Le Onde Gravitazionali in Relatività Generale ed in altre teorie metriche Richiami sulla loro derivazione La Rivelazione delle onde gravitazionali La deviazione geodetica La generazione delle onde gravitazionali Sorgenti astrofisiche di onde gravitazionali

Dai test mostrati nelle lezioni precedenti possiamo concludere che: nel limite Post-Newtoniano una teoria metrica della gravità si deve ricondurre alla teoria della relatività generale (con dei margini di errore che vanno dall’1% a 1 parte su 10 7 ) la relatività generale è in accordo con tutti i risultati sperimentali nel nostro sistema solare senza alcun aggiustamento dei parametri; le altre teorie metriche possono raccodarsi con tutti i risultati sperimentali nel nostro sistema solare con opportuni aggiustamenti dei parametri cosmologici;

nella maggior parte delle prove sperimentali erano in gioco capi deboli, piccole velocità, limiti post- Newtoniani; per testare le altre teorie metriche è necessario muoversi verso nuove ‘aree di predizione’ in cui i test sperimentali possano permettere di discriminare una teoria dall’altra in maniera evidente; la radiazione gravitazionale è proprio quello che fa il caso nostro; essa rientra nelle predizioni delle teorie metriche in cui siano presenti gli effetti dinamici del campo gravitazionale.

Fino adesso ci siamo occupati degli effetti del campo gravitazionale debole, lento e ‘vicino’ Ora ci occuperemo del campo gravitazionale debole, lento e ‘lontano’; Il campo ‘lontano’ è il responsabile del trasporto di energia attraverso la radiazione gravitazionale; L’astronomia delle onde gravitazionali apre una nuova finestra sull’universo.

Il tensore energia-impulso che contiene le informazioni sulle sorgenti del campo, masse e loro stato di energia In generale non risolvibile analiticamente….. dove Le equazioni di campo: In assenza di sorgenti 

IPOTESI DI CAMPO DEBOLE APPROSSIMAZIONE AL PRIMO ORDINE IN h ij DEL TENSORE DI RIEMANN GAUGE ARMONICA (ANNULLA TERMINI E MANTIENE IL CAMPO DEBOLE) Approccio perturbativo …

La condizione che le h siano piccole lascia la libertà di cambiare il sistema di riferimento x μ con piccole trasformazioni: Con le ξ i piccole. Dunque, si può mostrare che: Quest’arbitrarietà, sul tensore metrico, ci permette di scegliere un tensore: Con il quale il tensore di Ricci assume la forma particolarmente semplice: Gauge Armonica Approccio perturbativo … Equazione delle onde ξ i devono anch’esse soddisfare l’equazione delle onde

La scelta arbitraria dei 4 parametri costanti C j, ci consente di porre altre 4 condizioni su h jk rimanendo con 2 gradi di libertà. Scegliamo che h=0 (traccia nulla) e che h  =0. La gauge TT Consideriamo le soluzioni in onda piana: A jk è un tensore simmetrico  10 componenti indipendenti. Sostituendo questo h nell’equazione delle onde, otteniamo: Che ci dice che il vettore d’onda è di tipo luce (o come si usa dire è nullo) Applichiamo la condizione di gauge armonica: Che sono 4 condizioni => 6 gradi di libertà Imponiamo la condizione che le trasformazioni di coordinate lasciano invariata la condizione armonica per cui le ξ μ soddisfano l’equazione delle onde: Questa prende il nome di gauge Traceless Tranverse (TT) onde trasverse

Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Nel vuoto Gauge TT Le componenti indipendenti del tensore A ij si riducono a 2 Direzione di propagazione z

Sovrapposizione di due onde piane polarizzate + e x 5 parametri reali identificano l’onda: due angoli (direzione di propagazione) due ampiezze di polarizzazione complesse ovvero due numeri reali più la fase relativa.

Per comprendere il significato dei due stati di polarizzazione ‘+’ e ‘X’ è necessario scrivere l’equazione che governa la distanza tra due particelle libere (Equazione della deviazione geodetica): Partiamo dall’equazione delle geodetiche Dati due corpi in caduta libera: le loro geodetiche non sono parallele e convergono verso il punto sorgente del campo. Misurando quanto una geodetica è deviata rispetto all’altra potremmo avere informazioni sul campo presente. x i ( ,p)x i ( ,p+dp)  i ( ,p) la curva geodetica della particella p è data da x i ( ,p) la deviazione geodetica si scrive

x i ( ,p)x i ( ,p+dp)  i ( ,p ) Essa è legata al tensore di Riemann tramite l’equazione: quadrivelocità tensore di Riemann simboli di Christoffel

Nel caso di campo debole e v<<c la quadrivelocità di un corpo si scrive: per cui l’equazione della deviazione diviene: avendo trascurato i termini di 2 o ordine (h ik ) 2 se la GW si propaga lungo z

Integrando, per piccole variazioni della distanza…. Si può quindi comprendere il significato dei due stati di polarizzazione guardando gli effetti su un anello di masse libere di questa deformazione di natura mareale, semplicemente inserendo al posto del tensore h ciascuno dei due tensori di polarizzazione di cui sopra ed ottenere le deformazioni indotte… Stato +Stato X

(+)(X)

Ogni teoria metrica prevede l’esistenza delle onde gravitazionali ma con differenti modalità 1.la velocità di propagazione può differire da quella della luce nel vuoto; 2.possono predire un numero >2 di stati di polarizzazione per le GW 3.le GW possono essere generate da differenti simmetrie di multipolo a partire anche dal monopolo

Identificazione delle variabili: Metrica g , campo scalare , campo vettoriale K , campo tensoriale B  Definizione delle condizioni al contorno sulla base del sistema di coordinate che asintoticamente definisce le variabili lontano dalle condizioni di Fisica post- newtoniana. Tipica assunzione: Cosmo asintoticamente omogeneo e isotropo: g  ==>   =diag(      ==>   K  ==>(K,0,0,0) B   B (o)   diag(             Calcolo della soluzione completa PPN incluso il limite asintotico per imporre le condizioni: g  = g (o)   h    =    K  =  (K + k 0, k 1, k 2, k 3 ) B  = B (o)   b  Risolvere successivamente il problema sino all’ordine O(4) sotto opportuna scelta della gauge Riportare il risultato in coordinate locali quasi-Cartesiane nella gauge standard PPN.

Teoria scalare  h   Soluzione in onda piana k k  =0. Velocità di progazione ancora pari a c Teorie Vettoriali/Tensoriali  (10 differenti soluzioni) v g = (1-  K 2 )/[1-(  K 2 ] (  parametri arbitrari d’accoppiamento dei vari termini presenti nell’espressione dell’azione) In generale la velocità può dipendere dalle condizioni al contorno cosmologiche, da potenziali gravitazionali di corpi esterni quali ad esempio Galassia, Sole..)

(a), (b), (c) L’onda si propaga nella direzione perpendicolare al foglio (d), (e), (f) L’onda si propaga nella direzione indicata dalla freccia

Equazioni di h ij in presenza di materia T ij è lo pseudotensore energia-impulso legge di conservazione della quantità di moto soluzione con potenziali ritardati

Somiglianza formale con le equazioni del campo e.m. J i è la quadricorrente A i è il quadripotenziale leggi di conservazione della carica elettrica Soluzione con potenziali ritardati quando effettuiamo l’espansione multipolare nel caso della Gravità, a causa della conservazione di quantità di moto, il termine dipolare è zero. il primo contributo non nullo al campo di radiazione è quello quadrupolare. Ne consegue che le tecniche di calcolo più semplici relative al problema della generazione di radiazione gravitazionale sono fondate sul cosidetto formalismo quadrupolare

Conservazione dell’impulso Conservazione del momento angolare Primo termine non nullo Sviluppo di Multipolo (r source / )

J/m 2 /s Luminosità della sorgente La luminosità della sorgente viene ricavata dalla forma del tensore energia-impulso dell’onda che si propaga nella direzione z. Le sue uniche componenti sono: T 00 (densità di Energia) T 0z (Flusso di Energia) T zz (Flusso di impulso) In particolare dove <> indica la media su diverse lunghezze d’onda. I deve essere molto grande

Flusso rilevato sulla terra a distanza r dalla sorgente: Assumiamo l’emissione isotropa Per un’onda a frequenza  Valori attesi sulla terra: h ~  Enorme potenza emessa a distanze astronomiche (~10 34 W per sorgenti a 10 anni luce)

Generare una GW in laboratorio è molto difficile Cilindro posto in rotazione attorno a un asse perperdicolare alla sua lunghezza, a frequenza  Trottola al CERN per misura della 5 a forza Massa di 14 kg in alluminio opportunamente sagomata per ridurre gli sforzi durante la rotazione a  = 2  462 Hz I=0.15 kg m 2 il campo oscillante è al doppio della frequenza Non misurabile con le attuali tecnologie 

 Oggetto astrofisico compatto Luminosità W  volte il sole pulsar del Granchio ~30Hz a 2kpc dalla terra (1pc= m) I xx, I yy, I zz momenti d’inerzia rispetto agli assi principali sul piano equatoriale e rispetto all’asse di rotazione z.

 M M 2r 0 (non dipendente dal tempo e quindi nullo per l’emissione) Emissione al doppio della frequenza di rotazione

 M M 2r 0 OG in un punto a distanza R sull’asse z

 M M 2r 0 Esprimendo in funzione del raggio di Schwarzchild ed usando l’equazione Newtoniana che mi fornisce il valore della frequenza orbitale in funzione del raggio…. (!)

 M M 2r 0 (Condizione per essere in zona d’onda) Sistema “binario da laboratorio”

Costanti di accoppiamento Collassi di supernova: i subiscono 10 3 interazioni prima di lasciare la stella, le GW, invece, emergono dal nucleo indisturbate disaccoppiamento delle GW dopo il Big Bang –GW ~ s (T ~ GeV) – ~ 1 s (T ~ 1 MeV) – γ ~ s (T ~ 0.2 eV) stronge.m.weakgravity 0.11/ Trasporto ideale di informazione, Universo trasparente alle GW fino al Big Bang!! Emissione di GW : eventi molto energetici ma quasi nessuna interazione