Università degli Studi di Napoli Federico II IL “GIOCO” DEL CALCIO FACOLTA’ DI INGEGNERIA Scuola di Dottorato in Ingegneria Industriale Claudio D’Ambra XXIV ciclo Vincenzo Giamundo XXVI ciclo Costantino Menna XXV ciclo Game Theory and analysis of competitive dynamics for industrial systems Dottorato di Ricerca in Ingegneria dei materiali e delle strutture indirizzo Progettazione strutturale 1

 Richiami di teoria dei giochi Definizione Classificazione L’equilibrio di Nash Giochi a strategia mista  Il goal su azione Il modello e le ipotesi Le proprietà dell’equilibrio Test empirico e statistico  Il calcio di rigore Il modello e le ipotesi Le proprietà dell’equilibrio L’eterogeneità dei comportamenti Test empirico del modello Conclusioni 2 Università di Napoli Federico II

3 Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti che agiscono in modo razionale Definizione: Il Gioco è un insieme astratto di regole che vincolano il comportamento dei giocatori definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono

4 Elementi caratteristici dei giochi: 1)I giocatori: Soggetti che interagiscono nel gioco; 2)Le strategie: Le mosse che le regole rendono possibili. Per ogni giocatore le regole stabiliscono un insieme di possibili strategie; 3)I Payoffs: Utilità associata alla strategia scelta. Università di Napoli Federico II Ipotesi sul comportamento dei giocatori Razionalità: -Tutti i giocatori sono interessati a massimizzare il payoff individuale; -Tutti i giocatori sono consapevoli della razionalità degli altri e si aspettano che gli altri si comportino in modo razionale

5 Università di Napoli Federico II Classificazione dei giochi : Cooperativi i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE NON Cooperativi i giocatori NON possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE Informazione completa Informazione incompleta Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori

6 Università di Napoli Federico II Classificazione dei giochi : Giochi a somma zero il guadagno di un giocatore CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore Giochi NON a somma zero la somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È COSTANTE Giochi statici Giochi one-shot I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE Vengono giocati UNA SOLA volta Giochi dinamici I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi giocatori Giochi ripetuti

7 Università di Napoli Federico II La soluzione dei giochi L’ Equilibrio per un gioco è rappresentato da una situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori. Equilibrio di Nash L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori. Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio.

8 Università di Napoli Federico II Equilibrio di Nash In termini rigorosi, dato il gioco il profilo di strategieè detto EQUILIBRIO DI NASH se, per ogni i = 1,…, n, risulta: ossia: Numero giocatori Strategie Utilità Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori Forma Normale

9 Università di Napoli Federico II Equilibrio di Nash Il giocatore i-esimo, cosi come tutti gli altri, non può ottenere un payoff superiore giocando una strategia diversa se gli altri continuano a giocare la strategia di Nash. Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori Nessun giocatore ha l’incentivo a cambiare le sue scelte se gli altri non lo fanno. L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri.

10 Università di Napoli Federico II Giochi a strategia mista Strategie miste: strategie che definiscono combinazioni probabilistiche di tutte le possibile strategie pure del gioco. Il giocatore non sceglie direttamente una mossa (ad esempio, sx) ma la probabilità con la quale adotterà ciascuna mossa. Valore atteso strategia mista: media ponderata dei premi che il giocatore si aspetta di ricevere, ove i pesi sono le probabilità del verificarsi di tali vincite. L’equilibrio di Nash può non esistere in strategie pure (tipo matching pennies). Tuttavia si può allargare la definizione di strategie per considerare le strategie miste. Si può dimostrare che se consideriamo le strategie miste esiste sempre un equilibrio di Nash

11 Università di Napoli Federico II Giochi a strategia mista Dato il gioco finito Una strategia mista del giocatore i σ i è una distribuzione che assegna probabilità σ i (s i ) alla strategia pura s i. Σ i indica lo spazio delle strategie miste del giocatore i e Σ = Σ 1 x ….x Σ n Ad ogni profilo σ = (σ 1,…., σ n ) di strategie miste corrisponde una lotteria che ogni giocatore valuta secondo la sua utilità attesa U i (σ) Un profilo è un equilibrio di Nash (nelle strategie miste) se, per ogni i=1, …, n, si ha:

12 Università di Napoli Federico II Dati confrontati con risultati sportivi: Validazione delle ipotesi di Equilibrio di Nash Motivazione e abilità dei giocatori Interazione strategica che ha luogo durante i matches

13 Università di Napoli Federico II Tiratore: Palo vicino (N) oppure Paolo lontano (F) Portiere: scelta della posizione p (prima del tiro) Scelta del tiro N o S Risultato del tiro: Stocastico! 1-q q p N F

14 Università di Napoli Federico II 1-q q p N F

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19 Università di Napoli Federico II H0:  =1/2 H1:  <1/2

Un calcio di rigore è un calcio di punizione diretto verso la porta difesa dal portiere, senza interposizione di barriere, battuto da una distanza di 11 m La distanza e la velocità con la quale viene calciata la palla non permettono al portiere di scegliere dove tuffarsi dopo aver visto la traiettoria. Quindi il portiere non conosce la traiettoria del tiro prima che il tiro venga effettuato cioè non conosce la strategia del rigorista. In termini più rigorosi, il calciatore prova a massimizzare la probabilità di segnare il rigore viceversa il portiere prova a minimizzare la medesima probabilità, ma entrambi non conoscono la strategia adottata dall’avversario. 20 Università di Napoli Federico II

21 Università di Napoli Federico II IL CALCIATORE TIRA CENTRALE IL PORTIERE SI LANCIA A SINISTRAA DESTRA PROBABILITA’ DI SEGNARE P= 

22 Università di Napoli Federico II IL CALCIATORE TIRA CENTRALE IL PORTIERE RESTA CENTRALE PROBABILITA’ DI SEGNARE P= 

23 Università di Napoli Federico II IL CALCIATORE TIRA A SINISTRA IL PORTIERE SI LANCIA A SINISTRA PROBABILITA’ DI SEGNARE P=P L

24 Università di Napoli Federico II IL CALCIATORE TIRA A SINISTRA IL PORTIERE RESTA CENTRALE O SI LANCIA A DESTRA PROBABILITA’ DI SEGNARE P=  L >P L

25 Università di Napoli Federico II IL CALCIATORE TIRA A SINISTRA SULLA TRAVERSA O FUORI IL PORTIERE RESTA CENTRALE O SI LANCIA A DESTRA PROBABILITA’ DI SEGNARE P=1-  L

26 Università di Napoli Federico II Portiere Calciatore StrategieSinistraCentroDestra Sinistra Centro0 Destra

27 Università di Napoli Federico II Restricted randomization (RR) Il calciatore e il portiere non scelgono mai il centro Le probabilità di segnare sono uguali per entrambe i lati General randomization (GR) Il calciatore e il portiere scelgono destra, sinistra e centro Le probabilità di segnare sono sempre uguali

28 Università di Napoli Federico II 1.I comportamenti del calciatore e del portiere sono casuali e indipendenti 2.La probabilità di segnare è la stessa se il calciatore calcia a destra, a sinistra o al centro ogni volta che lui calcia al centro con una probabilità positiva. Analogamente, la probabilità di segnare è la stessa se il portiere si tuffa a destra, a sinistra oppure resta al centro ogni volta che lui rimane al centro con una probabilità positiva. Per l’equilibrio del gioco sono vere le seguenti proprietà:

29 Università di Napoli Federico II 5.Per l’assunzione SC, è più probabile che il calciatore scelga la soluzione centrale (C) rispetto al portiere (è più probabile che massimizzi la probabilità di segnare). 6.Per l’assunzione SC, è meno probabile che il calciatore scelga il proprio lato naturale (L) rispetto al portiere (è meno probabile che massimizzi la probabilità di segnare). Portiere Calciatore Strategie Sinistra (L)Centro (C)Destra (R) Sinistra (L) Centro (C) 0 Destra (R)

30 Università di Napoli Federico II 5.Per le assunzioni SC e NS è più probabile che il portiere scelga il lato naturale del calciatore L rispetto al lato opposto R. 6.Per le assunzioni SC e KS il rigorista sceglie il suo lato naturale L più spesso del lato opposto R. 7.Per le assunzioni SC, NS e KS la coppia (L,L) è molto più probabile rispetto a entrambe le coppie (L,R) e (R,L), che a loro volta sono entrambe più probabili rispetto a (R,R). Portiere Calciatore Strategie Sinistra (L)Centro (C)Destra (R) Sinistra (L) Centro (C) 0 Destra (R)

31 Università di Napoli Federico II Una semplificazione è quella di assumere che la matrice dei giochi è dipendente solo dal calciatore e non più dal portiere. In questo modo tutti i risultati teorici possono essere provati rigorista per rigorista, usando tutti i tiri di uno stesso rigorista come variabile indipendente dello stesso gioco.

32 Università di Napoli Federico II La validazione del modello è condotta su un campione di 459 calci di rigore della Prima Divisione francese e della Serie A italiana. Nel campione esaminato compaiono un totale di 162 calciatori e 88 portieri. Di questi 41 calciatori hanno tirato almeno 4 rigori, coprendo il 58% del totale dei calci di rigore, mentre solo 9 calciatori hanno tirato almeno 8 rigori, coprendo il 22% del totale dei calci di rigore. Test empirici

33 Università di Napoli Federico II A - Test per verificare la simultaneità dei movimenti del calciatore e del portiere Per verificare tale ipotesi l’autore confronta i comportamenti degli attori con le azioni precedenti. L’azione del giocatore riferita all’evento i deve essere indipendente dalle azioni del portiere riferita agli eventi 1, …, i-1 e viceversa. In termini matematici, il test è implementato attraverso una regressione lineare nella quale uno dei parametri è funzione delle azioni precedenti. La regressione è buona per valori prossimi a zero del suddetto parametro e dunque l’ipotesi può ritenersi verificata. Azioni precedenti Regressione lineare Tiro a dx per l’evento i Condizioni esterne β = 0 Per simultaneità delle azioni Corrispondenza del portiere al tiro del calciatore per l’evento i

34 Università di Napoli Federico II B - Test per verificare l’attendibilità del modello in relazione all’aggregazione dei dati Verificare che i giocatori praticano le strategie miste è complicato per due fattori: 1.Il numero dei giochi esaminati per ciascun giocatore è limitato; 2.Il calciatore sfida diversi portieri e dunque molteplici osservazioni sullo stesso calciatore opposto a diversi portieri potrebbe indurre a pensare che il test è positivo quando in realtà non è così. Ad ogni modo solo 3 dei 26 calciatori che calciano 3 rigori, ciascuno tira sempre nella stessa direzione. Lo stesso vale per i portieri e dunque il test si può ritenere positivo.

35 Università di Napoli Federico II B - Test per verificare l’attendibilità del modello in relazione all’aggregazione dei dati Come previsto dal modello, il calciatore sceglie di calciare al centro più spesso rispetto al portiere (79 contro 11) Come previsto dal modello, il portiere sceglie di tuffarsi a sinistra (lato di tiro naturale per il calciatore, supposto destro) più spesso di quanto faccia il calciatore (260 contro 206)

36 Università di Napoli Federico II B - Test per verificare l’attendibilità del modello in relazione all’aggregazione dei dati Inoltre è verificato che sia il portiere sia il calciatore prediligono la sinistra rispetto alla destra (260 contro 188 per il portiere e 206 contro 174 per il rigorista)

37 Università di Napoli Federico II Portiere Calciatore Strategie Sinistra (L) Centro (C) Destra (R) Sinistra (L) Centro (C) 0 Destra (R) Portiere Calciatore Strategie Sinistra (L) Centro (C) Destra (R) Sinistra (L) Centro (C) Destra (R)

38 Università di Napoli Federico II Il test è implementato attraverso una regressione lineare dalla quale emerge che, contrariamente a quanto si possa pensare per il fatto che i portieri sono tanti e con abilità diverse, è attendibile l’ipotesi di portieri identici. Lo stesso NON vale per i calciatori che invece manifestano una palese eterogeneità di comportamenti. C - Test per verificare l’ipotesi di portieri identici

39 Università di Napoli Federico II Nel gioco del calcio è possibile individuare alcune azioni per le quali le strategie pure non ammettono equilibrio di Nash, è quindi necessario ricorrere alle strategie miste. Nel caso esaminato del goal su azione l’equilibrio di Nash rispecchia la distribuzione empirica dei goal segnati in condizione N e F. Nel caso del calcio di rigore il modello teorico presentato riflette le assunzioni fatte dall’autore per i casi esaminati permettendo di individuare due equilibri RR e GR (in condizione di omogeneità dei comportamenti dei giocatori).

40 Università di Napoli Federico II I risultati empirici sono perfettamente in linea con il modello presentato. Non si può accettare l’ipotesi che i giocatori scelgano le proprie strategie in funzione dei comportamenti dell’avversario, (nessuno dei due giocatori sceglie la propria strategia in funzione dei comportamenti dell’avversario). L’importanza di tenere in conto l’eterogeneità degli attori gioca un ruolo decisivo per l’interpretazione corretta del fenomeno: alcune previsioni del modello generale non valgono in condizioni eterogenee.

41 Università di Napoli Federico II GRAZIE PER L’ATTENZIONE