Sistemi di Numerazione

5 V Numero e Numerale Numerale: E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli. Numero: Entità astratta; idea che si ha della quantità.

Che cos'è un Sistema di Numerazione ? Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare correttamente i numeri. Fra i principi elenchiamo: 1. Principio dell' Ordine 2. Principio della Base 3. Principio posizionale

1. Principio dell' Ordine Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra. Esempio: 568 1° Ordine 2° Ordine 3° Ordine Osservazione: Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra

Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6: 2. Principio della Base Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità. Esempio: Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6: = 2 3 15 (6) Gruppi Unità che avanzano

= 4 20 Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ? (5) Nel sistema “Quinario”, dobbiamo raggruppare di 5 in 5. = 4 20 (5) Gruppi Unità che avanzano

Come rappresentare un numero in un'altra base ? Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle: “Divisioni Successive” Esempio: Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 ) 243 7 34 7 5 4 6 Allora: 243 = 465 (7)

Base Sistema Cifras que emplea La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema: Base Sistema Cifras que emplea 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Quaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Eptale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Ottale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Endecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B A = 10 B = 11

457 3. Principio posizionale: In un numerale tutte le cifre hanno un ”valore posizionale”, vediamo un esempio: 457 Unità = 7.1 = 7 Decine = 5.10 = 50 Centinaia = 4.100 = 400 Osservazione: La somma dei valori posizionali, ci dà il numero. 400 + 50 + 7 = 457

Scrittura polinomiale nel sistema decimale Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre. Esempi:

Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione Esempio: 3 2 4357 = 4.9 + 3.9 + 5.9 + 7.1 (cioè 7. 90) (9) 1 3 9 9 2 9

Altri esempi: 3 2 2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3 (5) 2 124 = 1.6 + 2.6 + 4 (6) 2 346 = 3.8 + 4.8 + 6 (8) 3 2 23A5 = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5 (11) 54 = 5.8 + 4 (8)

Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel Sistema Decimale Ejemplos: 3 2 4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1 (7) = 4.343 + 5.49 + 14 + 1 = 1632 2 124 = 1.5 + 2.5 + 4 (5) = 1.25 + 10 + 4 = 39 64 = 6.8 + 4 = 52 (8)

Se 2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y = 2.125 + x.25 + 15 + y = 265 + 25x + y In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita Esempi: 3 2 Se 2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y (5) = 2.125 + x.25 + 15 + y = 265 + 25x + y Allora 352 2 = 3.n + 5.n + 2 (n) xyz = x.a + y.a + z 2 (a) 2abc = 2.x + a.x + b.x + c 3 2 (x)

Alcuni Concetti conclusivi aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Numerale Palindromo (Bifronte) Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra. Esempi: 44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321 In generale, con simboli letterali, si rappresentano così: aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Si chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

Esercitazioni

Se: ab + ba = 132 , calcolare (a+b). Esercizio 1: Se: ab + ba = 132 , calcolare (a+b). Scomponiamo polinomialmente: (10a + b) + (10b + a) = 132 Sommiamo i termini simili: 11a + 11b = 132 Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11: a + b = 12 Risposta.

Esercizio 2: Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre?. Se il numerale è di due cifre, allora sarà: ab Dalle informazioni: ab = 4 ( a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 10a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = b 1 2 ab = 12 2 4 ab = 24 3 6 ab = 36 4 8 ab = 48 Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le condizioni date

Esercizio 3: Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre. Se il numerale inizia con 6, allora sarà: 6ab Per i dati: 6ab = 55 ( 6+a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 600 + 10a + b = 330 + 55a + 55b Sommiamo i termini simili e semplifichiamo: 270 = 45a + 54b 30 = 5a + 6b 5 6ab = 605 6 6ab = 660 2 Risposte.

Esercizio 4: Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il numerale. Se è un numerale di due cifre: ab Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: ab00 Però: ab00 = ab. 100 = 100.ab Perciò l'aumento è: 100 ab – ab = 99.ab Allora: 99. ab = 2871 ab = 29 Risposta.

Se: abcd = 37.ab + 62.cd , calcolare (a+b+c+d) Esercizio 5: Se: abcd = 37.ab + 62.cd , calcolare (a+b+c+d) abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd Sostituendo, abbiamo: 100.ab + cd = 37.ab + 62.cd 63.ab = 61.cd ab 61 = cd 63 Allora: ab = 61 y cd = 63 Di conseguenza: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16 Risposta.

Esercizio 6: Calcolare il valore di “a”, in: 13a0 = 120 (4) Convertiamo 120 nel sistema quaternario 120 4 30 4 120 = 1320 (4) 7 4 2 1 3 Sostituendo ad a il 2 abbiamo: 13a0 = 1320 a = 2 Risposta. (4) (4)

Esercizio 7: Calcolare il valore di “a”, in: 2a2a = 1000 (7) Scomponiamo polinomialmente 3 2 2.7 + a.7 + 2.7 + a = 1000 2.343 + a.49 + 14 + a = 1000 686 + 49a + 14 + a = 1000 700 + 50a = 1000 50a = 300 a = 6 Risposta

n23 ; p21 ; n3m y 1211 n23 p21 n3m 1211 Esercizio 8: Se i numerali: (6) (p) Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p. Sicuramente: BASE > CIFRA n23 m > n y m > 3 (m) p21 n > p y n > 2 (n) n3m 6 > n y 6 > m (6) 1211 p > 2 (p) Ordinando, si ha: 6 > m > n > p > 2 5 4 3 Risposte.

La cifra di ordine minore è 7 Esercizio 9: Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base 6. Il maggior numero di tre cifre di base 6 è: 555 (6) Trasformandolo in base 10: 2 555 = 5.6 + 5.6 + 5 = 180 + 30 + 5 = 215 (6) Adesso nel sistema ottale (base 8): 215 8 26 8 555 = 215 = 327 (6) (8) 7 3 2 La cifra di ordine minore è 7