Lezione II Esperimenti sulla massa classica

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. massa inerziale: m i massa gravitazionale attiva e passiva m a, m p (WEP) (Azione-Reazione) m I = m A = m P

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Scarsa accuratezza nella conoscenza di masse e raggi dei pianeti Cavendish Experiment (1798)

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. E’ considerato il primo esperimento moderno !!! Miglioramenti 1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889) 2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942) Accuratezza di qualche parte per mille

G Source of the CODATA internationally recommended values

1) Misure di Proporzionalità tra Massa Attiva e Passiva : Saranno discusse le due verifiche più importanti, dovute a Kreuzer e Bartlett-Van Buren 2) Misure di Unicità del Free Fall: Saranno discusse le principali tecniche sperimentali per verificare l’unicità del Free Fall, con particolare attenzione al funzionamento degli esperimenti con la bilancia di torsione. 3) Effetti di gravitazione Classica : le forze mareali

Materiale Didattico Lezione 2 TESTI FONDAMENTALI 1) UFF: D.V.Sivuchin, Fisica Generale per l’illustrazione della bilancia di torsione. 2) MASSA ATTIVA E PASSIVA: Leggere le idee fondamentali dei due esperimenti negli articoli originali (non viene richiesta la conoscenza dettagliata). Gli articoli sono disponibili in rete. TESINA POSSIBILE Verifiche dell’UFF

ANALISI DELLE DISCREPANZE SULLE MISURE DI G CON PENDOLI DI TORSIONE La misura di G si basa su misure di 1) Distanza 2) Peso 3) Costante di torsione del pendolo Il risultato di G dipende dal valore m attiva della grande massa attraente. Valori di G diversi ottenuti con masse di diversa natura possono essere interpretati come limite superiore alla dipendenza di m attiva dalla composizione dei materiali. Errore tipico.0.002/6.67 ~ Differenza tra i due valori di  Indicazione della presenza di un errore sistematico o di un effetto di violazione?

L.B.Kreuzer, Phys. Rev., 169, nr.5 ( ), 1968.

Set-up sperimentale Generazione del segnale Cilindro di Teflon (76% di Fluoro, 20 kg) immerso in una mistura di Triclorotilene e Dibromometano (74% di Bromo). Il cilindro si muove avanti e indietro nel contenitore grazie a un filo di nylon che lo traina, se la densità tra liquido e solido è diversa si genera un segnale gravitazionale che dipende dalla posizione del cilindro rispetto al liquido. Sensore: Bilancia di torsione Una torsione indotta sulla bilancia Lettura del segnale Leva ottica: fascio laser riflesso indietro da uno specchietto solidale con il filo di sospensione della bilancia (manubrio). Registrate variazioni dell’angolo a riposo.

La strategia di misura 1) Bilancia di torsione 2) Misura di zero: variando la temperatura del sistema liquido+solido si può ottenere  solido =  liquido per cui  F=0 a cui corrisponde  bilancia =0 se non ci sono violazioni. 3) I segnali devono dipendere direttamente dalle differenze di massa per ridurre l’errore. 4) Materiali sono scelti per densità simili masse chimicamente inerti e omogenee evidenziare le violazioni sull’equivalenza tra m i e m p possono essere legate alle diverse composizioni nucleari (E/A) e (Z/A) tra solido (76% dii Fluoro) e liquido (74% di Bromo).

I Segnali 1.La forza d’attrazione gravitazionale è proporzionale alla differenza di massa attiva tra fluido e solido; 2.La differenza di densità misura la differenza di massa passiva tra fluido e solido (La densità è data da misure di massa nel campo terrestre.) Il Metodo ed il suo Limite 1.Rivelazione sincrona al moto del cilindro  vibrazioni indotte sul sistema 2.Misura della temperatura per monitorare la densità, essendo noti i coefficienti di dilatazione del solido e del liquido  dati da tabelle 3.Errore sistematico:  filo di nylon che trascina il corpo diversa da  Teflon Densità uguali L’errore  y nel punto dell’intersezione definisce il limite superiore

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. 1 2 r 3 a Legge della dinamica: Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

Mantello ricco di Ferro, (  3350 kg/m 3 ) Crosta ricca di Alluminio (  2350 kg/m 3 ) d OC = 10 km D.F.Bartlett & D.Van Buren, Phys. Rev. Lett., 57, nr.1 (21-24), 1986.

Se la forza gravitazionale esercitata dal mantello sulla crosta fosse diversa da quella esercitata dalla crosta sul mantello (violazione del principio d’azione e reazione) esisterebbe una forza residua sul Centro di Massa che determinerebbe una deviazione dall’orbita classica legata al parametro: Metodo Lunar Laser Ranging  Accuratezze dell’ordine del cm nella misura dell’orbita Limite concettuale Modelli Accurati composizione Lunare Il rapporto tra m attiva / m passiva è lo stesso per Fe ed Al con un accuratezza di una parte su 10 12

B posizione centro di massa O centro geometrico Indice a  crosta Indice b  mantello OB=s=z cm OC=t=z mantello a raggio della crosta Forza della crosta sul mantello Dal teorema di Gauss (  =-4  GM) Diretta come OC

Violando il 3 o principio si ha Centro di massa della luna Che determina una variazione della velocità angolare orbitale

Forza Terra-Luna r= km a=3470 km

Misure di Lunar Laser Ranging d  dt  secondi d'arco/secolo  Valutazione dalle misure con il satellite LAGEOS dell’effetto delle maree oceaniche sul moto lunare d  dt  5  secondi d'arco/secolo  Supponendo che lo scarto sia attribuibile agli effetti di violazione:   /  < /mese S(a,b) < (1/5) (1/6  )(1/sin14 o ) = Tenendo conto della frazione di composizione di Fe e Al (fattore 0.08) S(Al,Fe)= S(a,b)/0.08 =

mPgmPg m P g sin   l Se il rapporto fosse diverso da corpo a corpo il periodo cambierebbe a seconda del tipo di pendolo

mPgmPg m P g sin   l Ideato da Newton ( ) Bessel ( ) Il rapporto è lo stesso per tutti i corpi esaminati con un’accuratezza di una parte su Si può usare il pendolo per ricavare informazioni sull'attrazione gravitazionale in un particolare luogo. Questo tipo di misura era servita proprio per verificare la legge di gravitazione universale: le osservazioni venivano eseguite al livello del mare e su una montagna per vedere se l'accelerazione di gravità diminuiva come previsto da Newton.

Esperimenti sul principio di equivalenza e precisioni ottenute Simon Stevin 1585 Drop Tower 5x10 -2 Galileo Galilei 1590 Pendolo, Drop Tower 2x10 -2 Isaac Newton 1686 Pendolo Friedrich Wilhelm Bessel 1832 Pendolo 2x10 -5 Southerns 1910 Pendolo 5x10 -6 Zeeman 1918 Bilancia di torsione3x10 -8 Loránd Eötvös 1909 Bilancia di torsione 5x10 -9 Potter 1923 Pendolo 3x10 -6 Renner 1935 Bilancia di torsione2x10 -9 Dicke, Roll, Krotkov 1964 Bilancia di torsione 3x Braginsky, Panov 1972 Bilancia di torsione Shapiro 1976 Lunar Laser Ranging Keiser, Faller 1981 Supporto fluido 4x Niebauer, et al Drop Tower Heckel, et al Bilancia di torsione Adelberger, et al Bilancia di torsione Baeßler, et al.1999 Bilancia di torsione 5x Adelberger, et al.2006 Bilancia di torsione Adelberger, et al.2008 Bilancia di torsione 3x10 -14

F grav =g m P r RTRT  

Deviazione del filo a piombo Se il rapporto variasse la deviazione dipenderebbe dal corpo utilizzato come massa del filo a piombo r RTRT 

Deviazione del filo a piombo r RTRT  a =1.7 x a 45 0 di latitudine

r N S S F gravitazionale N Zenit F risultante  F centrifuga LABORATORIO

S N l  2 (r = R T cos 

l  2 r  z La componente verticale della forza centrifiga è bilanciata dalla forza di gravità Equilibrio della bilancia lungo l’asse verticale:

S N l  2 z Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali)

Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali) Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse. Questo implicherebbe però che le due forze centrifughe sarebbero diverse e quindi le diverse componenti orizzontali indurrebbero una torsione intorno all’asse verticale  l

Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali) Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse.  Rotazione intorno all’asse verticale l

S N l  2 r  z Parametro di Eotvos

S N l  2 Ruotando il sistema di si dovrebbe invertire il segno del momento e si otterrebbe una rotazione dalla parte opposta

S N l  2 I risultati nulli ottenuti da Eotvos ci dicono che il rapporto tra massa inerziale e massa gravitazionale è lo stesso per tutti i corpi a meno di qualche parte per miliardo

Roll-Kroktov e Dicke utilizzarono lo stesso apparato in un “contesto differente” misurando la proporzionalità tra Massa Inerziale e Massa Gravitazionale Passiva con un’accuratezza di F g1 F in1 F g2 F in2 2 Le componenti discusse sopra, dovute al campo gravitazionale terrestre ed alla forza centrifuga ad una data latitudine sono costanti nel tempo. Sono considerate le forze dovute al sole F g e la forza di inerzia traslatoria F in collegata al moto accelerato del centro della terra verso il sole g sole

P.G. Roll, R.Kroktov and R.H.Dicke, Ann. Phys.(N.Y.) 26, , (1964). Realizzato all’ Università di Princeton 1 F g1 F in1 F g2 F in2 2 g sole

Se la bilancia è sospesa nel suo centro di massa: 1 F g1 F in1 F g2 F in2 2 g sole h1h1 h2h2

1 F g1 F in1 F g2 F in2 2 g sole

1 F g1 F in1 F g2 F in2 2 Vantaggi: Modulazione del segnale di 24 ore (rivoluzione terra) Si evita la rotazione di 180 dell’apparato Svantaggio: Il campo del sole è più piccolo (0.59 cm/s 2 contro 1.67 cm/s 2 ) Rumori: Rumore Sismico, Gradienti termici, Rumore Gravitazionale, Accoppiamento con il campo magnetico esterno Accuratezza sul rapporto  : (0, ) x

Riassunto del metodo - Se vale WEP, tutto l’apparato cade verso il Sole: assenza di torsione del filo -Violazione di WEP: Au è accelerato diversamente da Al e l’effetto ha una periodicità giornaliera.

Sensibilità richiesta: m = 30 g, η ∼ 10 −11 : F η ∼ 2 × 10 −15 N che corrisponderebbero a ∆v = 2μm/sec in un anno

Accorgimenti sperimentali Il triangolo è equilatero (6 cm) e la misura remotata per limitare gli accoppiamenti gravitazionali spuri L’intensità luminosa è bassa per limitare l’effetto di pressione di radiazione; La luce riflessa modulata a 3000 Hz dal moto del filo Il segnale del fotomoltiplicatore viene demodulato ed utilizzato per applicare un segnale quasi statico al condensatore per bloccare la rotazione (sistema controreazionato) Il segnale d’errore di controreazione è analizzato nel dominio di Fourier per estrarre la periodicità di 24 ore. Massimizzazione del segnale (materiali diversi) AlAu -Numero di Neutroni/Numero di Protoni K cin eletr. livello K/Massa a riposo elettr Energia elettrostatica Nuclei/Massa Atomica Specifiche dell'apparato - Sensibilità angolare rad - Stabilità in temperatura  T < K - Assenza di impurezze di ferro (accoppiamento con campo magnetico Terra ) -Disomogeneità nel gas: se  /  t ~ g/day ==>  F ~ g cm /s 2

Possibili disturbi nella misura: Gravità locale e sue fluttuazioni: bilancia di piccole dimensioni per ridurre l’effetto del gradiente, di forma triangolare (interazione di ottupolo per il momento delle forze). Effetti ambientali locali: distribuzione di massa intorno all’apparato di 4 g/ cm 2. Effetti atmosferici: 5 mbar a 100 km su 50 × 50 km 2 : η ∼ 10 −17 Contaminazione con elementi magnetici: un eventuale filamento magnetizzato 10 × 10 × 100 μm 3 con magnetizzazione 100 Gauss interagisce con il campo magnetico terrestre  effetto 20 volte maggiore Effetti elettrostatici: differenze di potenziale di contatto ∼ 0.5 V su superfici di 10 cm 2 a 1 cm di distanza: F ∼ 10 −11 N. Dipende dalla concentrazione di gas adsorbito, quindi da T. Carica degli isolanti con il passaggio di raggi cosmici: tutti i materiali devono avere una conducibilità superficiale non trascurabile. Pressione del gas: su 10 cm 2, anche con un vuoto di 10 −6 mbar le temperature devono differire di meno di 3 × 10 −6 ◦ C.

Moto browniano (rumore termico): una energia kT/2 è associata a ogni grado di libertà. L’ampiezza di rotazione corrispondente è ∆θ = 4.5 × 10 −7 rad, 200 volte più grande dell’effetto cercato. Si raffredda elettronicamente quel grado di libertà e nell’analisi dei dati si fa una media temporale su più periodi. In ogni caso la densità di rumore termico è funzione delle frequenza, anche se l’energia totale è fissata. Misura della rotazione: basata sulla leva ottica e misura della posizione della figura di diffrazione, larga 10 −5 rad, a livello di 3 × 10 −9 rad. Sono necessari 10 7 fotoelettroni. La pressione di radiazione è bassa. Il calore assorbito con l’1 % dei fotoni non causa differenze di pressione apprezzabili con 10 −8 mbar. La stabilità a bassa frequenza si ottiene principalmente con la stabilizzazione in temperatura e con una lettura che sposta il segnale a frequenze più alte: modulazione e demodulazione.

Sistema di modulazione del segnale La bilancia sposta l’immagine di una sorgente luminosa oscurata dall’ombra di un filo oscillante Si osserva l’intensità luminosa complessiva dovuta alle code della figura di diffrazione che dipendono dal centraggio. Se la luce è centrata l’intensità è modulata con armoniche pari e in particolare alla seconda armonica della frequenza di risonanza del filo Se la bilancia è ruotata l’intensità contiene componenti alla frequenza di oscillazione del filo. Nel caso della modulazione in ampiezza si raddrizza il segnale e si applica un filtro passa basso.

Controllo della temperatura Modulazione del segnale

Misura in feedback

Problemi più difficili: Rumore non gaussiano: un impulso abbastanza breve di grande ampiezza eccita vari modi Effetti di temperatura, presenti nelle deformazioni meccaniche, nelle proprietà dei materiali come il modulo di Young, nei circuiti elettrici, nelle batterie. In ultima analisi si cerca una correlazione tra le misure fatte e le indicazioni delle sonde di temperatura e se ne sottrae l’effetto misurato.

Verifiche UFF: Braginsky & Panov 1 F g1 F in1 F g2 F in2 2 V.B.Braginsky and V.I.Panov Sov. Phys. JEPT 34, (1972) Realizzato all’Università di Mosca Accuratezza: 

Verifiche UFF: Braginsky & Panov Pt Al Miglioramenti 1) Fibra più lunga 2) Disposizione delle masse simmetrizzata per ridurre i disturbi locali. Purtroppo l’articolo e’ poco dettagliato V.B.Braginsky and V.I.Panov Sov. Phys. JEPT 34, (1972) Realizzato all’Università di Mosca Accuratezza: 

Verifiche UFF: Adelberger et al. Phys Rev. D 50 (1994) 3614 Pendolo di torsione ben simmetrizzato con masse intercambiabili e a geometria variabile per annullare i momenti di multipolo di ordine superiore; Misure dell’accelerazione rispetto al centro galattico. 

Verifiche UFF: Adelberger et al. Compensatori dei gradienti gravitazionali a)compensa Q 21 b)compensa Q 22

Verifiche UFF: STEP Barlier et al.  STEP (“Satellite Test for the Equivalence Principle”) Accuracy Goal: 1 parte su STEP will compare the accelerations of four pairs of test masses in orbit. The free-floating test masses will be isolated from disturbances inside a cryogenic dewar with superconducting shielding and ultra-high vacuum, and their accelerations will be measured by a superconducting circuit using a quantum interference device (SQUID) for the best sensitivity. The dewar is part of a "drag-free" satellite, i.e. a satellite compensated for drag by proportional thrusters, using the test masses as reference. This technique reduces low-frequency acceleration disturbances from air drag, magnetic field, and solar pressure to an acceptable level. Gravity gradient disturbances are eliminated by precise placement of the mass centers on each other. The mission will be flown in a near-circular sun-synchronous orbit, to minimize temperature variations, for period of six months. The best altitude is approximately 550km.

Verifiche UFF: Eotvos e la V o Forza Una ri-analisi dell’esperimento originale di Eotvos sviluppata da E. Fischbach e dai suoi collaboratori [Phys. Rev Lett. 56, 3-6,(1986)] mostrò una suggestiva deviazione da UFF. La violazione di UFF viene interpretata in termini dell’esistenza della 5 o interazione fondamentale che dipenderebbe dalla composizione degli oggetti. Torneremo su questo argomento prossimamente.

La forza di marea compare quando si considerano corpi estesi soggetti alle reciproche attrazioni gravitazionali. In genere i sistemi per cui interessa studiare tale forza sono sistemi binari, come ad esempio i sistemi stella-pianeta (Sole-Terra) o pianeta-satellite (Terra-Luna), in cui si considera un corpo esteso che ruota attorno ad un’altra massa gravitazionale. Le forze di marea Si prenda ad esempio il sistema Sole-Terra: la Terra compie un moto di rivoluzione attorno al Sole con un periodo di un anno. Nel sistema di riferimento solidale alla Terra, l’attrazione gravitazionale viene compensata dalla forza centrifuga  vero soltanto nel centro di massa del pianeta. Risultante delle forze che agiscono su un punto qualunque della superficie terrestre A: sul centro di massa  F G (C)- F Ce (C)=0 A questo effetto si aggiungono I termini dovuti al fatto che la terra e’ un corpo esteso per cui: F M (A)=F G (A)−F Ce (C)≠0 Forza mareale A A’ C  R d roro

A C  R d roro   potenziale corrispondente a questo campo di forza y x z

Le forze di marea R roro

Le forze di marea: torsione Effetto di torsione Poniamo una bilancia di torsione in un punto dello spazio ove è presente un campo gravitazionale a simmetria sferica. La componente del momento torcente lungo l’asse x è I kl è il generico elemento del tensore momento d’inerzia della bilancia Il momento torcente mareale cambia localmente iI momento angolare della bilancia. L’accelerazione angolare che ne risulta, è una misura locale dell’effetto mareale Per un campo gravitazionale generato da una qualunque distribuzione di masse y x z

Le forze di marea nel vuoto Indichiamo con F k il campo di forze Newtoniano generato da una qualunque distribuzione di masse. Se la particella è in (x,y,z), nel caso generale le forze di marea possono essere espresse Nel vuoto il campo f k è solenoidale

Le forze di marea Sensibilità tipiche in accelerazione differenziale m/s -2 su metro Misure Indipendenti dei 3 componenti forniscono un test della legge quadratica inversa Il Gradiometro triassiale Superconduttore di Paik Un metodo alternativo per la misura dei gradienti di campo gravitazionale