4 P(E2 ∩ E4) = p(E2)*p(E4) = 1 / 2 * 1 / 3 = 1 / 6 2, 4 , 6 (3 , 6)

Urna con 8 palline blu, 2 palline rosse estrazione di una pallina e suo reinserimento nell’urna,per due volte E1 = nessuna pallina rossa E2 = due palline rosse ER = esce pallina rossa (2/10) p(ER) = 1 / 5 NR = non esce pallina rossa (8/10) p(NR) = 4 / 5 E1 ..P(NR ∩ NR) = p(NR)*p(NR) = 4 / 5 * 4 / 5 = 16 / 25 = 0.64 E2…P(ER ∩ ER) = p(ER)*p(ER) = 1 / 5 * 1 / 5 = 1 / 25 = 0.04 = 4 %

t = numero eventi totale p(E) = probabilità che si verifichi ( f = eventi favorevoli) p(Ē) = probabilità che non si verifichi ( t – f = eventi sfavorevoli) (= probabilità evento contrario complementare) p(E) = f / t p(Ē)= t – f / t = 1 – f / t = 1 – p(E) >>>> p(E) + p(Ē) = 1 La somma delle probabilità di due eventi contrari è uguale a uno

Lanciare un dado due volte( come lanciare due dadi insieme una volta) (1,2,3,4,5,6) Calcolare la probabilità che non esca mai un numero(es.6) : p(E) Disposizioni con ripetizione Dn,k = n^k Eventi favorevoli: coppie con (1,2,3,4,5) eventi sfavorevoli: coppie con (6) D5,2 = n^k = 5^2 = 25 D6,2 = n^k = 6^2 = 36 P(E) = 25 / 36

Lanciare un dado due volte: calcolare la probabilità di uscita del numero 6 : p(E) o 5 La probabilità dell’evento contrario ( esce 1,2,3,4,5) è p(Ē) = 25/36 Perciò la probabilità dell’evento(6) p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 25/36 = 11 /36 La probabilità dell’evento contrario ( esce 1,2,3,4,6) è p(Ē) = 25/36 Perciò la probabilità dell’evento(5) p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 25/36 = 11 /36

Urna con 2 palline blu e 8 palline rosse(s=10): estrazione contemporanea di n palline ( 1 ≤ n ≤ 8) ( 1,2,3,4,5,6,7,8) Calcolare probabilità di uscita di almeno una pallina blu: p(E) p(E) = 1 – p(Ē) Combinazioni possibili Cs,n = Cs,n = s! / (s-n)!n!=10!/ (10-n)!n! Probabilità evento contrario (tutte rosse) : p(Ē) Combinazioni possibili C8,n = n! / (8-n)!n! = 8! / (8-n)!n! p(Ē) = 8! / (8-n)!n! / (10! / (10-n)!n!) =8!(10-n)! / 10!(8-n)! = = (n^2 – 19n +90 ) / 90 p(E) = 1 – p(Ē) = n(19-n)/90 Per n = 4 >> p(E) = 4*15/90 = 2/3 = 0.66 66% Per avere p(E) > 0.66 si deve risolvere il sistema(oppure usare excel…) n^2 – 19n + 60 < 0 1 ≤ n ≤ 8 Risultato 4 < n ≤ 8

Eventi incompatibili e probabilità totale(unione) Lancio di un dado (s = 1,2,3,4,5,6) E1 = esce numero divisore di 3 (1,3) >>> p(E1) = 2/6 = 1 /3 E2 = esce numero maggiore di 3 (4,5,6) >>> p(E2) = 3/6 = 1 /2 E3 = esce numero diverso da 2 (1,3,4,5,6) >>>p(E3) = 5/6 E3 = esce numero divisore di 3 o > di 3 (1,3,4,5,6) >>> p(E3)=5/6 E = E1 U E2 >>> p(E) = p(E1) + p(E2)=1/3 +1/2 = 5 /6 >>> unione E1 ∩ E2 = Ø >>> incompatibili 4 5 6 1 3 2

Lotteria : s=90 ( 45 pari, 45 dispari) >>> 1,2,3……89,90) E = uscita numero pari o 1,3,5 E1 = uscita numero pari (45) >> p(E1) = 45/90 = 1 /2 E2 = uscita numero 1 o 3 o 5 (3) >>> p(E2) = 3/90 = 1 / 30 E1 ∩ E2 = Ø incompatibili pari dispari E = E1 U E2 >>> p(E) = p(E1) + p(E2) = 1 / 2 + 1 / 30 = 8 / 15 unione

Esempio con soluzione mediante uso di formule o di tabella cartesiana Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, n palline verdi calcolo mediante formule ( o 6 palline verdi per confronto con tabella) estrazione contemporanea di 2 palline ( s = n + 5) E1 :Si chiede di calcolare la probabilità che escano due palline blu E2 : si chiede di calcolare la probabilità che non escano palline verdi E3 : si chiede la probabilità che escano palline di due colori Con la tabella si visualizzano tutte le possibili combinazioni e si calcolano le varie probabilità richieste, senza ricorrere alla probabilità dell’evento contrario, che si utilizza invece nel calcolo mediante formule

Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, n palline verdi estrazione contemporanea di 2 palline ( s = n + 5) N = Coppie palline = Cs,k = C(n+5),2 = (n+5)(n+4)/2 E1 = uscita 2 palline blu (1) >>> p(E1)= 2 / N E2 = uscita nessuna pallina verde (2+3 = 5) C5,2 = 5*4/2 = 10 >>> p(E2) = 10 / N = 10 / (n+5)(n+4)/2) = 20 /(n+5)(n+4) E3 = uscita palline colore diverso Ē = uscita 2 palline dello stesso colore B = (2*1/2)= 1>> p(B) = 1 / N R = (3*2/2) = 3>> p(R) = 3 / N V = (n(n-1)/2 >> p(V) = n(n-1)/2N incompatibili P(Ē) = p(B)+p(R)+p(V) = (n^2 –n + 8)/((n+5)(n+4) P(E3) = 1 – p(Ē) = 2(5n+6) / ( n+5)(n+4) Calcolare numero palline verdi per avere p(E2) = 2 / 11 Da (20/ (n+5)(n+4)) = 2 /11 segue n = 6 ( escluso – 15)

Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, 6 palline verdi estrazione contemporanea di 2 palline ( s = 11) N = Coppie palline = Cs,k = C(11),2 = (11)(10)/2 = 55 E1 = uscita 2 palline blu (1) >>> p(E1)= 1/ 55 = 0.018 E2 = uscita nessuna pallina verde (2+3 = 5) C5,2 = 5*4/2 = 10 >>> p(E2) = 10 / 55 = 10 / (11)(10)/2) = 0.18 E3 = uscita due verdi (15) >>> p(E3) = 15/55=0.27 E4 = uscita palline colore diverso(36): p(E4)=36/55 = 0.65 Ē = uscita 2 palline dello stesso colore B = (2*1/2)= 1>> p(B) = 1 / 55 = 0.018 R = (3*2/2) = 3>> p(R) = 3 / 55=0.054 V = (6*5)/2 = 15 >> p(V) = 15 / 55 = 0.27 incompatibili E4 = 1 – p(Ē) = 1 – p(E1)+p(E2)+p(E3) = 1 – 0.018 + 0.054 + 0.27 = 0.65

Applicazione delle formule con variazione di verdi e spazio totale eventi V = 5,6,7 …eventi = 45, 55, 66