Elementi di statistica e probabilità

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 2 Eventi aleatori e deterministici Un evento aleatorio può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si possono distinguere variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Le variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo. Il risultato di una misura può intendersi sempre come una variabile aleatoria o più precisamente la somma di un evento deterministico, che vogliamo misurare, e di altri eventi aleatori sovrapposti che abbiamo definito errori di misura. Pertanto, per effettuare una stima corretta, sia della grandezza che vogliamo misurare, sia dell’entità degli errori, è necessario applicare correttamente le metodologie statistiche per il trattamento dei dati aleatori (nel caso in cui siamo in grado di effettuare una stima “a posteriori”) oppure la teoria della probabilità (nel caso in cui tale stima debba essere effettuata “a priori”).

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 3 Concetti elementari di Statistica Unità, Campione e popolazione  l’unita’ statistica rappresenta l’elemento su cui vengono osservati determinati caratteri qualitativi (colore, …) o quantitativi (volume, massa)  la popolazione e’ l’insieme delle unita’ statistiche di interesse (omogenee rispetto a uno o più caratteri)  il campione è un sottoinsieme di unità della popolazione.

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 4 Esempi Unità, Campione e popolazione  l’unita’ statistica (evento) - un autovettura - il risultato di un lancio di dadi - un errore di misura  la popolazione - le autovetture circolanti a Roma - i lanci effettuati durante un gioco - i possibili errori  il campione - le autovetture parcheggiate in un garage - i primi 20 lanci - gli errori commessi in una prova ripetuta

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 5 Concetti elementari di Statistica Indagine statistica  L’indagine statistica puo’ essere: - totale o censuaria (si rilevano i caratteri di tutte le unità della popolazione) - campionaria (si rilevano i caratteri di un campione della popolazione e per induzione si ottengono informazioni su tutta la popolazione)  L’indagine campionaria necessita di un attenta progettazione per: - individuare univocamente la popolazione - evitare distorsioni sistematiche (indirettamente randomizzando la collezione delle unità o direttamente controllando l’esperimento) - collezionare un numero significativo di eventi

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 6 Esempi: Errori campionari e non campionari  ERRORI CAMPIONARI - campionare gli alunni per valutare l’altezza media nelle scuola senza avere definito l’età degli alunni (chi?), la regione dove si vuole fare l’indagine (dove?), il periodo di interesse (quando?) - campionare i pezzi prodotti all’inizio o al termine della produzione - effettuare solo 5 analisi per conoscere il numero medio di glucosio nel sangue degli Italiani …  ERRORI NON CAMPIONARI - effettuare misure su bilance starate per difettto (portano evidentemente ad una stima distorta) - campionare confezioni di sale prodotto da una catena (per stimarne il peso medio) in un giorno in cui c’è un elevato tasso di umidità

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 7 Concetti elementari di Statistica Parametri statistici – Istogramma di frequenza  Tendenza centrale (Media, moda, mediana)  Dispersione (scarto tipo, varianza, percentili, quartili)  Frequenza

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 8 Concetti elementari di probabilità Definizione Frequentista La probabilità di accadimento di un evento si ottiene ripetendo un esperimento un congruo numero di volte (numero totale di ripetizioni - nt) e contando il numero di volte in cui si verifica l’evento (numero di eventi favorevoli - nf) rispetto al numero totale di eventi LEGGE DEI GRANDI NUMERI Se un esperimento viene ripetuto molte volte la probabilità stimata tramite la frequenza relativa di un evento tende ad avvicinarsi alla vera probabilità di quell’evento

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 9 Esempio calcolo probabilità: Definizione frequentista Esempio: Durante una serata di giochi il numero 17 è uscito 10 volte su 400 giocate alla roulette. Quale è la probabilità di ottenere il numero 17? P(A)=10/400=1/40

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 10 Concetti elementari di probabilità Definizione Classica La probabilità di accadimento di un evento A si ottiene mediante enumerazione (oppure mediante calcolo combinatorio) degli n modi semplici favorevoli rispetto a tutti gli n modi possibili (Questa definizione può essere applicata soltanto se tutti le modalità sono equiprobabili) CALCOLO COMBINATORIO Il calcolo combinatorio permette di determinare, senza enumerazione diretta, il numero degli elementi di un insieme o il numero dei possibili risultati di un dato esperimento. Una regola fondamentale del calcolo combinatorio consente, data una sequenza di due eventi in cui il primo può presentarsi in m modi diversi e il secondo in n modi diversi, di calcolare l’insieme dei modi possibili dei due eventi mediante il prodotto m*n

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 11 Esempio calcolo probabilità: Definizione classica Esempio: Un convertitore analogico/ digitale ad 8 bit. Quanti valori diversi può assumere? 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 256 Quale è la probabilità di ottenere il valore ? P(A)=1/256

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 12 Concetti elementari di probabilità Definizione Soggettiva La probabilità è definita “indovinando” o “stimando” il suo valore in base a conoscenze pregresse e a circostanze particolari REGOLE FONDAMENTALI P(A) ≥ 0 P(S) = 1

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 13 Esempio calcolo probabilità: Definizione soggettiva Esempio: Quale è la probabilità che il Milan vinca lo scudetto?

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 14 Esempio 1 - Probabilità di essere colpiti da un fulmine durante un anno S spazio campionario è costituito da 2 eventi semplici: - A essere colpiti da un fulmine - B non esserlo L’approccio classico non si può applicare in quanto i due eventi (fortunatamente) non sono equiprobabili L’approccio soggettivo ci porta a “scommettere” sulla rarità dell’evento: P(A) = 1 su 1 milione L’approccio frequentista invece ci consente analizzando i casi di italiani stati colpiti da un fulmine nel 2001 (80 persone) di scrivere: P(A) = 80 / 58 milioni = 0,

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 15 Esempio 2 - Probabilità che l’errore di misura sia inferiore all’errore massimo tollerato - Evento A: E<Em - Evento BE≥Em I due eventi non sono equiprobabili e l’approccio classico non si applica. possiamo usare l’approccio soggettivo (esperienza nelle verifiche effettuate dall’ispettore X durante la sua carriera): P(A) = 5 su 100 oppure quello frequentista: nel 2003 i, su verifiche periodiche effettuate sugli utenti metrici in Italia P(A) = 5673 / 100 mila = 0,05673

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 16 Proprietà della probabilità La probabilità di un evento impossibile è zero La probabilità di un evento complementare La probabilità che accada un evento A oppure un altro evento B (Se A e B sono mutuamente esclusivi) La probabilità che accada un evento A ed un altro evento B (Se A e B sono indipendenti)

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 17 Esempi: Calcolo delle probabilità Esempio 1 – Lancio di un dado S={1,2,3,4,5,6}; A= {0}; P(A) = Probabilità di fare somma zero P(A) = 0 Esempio 2 – Lancio di un dado S={1,2,3,4,5,6}; A= {1}; Ac= {2,3,4,5,6} P(Ac) = Probabilità di non fare 1 P(Ac) = 1- P(Ac) = 1-1/6 = 5/6 Esempio 3 – Lancio di un dado S={1,2,3,4,5,6}; A= {2,4,6}; P(A) = Probabilità di lanciare un numero pari P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6=3/6 Esempio 4 – Lancio di due dadi S={1-1,1-2,1-3, …,6-6}; A= {6-6}; P(A) = Probabilità di lanciare due 6 P(A) = 1/6 * 1/6 =1/36

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 18 Variabili discrete e continue Variabili discrete Variabili continue

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 19 Frequenza e probabilità

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 20 Media, varianza e scarto tipo PopolazioneCampione Media Varianza

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 21 Il Modello di Gauss

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 22 La distribuzione di probabilit à Gaussiana

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 23 Distribuzione Gaussiana Standardizzata

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 24 Distribuzione Gaussiana cumulata

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 25 Tabella – Funzione gaussiana cumulata

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 26 Tabella – Funzione errore

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 27 Caso Notevole I: Data una distribuzione gaussiana con media  e scarto tipo  e un intervallo di confidenza determinare la probabiltà di accadimento

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 28 Esempio caso notevole I: misura di temperatura

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 29 Caso notevole II: Dato un livello di confidenza e i parametri della distribuzione gaussiana determinare l’intervallo di confidenza

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 30 Caso Notevole III: Dato un livello e l’intervallo di confidenza determinare la media e lo scarto tipo

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 31 Altre distribuzioni: t di Student Dato dove è la media di n campioni statisticamente indipendenti di una popolazione, x, gaussiana di media  e scarto tipo , la distribuzione di t è: dove =n-1 è il numero di gradi di libertà e  denota la funzione gamma di Eulero. Più che la funzione di distribuzione interessa in questo contesto l'uso di t per campioni poco numerosi

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 32 Distribuzione della media Ciascuna stima X della media può essere riguardata come un evento aleatorio appartenente alla popolazione delle medie con media e deviazione standard

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 33 Altre distribuzioni notevoli  Distribuzione rettangolare Nella distribuzione rettangolare tutti i valori all'interno di un intervallo [a,b] sono equiprobabili  Distribuzione triangolare La densità di probabilità è finita entro l'intervallo [a,b] e nulla al suo esterno a bxixi a bxixi

Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino 34 Distribuzioni Correlate Una variabile casuale z, può derivare dalla composizione di più variabili casuali. Ad esempio: Se x e y non sono correlate tra loro si ha: Se, invece, vi è correlazione, si ha: dove sx,y è la covarianza delle due variabili, definita come:.