Trasporto di calore per convezione Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore –Convezione Introduzione Trasporto di calore per convezione Esistono due meccanismi di trasporto per convezione tra una superficie solida ed un fluido Convezione forzata Convezione naturale Convezione forzata quando una causa esterna determina un moto relativo tra il fluido e la superficie solida (Esempi: moto di un fluido in un condotto, un fluido che scorre su una lastra piana, oppure una sfera che cade per gravità in un fluido fermo) Convezione naturale quando il movimento del fluido intorno alla superficie del solido è innescato proprio dalla differenza di temperatura (esempio la circolazione d’aria in prossimità di un termosifone caldo, la salita dei fumi nella canna del camino quando è acceso…)
Trasporto di calore fluido/superficie solida: casi di interesse Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata Trasporto di calore fluido/superficie solida: casi di interesse Le geometrie di maggiore interesse sono: moto intorno ad oggetti sommersi (lastra piana, sfera, cilindro) moto in tubi Obiettivo: calcolo della potenza termica scambiata
Coefficiente di trasporto di calore h Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore - Convezione forzata Coefficiente di trasporto di calore h Il “calore” trasmesso per convezione tra una superficie solida ed un fluido si esprime come: Q = h A ΔT o come flusso q = h ΔT dove: Q = potenza termica [W] (q = flusso termico [W m-2] h = coefficiente di trasporto di calore medio [W m-2 K-1] T = differenza di temperatura caratteristica [K] A = superficie di scambio [m2] N.B. in alcuni casi per evidenziare che h è un valore medio si usano i seguenti simboli = hav = hm
Equazione per il trasporto di calore per convezione forzata Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata Equazione per il trasporto di calore per convezione forzata L’equazione: Q = h A ΔT non è una legge del trasporto di calore ma solo la definizione del coefficiente di trasporto di calore medio h che deve essere valutato in altro modo. h = h (moto del fluido - proprietà termiche del fluido - geometria) IPOTESI FLUIDO: Velocità indisturbata uniforme v Temperatura indisturbata uniforme T SOLIDO: Temperatura uniforme T (indicata in genere come Ts oppure T0) SISTEMA STAZIONARIO A = WLlastra ; 2πRLcilindro ; 4πR2sfera ΔT = T solido – T fluido ( o viceversa) = Ts-T
Tecniche per il calcolo di h Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore Tecniche per il calcolo di h Soluzione con: Analisi dimensionale Teoria del film Teoria dello strato limite Analogia di Reynolds
Numeri adimensionali = n° grandezze - n°dimensioni = 7 - 4 = 3 Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata Moto intorno a oggetti sommersi: Analisi dimensionale Le grandezze da cui dipende il fenomeno sono 7 grandezze 4 dimensioni fondamentali: M, L, t, T Teorema di Buckingam Numeri adimensionali = n° grandezze - n°dimensioni = 7 - 4 = 3 Numeri adimensionali
Moto intorno a oggetti sommersi: Analisi dimensionale Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata Moto intorno a oggetti sommersi: Analisi dimensionale Numeri adimensionali Risultato dell’analisi dimensionale noto Nu è possibile calcolare h 7
Lastra reale = lastra infinita se W>>L Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Moto intorno a oggetti sommersi Lastra piana La geometria del problema è la seguente: una lastra piana infinita di spessore nullo viene investita tangenzialmente da un fluido che si muove con velocità media v e T. La lastra è a T=Ts. Si indica con x una dimensione della lastra concorde con la direzione del moto, y la direzione perpendicolare alla lastra e z l’altra dimensione della lastra. L’origine del sistema di riferimento è posto nel punto di contatto del fluido con la lastra L z y W x Lastra reale = lastra infinita se W>>L
Calcolo Nu da analogia di Reynolds per superfici piane Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di Reynolds Calcolo Nu da analogia di Reynolds per superfici piane Reynolds aveva intuito che ci doveva essere una analogia tra il trasporto di quantità di moto (qdm) ed il trasporto di calore Ipotesi: il rapporto tra la portata di quantità di moto trasportata lungo la direzione del moto (x) e quella trasmessa in direzione ortogonale (y) è uguale allo stesso rapporto per l’energia Le portate a numeratore sono convettive quelle a denominatore sono diffusive. La portata di una quantità trasportata con il moto d’insieme del fluido (convettiva) si calcola come Concentrazione della quantità x portata volumetrica
Analogia di Reynolds per superfici piane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di Reynolds Analogia di Reynolds per superfici piane Concentrazione di QDM x portata volumetrica Concentrazione di energia x portata volumetrica Portata diffusiva sulla lastra Concentrazione di QDM x portata volumetrica
Analogia di Reynolds per superfici piane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Analogia di Reynolds Analogia di Reynolds per superfici piane essendo Si ha
Sperimentalmente si verificò che questa relazione valeva solo per Pr1 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Analogia di Reynolds Analogia di Reynolds per superfici piane 1/Pr 1/Re Sperimentalmente si verificò che questa relazione valeva solo per Pr1 Analogia di Reynolds Valida solo per Pr1
Numero di Prandtl Viscosità cinematica (diffusività di qdm) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di reynolds Numero di Prandtl Viscosità cinematica (diffusività di qdm) diffusività termica [=] m2 s-1 [=]m2 s-1 DAB [=]m2 s-1 Quindi il numero di Pr rappresenta il rapporto tra la diffusività di qdm e la diffusività di calore. L’analogia stretta di Reynolds richiedeva che fosse Pr=1 gas Pr = 0.65 - 1 Valori tipici di Pr liquidi Pr > 1 metalli liquidi Pr < 0.01 Pr aria 0.7 (T>300 °K e P < 100 bar) (Perry tab. 2-368) Pr acqua = 10.3 (280 °K) 5.7 (300 °K) (Perry tab. 2-369) 3.7 (320 °K)
Numero di Nusselt Il numero di Nusselt (Nu) si può quindi vedere come: Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Numero di Nusselt kf = conducibilità termica del fluido [W m-1 K-1] . Il numero di Nusselt (Nu) si può quindi vedere come: il rapporto del gradiente di temperatura, nel fluido, calcolato alla parete diviso un gradiente di temperatura caratteristico nel fluido; come un gradiente di T adimensionale; come rapporto di flussi di calore
Calcolo di Nu da teoria del film Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Teoria del film Calcolo di Nu da teoria del film La teoria del film ipotizza che il campo di moto sia diviso in due regioni una in cui il moto è uniforme, e pari al valore indisturbato, l’altra vicina alla lastra in cui il profilo di velocità è lineare ed uniforme su tutta la superficie della lastra. La stessa ipotesi si fa anche per il profilo di temperatura y Film termico dT x Film fluidodinamico d Lo spessore del film δ e δT è costante lungo la lastra
Teoria del film qdm f = fattore di attrito Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Teoria del film Teoria del film qdm per la ipotesi di linearità del profilo di velocita (d è lo spessore del film per la qdm) f = fattore di attrito
d‘è lo spessore del film per l’energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Teoria del film Teoria del film energia deriva dalla ipotesi di linearità del profilo di T d‘è lo spessore del film per l’energia In genere sarà ci si aspetta Per cui dalla teoria del film
Lastra piana (Teoria dello strato limite) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Strato limite Lastra piana (Teoria dello strato limite) La teoria dello strato limite ipotizza che l’intero campo di moto sia divisibile in due zone: zona A) lontana dalla superficie solida in cui la velocità del fluido rimane indisturbata (v) e gli sforzi viscosi sono trascurabili zona B) vicina alla superficie solida in cui la velocità del fluido passa da quella indisturbata (v) a v=0 per il principio di aderenza. Tale zona si chiama strato limite idrodinamico ed è caratterizzata da uno spessore (spessore dello strato limite idrodinamico) che cresce lungo la direzione del moto. In essa predominano gli sforzi viscosi zona A zona B Strato limite idrodinamico Profilo di velocità in prossimità di una superficie solida piana investita tangenzialmente da un fluido con velocità indisturbata v
Spessore dello strato limite Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata –Strato limite Spessore dello strato limite Si definisce spessore dello strato limite (d) la distanza dalla lastra in direzione ortogonale alla quale la velocità del fluido raggiunge un valore v = 0.99 v lo spessore (d) è funzione della x y d d x 0.99 v
Lastra piana - Numero di Reynolds Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Strato limite Lastra piana - Numero di Reynolds Si definisce il numero di Reynolds in funzione della distanza percorsa dal fluido sulla lastra: zona A zona B Strato limite Il valore di Re di transizione (strato limite laminare strato limite turbolento) per una lastra piana è mediamente 105 N.B. Le espressioni per calcolare il coefficiente di trasporto di calore sono diverse per lo strato limite laminare e per quello turbolento. Profili di velocità in prossimità di una superficie solida piana investita tangenzialmente da un fluido con velocità indisturbata v
Lastra piana (non isotermo): teoria dello strato limite Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Strato limite Lastra piana (non isotermo): teoria dello strato limite y v x T v Ipotesi: 1) Ts costante sulla lastra (Ts < T) 2) Variazioni solo lungo x 3) spessore della lastra nullo N.B. Si ipotizza l’esistenza di uno strato limite idrodinamico ed uno termico
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Schematizzazione del trasporto di calore nella direzione y (ortogonale al moto)
Dalla teoria dello strato limite si ottiene la funzione f(Pr) = Pr1/3 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana Teoria dello strato limite e analogia di Colburn Dalla teoria dello strato limite si ottiene la funzione f(Pr) = Pr1/3 Si definisce il parametro di Colburn Analogia di Colburn E quindi essendo
Conclusioni per lastra piana Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana Conclusioni per lastra piana Analisi dimensionale Analogia di Reynolds Valida solo per Pr=1 Teoria del film Teoria dello strato limite Analogia di Colburn Essendo f = f(Re) il risultato dell’analisi dimensionale è confermato
Fattore di Colburn jH e Nu per lastra piana (Re,Pr) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana Fattore di Colburn jH e Nu per lastra piana (Re,Pr) Per lastra piana e strato limite laminare il fattore di attrito è essendo Abbiamo ottenuto una relazione che ci consente di calcolare Nu e quindi h da Re e Pr quindi
Altre geometrie Nu = f (Re, Pr) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana Altre geometrie L’analogia di Reynolds (Pr=1) e quella di Colburn (valida per ogni Pr) valgono solo quando non c’è attrito di forma ossia per moto intorno a lastra o in un tubo. Per le altre geometrie (moto intorno a cilindro o sfera) risulta f/2 > jH. In ogni caso però è: Nu = f (Re, Pr) La dipendenza funzionale è in genere espressa da: Una volta noto Nusselt è possibile calcolare il coefficiente di trasporto h dalla definizione di Nu: in quanto L e kf sono in genere dati del problema. Noto h si calcola Q (potenza termica)
Coefficiente di trasporto locale e medio Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata Coefficiente di trasporto locale e medio Poiché in genere il valore del coefficiente di trasporto non è costante lungo una superficie, si definisce un coefficiente di trasporto locale corrispondente ad una superficie differenziale dA dove tutte le proprietà possono considerarsi costanti: La relazione tra coefficiente medio e locale è quindi
Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e medio Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e medio La definizione di coefficiente di trasporto locale è in caso di lastra piana: Il coefficiente di trasporto medio risulta quindi pari a
Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e medio Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e medio Se la lastra è sufficientemente larga W>>L si possono trascurare gli effetti di bordo e quindi ipotizzare che il problema sia bidimensionale (non ci sono variazioni sul piano della superficie di contatto nella direzione z ortogonale a x) N.B. In genere si indica con x la direzione del moto. la relazione tra coefficiente medio e locale è in questo caso:
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore intorno oggetti sommersi Oggetti semplici ( lastra piana, cilindro, sfera) Oggetti complessi (fascio tubiero) Il coefficiente h è definito rispetto alla superficie bagnata dell’oggetto e rispetto al T (Ts-T) La sup del solido si ipotizza T uniforme Le proprietà del fluido si valutano alla temperatura di film = (Ts+T) /2
Espressioni di Nu per oggetti sommersi (convezione forzata) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/ Espressioni di Nu per oggetti sommersi (convezione forzata) Strato limite laminare L’espressione del numero di Nusselt è Nu = Cr Rem Pr 1/3 (Eq. 5-44 Perry) I valori di Cr e m sono forniti per le diverse geometrie (Tab. 5-5 Perry) Validità : 1) corpi singoli immersi in un fluido infinito 2) strato limite laminare 3 ) proprietà del fluido valutate a T di film Tf = (Ts+T)/2 4) L caratteristica e v caratteristica nelle espressioni di Nu e Re lastra piana = lunghezza nella direzione del moto; cilindro e sfera = D v caratteristica = v
Nu per diverse geometrie (strato limite laminare) Perry Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/ Nu per diverse geometrie (strato limite laminare) Perry
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Espressioni di Nu locale e medio s.l. laminare e turbolento per lastra piana (convezione forzata) Kreith Rex < 5x105
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/ Trasporto di calore intorno oggetti sommersi Caso: GAS cilindro per gas Pr ≈ 1 Kreith riporta la seguente relazione Nu = C Ren
Lastra piana – Analogia di Colburn grafico per il calcolo di h Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana Lastra piana – Analogia di Colburn grafico per il calcolo di h
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - cilindro Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - cilindro
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - sfera Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/ Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - sfera Nu = 2 + 0.6Re0.5Pr1/3
La correlazione è: (Middleman eq. 12.3.5) Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/ Trasporto di calore intorno oggetti sommersi – cilindro direzione del moto normale ad asse di simmetria cilindro La correlazione è: (Middleman eq. 12.3.5)