PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI CIRCONFERENZA TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI

CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA

ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA Freccia o sagitta Q  P Retta secante Corda PQ Raggio Arco BQ A B  Diametro AB ( ) Centro T  Punto di tangenza Retta tangente

PROPRIETA' FONDAMENTALI 01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. L R

02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti). P Q M N R

03.-Corde parallele determinano archi congruenti compresi fra le parallele. B C D

Le corde sono equidistanti dal centro 04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza corrispondono archi congruenti. A B C D Corde congruenti Archi congruenti Le corde sono equidistanti dal centro

POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE 01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro. R r d = distanza fra i centri ; d : pari a zero

02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune. Distanza fra i centri (d) d > R + r

03. - CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE 03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. Punto di tangenza R r R r Distancza fra i centri (d) d = R + r

04. - CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE 04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. Punto di tangenza R r R d d = R - r d: Distanza fra i centri

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni che sono i punti d'intersezione. R r Distanza fra i centri (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

06. - CIRCONFERENZE ORTOGONALI 06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono perpendicolari nel punto d'intersezione. R r Distanza fra i centri (d) d2 = R2 + r2

06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni. d d < R - r d: Distanza fra i centri

PROPIETA' DELLE TANGENTI 1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono disegnare due rette tangenti che determinano due segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio risulta perpendicolare alla tangente. A B R  P AP = PB

2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti AB = CD

3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti. AB = CD

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) b a r R c TEOREMA DI PONCELET.- In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto. a b c Raggio inscritto r Raggio circoscritto R a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale. d a b c Quadrilatero circoscritto a + c = b + d

ANGOLI NELLA CIRCONFERENZA

1. - MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO 1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale alla misura dell'arco che gli si oppone. A B C r   = AB

2. - MISURA DELL'ANGOLO INTERNO 2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale alla semisomma delle misure degli archi opposti B D A C 

3. - MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ) 3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto. A B C 

4. - MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI- INSCRITTO ) 4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI- INSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto. A B C 

1. - MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO 1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà della misura dell'arco ABC. A B C 

  + AB = 180° 6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi : A C O B a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure degli archi opposti. A B C O   + AB = 180°

b. - Angolo formato da due rette secanti b.- Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla semidifferenza della misura degli archi opposti. A B C O D 

c. - Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due archi opposti. A B C O 

PROBLEMI RISOLTI

Risolvendo l'equazione: Problema Nº 01 Dal punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la misura dell'angolo PSQ. RISOLUZIONE Per l'angolo escritto PQS PSQ = x Si disegna la corda SQ Q P Sostituendo: R S 70º+x 50° 2X Nel triangololo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° X Risolvendo l'equazione: 140° X = 30°

Si tratta di proprietà che porta a: Problema Nº 02 Da un punto “P” esterno a una circonferenza si hanno le due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone un punto “S”, si traccia la RH perpendicolare alla corda QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR? RISOLUZIONE Nel triangolo rettangolo RHS PSQ = x L'angolo S = 70º R Q Per l'angolo inscritto si ha H QR = 140° Si tratta di proprietà che porta a: S 70° 140° X P 20° 140° + X = 180° Risolvendo: X = 40°

Misura dell'angolo interno Misura dell'angolo esterno Problema Nº 03 Da un punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º. RISOLUZIONE Misura dell'angolo interno APD = x A C B D BC = 50° Misura dell'angolo esterno 130° 50° x P Risolvendo: X = 40°

Problema Nº 04 In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga fino al punto “P”, dal quale si disegna una retta secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura dell'angoloAPN? RISOLUZIONE Si disegna ioil raggio OM: APN = x M N Dati: OM(raggio) = PM Allora il triangolo PMO è isoscele 54° L'angolo al centro è uguale all'arco o x x A B x P Misura dell'angolo esterno Risolvendo: X = 18°

Problema Nº 05 In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza. Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti “P”, “Q” e “R”. Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura l'angoloPRQ? RISOLUZIONE Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: A B C PRQ = x 70° 70° + PQ = 180° PQ = 110° 110° P Q R Misura dell'angola inscritto: x Risolvendo: X = 55°

Problema Nº 06 A 70° X P B Risoluzione Calcola la misura dell'angolo “X”. 70° B A X P Risoluzione

X = 40º RISOLUZIONE A C 70° 140º X P B AB=140º 140º + x = 180º Misura dell'angolo inscritto: AB=140º Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: X = 40º 140º + x = 180º Risolvendo:

Problema Nº 07 Calcolare la misura dell'angolo “x” A 130º X P B Risoluzione

Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: B A X P 130º C RISOLUZIONE 260º Misura dell'angolo inscritto: AB = 260º Nella circonferenza: 260º + ACB = 360º ACB = 100º Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: ACB + x = 100º X = 80º

Problema Nº 08 2 B A C 5 Risoluzione Calcula il perímetro del triangolo ABC. 2 5 A B C Risoluzione

a b 2 (1) (2) RISOLUZIONE B A C 5 (2p) = 24 Teorema di Poncelet: a + b = 10 + 2(2) (1) a + b = 14 (2) Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 Sostituendo la (1) nella (2) (2p) = 14 + 10

Problema Nº 09 Dal punto “P” esterno alla circonferenza si disegna la tangente PQ e la secante PRS in modo che gli archi SQ e SR siano congruenti. Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza dell'angolo QPR . Disegno Q a P 80º X R S Risoluzione

Risoluzione X Q R S 80º P a Nella circonferenza: 2a + 80º = 360º a = 140º Misura dell'angolo esterno: X = 30º

Problema Nº 10 In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la lunghezza di PR P Q R S Disegno 3 2 Risoluzione

Risoluzione Dato: a a + b + c + d = 22cm b c d Teorema di Poncelet: Q R S 2 3 Risoluzione Dato: a + b + c + d = 22cm a b c d Teorema di Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm