Facciamoci Problemi I.C. Pascoli Riolo T.me – 22/03/2016 Andrea Maffia Università di Modena e Reggio Emilia

Polya (1945) Comprendere il problema Ideare un piano per trovare la soluzione Eseguire il piano Verificare e valutare il procedimento e controllare il risultato

Problemi narrativi Problema presentato generalmente attraverso testo verbale e rappresentato attraverso una storia, ossia una narrazione (più o meno lunga) caratterizzata da: -Tempo -Sequenza -Continuità dell’argomento

Problemi narrativi In una storia, generalmente, abbiamo: - Una situazione di conflitto/disagio -Un protagonista animato da un fine a esso legato -Una sequenza di eventi basati su rapporti causali (non necessariamente logici)

Problemi narrativi Nel problema narrativo la storia nasconde una struttura matematica Generalmente c’è una richiesta, espressa in forma di domanda La dimensione narrativa e quella logica si intrecciano

Brousseau & Chevallard Aspetti normativi: -Il contratto didattico Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha il pastore?

Perché gli studenti rispondono?  Qualsiasi domanda venga posta a scuola prevede una risposta  Per risolvere un problema si devono prendere i numeri e provare qualche operazione  Una volta scelta l’operazione sarà lei a dare la risposta, io non ho più controllo sul problema (delega formale, D’Amore)D’Amore

Il ciclo della modellizzazione Problema reale Problema matematico Soluzione matematica Soluzione reale Formulare Utilizzare Interpretare

L’interpretazione del risultato "31 col resto di 12" (29%) "31" (18%)

L’interpretazione del contesto Molte volte il contesto può aiutare. Immagina di avere un mazzo di carte sul cui fronte è stampata una lettera e sul retro un numero. Se sul fronte è stampata una vocale, allora sul retro deve esserci un pari. Osserva le seguenti carte Quali carte dovrai girare per verificare se provengono dal mazzo precedentemente descritto?

Secondo il codice della strada italiano vale la seguente regola: Per andare in due persone sul motorino è necessario che colui o colei che guida sia maggiorenne. Un vigile urbano controlla le strade per verificare che vengano rispettate le regole. Davanti a sé vede passare quattro motorini. Vede chiaramente che sul primo motorino ci sono due persone. Il secondo motorino è guidato da una persona anziana molto alta e non riesce a vedere se ci sia qualcuno dietro. Il terzo motorino è guidato da un ragazzo giovane e dietro potrebbe esserci qualcuno ma il vigile non ne è sicuro. L’ultimo motorino trasporta soltanto una persona ma è difficile stabilirne l’età. Quali motorini dovrà fermare il vigile per controllare che la regola sia rispettata?

L’interpretazione del contesto Usare un contesto reale è sempre un aiuto? Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco. Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone. Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone? Perché? [Zan]

Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone? All’arancia Perché? Se Matteo prendeva quella al limone ne rimaneva una sola e invece è meglio prenderla all’arancia

In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno: Angelo: ‘Non è stata Bruna’ Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’ Chiara: ‘Non è stato Daniele’ Daniele: ‘Non sono stato io’ Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa. Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta. [Ferrari]

‘Angelo, non è discolpato da nessuno’ ‘Chiara non è nominata da nessuno perché vogliono coprirla’ ‘Daniele si discolpa, quindi probabilmente è stato lui’

Il contesto va scelto bene Deve essere coerente

Il contesto va scelto bene Deve essere nell’enciclopedia dei bambini Giovanni voleva comprare un regalo a Carlo per il suo compleanno, perciò andò a prendere il suo maialino; lo agitò ma non udì nessun rumore; avrebbe dovuto fare un regalo a Carlo con le sue mani". Levinson (1983)

Sui un piatto di una bilancia ci sono 3 sacchetti tutti uguali e un pacco di sale. Sull’altro piatto della bilancia ci sono 7 pacchi di sale. Se ogni pacco di sale pesa 1kg, quanto pesa ciascun sacchetto?

Impliciti (De Corte et al.,1985) Ann e Tom insieme hanno 8 libri. Ann ha 5 libri. Quanti libri ha Tom? I 5 libri di Ann sono parte degli 8 che Ann e Tom hanno insieme implicito Ann e Tom insieme hanno 8 libri. 5 di questi libri sono di Ann. Quanti libri ha Tom? aumentano le risposte corrette!

“I due posti liberi sono i posti delle maestre, perché le maestre stanno sempre in piedi” ENCICLOPEDIA

La domanda va scelta bene Altrimenti si rischia di avere -Problemi vuoti -Problemi spezzati -Problemi chiusi La cui soluzione può essere poco motivante

Problemi vuoti Il protagonista della storia non ha uno scopo. La domanda è sul contesto e non sulla storia Carlo compra un quaderno e due penne. Spende 2 euro. Una penna costa 60 centesimi. Quanto costa il quaderno?

Problemi spezzati La domanda non riguarda gli scopi del protagonista Bicicletta Giorgio vuole acquistare una bicicletta con i soldi che i nonni gli hanno dato per la promozione. Fra le tante biciclette in esposizione ne sceglie una di colore rosso con il cambio, che costa 190€. Sapendo che il negoziante ha pagato la bicicletta 80€, a quanto ammonta il suo guadagno?

Problemi chiusi Il protagonista ha già risolto il suo problema Il caffè Il signor Mario, proprietario di un bar, va al supermercato perché deve comprare 12 chili di caffè. Al supermercato guarda bene tutti i tipi per trovare quello più economico, e sceglie la marca 'Bevimi subito' che è in offerta. Se il caffè era confezionato in pacchetti da 250 grammi, quanti pacchetti ha comprato il signor Mario?

Proposta: riformulazione D’Amore et al., 1995 Richiedono agli allievi di riformulare il testo di un problema, ma senza risolverlo

Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro? Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore. Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare. Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma devono fare lo stesso lavoro. Secondo te, impiegheranno più tempo o meno tempo? Perché? Calcola quanto tempo impiegheranno gli allievi riformulano così

Le proprietà di una storia (Bruner, 1991) In una ‘storia’ ci deve essere un evento che si svolge nel tempo (almeno) un personaggio animato In una ‘storia’ ci deve essere un evento che si svolge nel tempo (almeno) un personaggio animato Ad una storia non viene richiesto di essere vera, ma verosimile. Per 'verosimiglianza' si intende che quello che succede abbia un 'senso umano', cioè sia verosimile in base alla conoscenza delle cose del mondo che il lettore ha. Ad una storia non viene richiesto di essere vera, ma verosimile. Per 'verosimiglianza' si intende che quello che succede abbia un 'senso umano', cioè sia verosimile in base alla conoscenza delle cose del mondo che il lettore ha. La comprensione di una storia mette in gioco un pensiero di tipo narrativo, e non di tipo logico. Quindi le informazioni rilevanti per comprendere un problema-storia non sono necessariamente le informazioni necessarie per risolverlo

Quando il contesto di un problema viola queste proprietà… … possiamo parlare di FRATTURE NARRATIVE all’interno del contesto

Metodologie Problemi nudi e problemi vestiti

Il Re Guerrino insieme ai suoi cavalieri compie tre piccolissime battaglie ogni settimana: il martedì, il mercoledì, il giovedì. Il martedì il re Guerrino e i suoi pochissimi cavalieri per levarsi il sangue di dosso, per abbeverarsi e per lavare le spade consumano 14 bottiglie di acqua da 1,5 litri d‟acqua ciascuna, il mercoledì 19 bottiglie da 1,5 litri ciascuna e il giovedì come il mercoledì. Quanti litri di acqua consumano nei tre giorni?

Alcuni operai della strada devono modificare una strada di Valenzatico e ci lavorano il martedì, il mercoledì e il giovedì. La signora Giovanna, vedendo l’impegno dei ragazzi, ogni giorno prepara loro da bere: il martedì 14 bottiglie di acqua da 1,5 litri ciascuna; il mercoledì e il giovedì invece 19 bottiglie al giorno sempre da 1,5 litri. Quanti litri di acqua si consumano nei tre giorni?

Rimbocchiamoci le maniche Nell'isola di Itaca, Penelope attendeva da ormai dieci anni il ritorno dalla guerra del marito Ulisse. A Itaca, però, molti uomini volevano prendere il posto di Ulisse E sposare Penelope, per diventare re ed impadronirsi delle ricchezze di Ulisse. Penelope non voleva sposare un altro uomo, ma non sapeva come fare.

Proprio quel giorno, però, la dea Minerva le disse che Ulisse stava tornando, ma che la sua nave avrebbe impiegato 50 giorni per arrivare ad Itaca. Penelope era felice, finalmente avrebbe potuto riabbracciare suo marito. I pretendenti, però, volevano che Penelope scegliesse tra loro il suo nuovo sposo e che stabilisse al più presto il giorno delle nozze. Per attendere il suo ritorno senza farli insospettire, doveva quindi riuscire a convincere i pretendenti ad aspettare ancora, ma come fare? Ad Un tratto le venne un'idea.... Penelope radunò subito i pretendenti e disse loro: "Ho deciso, sceglierò tra voi il mio sposo e le nozze si celebreranno quando avrò finito di tessere una nuova coperta per il letto matrimoniale. Incomincerò oggi e prometto di tessere ogni due giorni; quando avrò finito, la coperta sarà la mia dote di sposa". I pretendenti accettarono. La coperta doveva essere lunga 15 spanne. Penelope iniziò subito il lavoro, ma un giorno tesseva una spanna di coperta, mentre il giorno dopo, di nascosto, ne disfaceva la metà....Penelope dovrà sposare uno dei pretendenti, o Ulisse arriverà prima che la coperta sia completata?

Date un occhio ai vostri problemi Ci sono fratture narrative? Il contesto permette di perdersi? Le conoscenze enciclopediche degli studenti sono sufficienti? Le domande sono legate al contesto? Ci sono rappresentazioni che aiutano o potrebbero aiutare?

Conclusioni L’attività matematica è soprattutto un’attività legata alla soluzione di problemi I problemi, soprattutto quelli narrativi, possono essere motivanti anche se difficili Attività di discussione, riscrittura, condivisione, rappresentazione sono consigliate Si devono favorire problemi autoposti, traendoli anche dalle situazioni “reali”

Conclusioni Si può farlo con tutti gli studenti, prevedendo gli opportuni stimoli e le opportune difficoltà dal punto di vista narrativo e logico Lo si può fare dalla prima fino alla quinta (e anche prima e anche dopo)

Grazie!