Rappresentazione di un numero reale

Rappresentazione floating-point (virgola mobile) di un numero reale Sia N > 1 la base del sistema di numerazione prescelto (per N = 10 il sistema si dice decimale). Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale a la rappresentazione Tale rappresentazione non è unica. Essa è univocamente determinata se si impone la condizione di normalizzazione: Per N = 10, 0.1 <|p| < 1   Ciò equivale ad imporre che la prima cifra di p dopo il punto decimale sia diversa da zero.

Rappresentazione floating-point (virgola mobile) di un numero reale Fissato N, la coppia (p, q) della rappresentazione floating-point normalizzata a = pNq individua univocamente il numero reale a.   Utilizzando la notazione scientifica possiamo esprimere un numero mediante il prodotto tra un coefficiente, uguale o maggiore di 1 e minore di 10, e una potenza del 10: la parte intera è formata da una sola cifra; - Esempio: 3.45 · 101 Possiamo quindi distinguere in numero - le cifre significative (mantissa) - l'esponente da dare alla base

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 Ogni numero reale a può essere scritto nella forma dove p  R; N è la base del sistema di numerazione e q  Z. Il coefficiente della potenza di 10 viene chiamato mantissa del numero. Questa rappresentazione, detta in virgola mobile (floating-point), non è unica, infatti:

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 La rappresentazione di a si dice normalizzata quando: Le cifre di p si dicono cifre significative Esempi: - La rappresentazione normalizzata di a = 92.25 è a = 0.9225 × 102; - la rappresentazione normalizzata di a = 0.000718 è a = 0.718000 × 10-3   Fissata la base N, ogni numero reale a è univocamente definito dalla coppia a = (p; q) p viene detta mantissa di a, q viene detto esponente di a

La notazione scientifica 6002 (è come se fosse 6002,0 con un numero infinito di zeri dopo la virgola) in notazione scientifica diventa 6,002·103 0,0539 in notazione scientifica diventa 5,39·10-2 10000 in notazione scientifica diventa 1·104 0,000009 in notazione scientifica diventa 9·10-6.

La notazione scientifica La notazione esponenziale differisce da quella scientifica per il fatto che nel primo caso possiamo mettere la virgola in qualsiasi posizione e non necessariamente tra la prima cifra diversa da zero e la seconda. La notazione scientifica permette di effettuare i calcoli in maniera più rapida e semplice, soprattutto nelle moltiplicazioni e nelle divisioni, perché possiamo applicare le regole delle potenze. Infatti, quando dobbiamo effettuare un prodotto tra due numeri espressi in notazione scientifica, dapprima moltiplichiamo tra di essi i soli coefficienti e poi, per la parte esponenziale, come esponente si avrà la somma algebrica degli esponenti, dato che hanno la stessa base

La notazione scientifica Esempio: 3,0·10-3 x 2,3·104 Moltiplichiamo prima 3,0 x 2,3 = 6,9 Poi calcoliamo la somma algebrica tra le potenze del 10: 10-3 ·104 = 10(-3+4) = 101 Adesso possiamo riunire il coefficiente con la potenza del 10: 6,9·101=69 Altro esempio: dividiamo 6,4·10-5 con 2,0·103 6,4/2,0 = 3,2 10-5/103 = 10(-5-3) = 10-8 3,2·10-8

Sistemi di Numerazione Sistema decimale La base del sistema è 10 In molti casi in cui si opera con numeri molto grandi, non interessa conoscere in numero con precisione assoluta, ma è sufficiente valutarne l’ordine di grandezza, cioè la potenza di 10 che meno differisce da quel numero. Per esempio, si può dire che l’altezza del Monte Everest (8848m) è dell’ordine di grandezza di 104 metri. Analogamente, la distanza Terra-Luna (384.400 km) è 108, la distanza Terra-Sole (149.597.850 km) è 1011.

Sistemi di Numerazione Sistema decimale Anche il nostro usuale sistema di numerazione è un’applicazione delle potenze di 10. Consideriamo per esempio il numero 5372; esso è composto da 5 migliaia, più 3 centinaia, più 7 decine, più 2 unità:   5372 = 5×1000 + 3×100+ 7×10+2×1= 5×103 + 3×102+ 7×101+2×100 Il sistema è detto posizionale: il valore di ogni cifra varia in funzione della sua posizione nella rappresentazione decimale del numero

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 Esempio: 123451 in termini di potenze di 10 Valore = 1 * 105 + 2 * 104 + 3 * 103 + 4 * 102 + 5 * 101 + 1 * 100 • in rosso abbiamo la "base" del sistema numerale cioè 10 ( siamo in presenza di una cifra epressa in un sistema in "base 10" o "decimale" ) • in verde abbiamo "i pesi" di ogni potenza di 10 ovvero quante volte quel valore deve essere contato per avere il valore corretto della cifra

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 In un dato numero, ogni cifra posta a sinistra di un’altra rappresenta unità di ordine immediatamente superiore.   Esempio:

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 La rappresentazione decimale di ogni numero reale è unica, eccetto quando la parte frazionaria contiene una sequenza di 9 consecutivi Esempio: 0,319999…. 9 e 0,32 sono lo stesso numero

Sistemi di Numerazione Sistema binario La base del sistema è 2 Le cifre di questo sistema sono 0 e 1 e vengono dette bit (da binary digit): ogni numero reale a è rappresentato come una sequenza di 0 e 1 L'aritmetica con cui "funzionano" i computers è a base 2 !! Le informazioni (numeri, parole ecc .) che vengono elaborate o memorizzate in un computer sono codificate come sequenze di bit. Un bit (binary digit) è la più piccola unità di informazione e può prendere i valori : 0 oppure 1 .   Un byte è una sequenza di 2³ = 8 bit .

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale Se un numero razionale si trasforma in numero decimale e di questo si considerano solo alcune cifre dopo la virgola, il numero così ottenuto si dice valore approssimato per difetto a meno di 1/10, 1/100,1/1000,…1/10n a seconda che si conservano 1, 2, 3…n cifre decimali. Se a un valore approssimato per difetto, a meno di 1/10n, di un dato numero si aggiunge un’unità decimale di ordine n, si ottiene un valore approssimato per eccesso, a meno di 1/10n, del numero dato.

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale Esempio: 13 7 = 1,8571428   1; 1,8; 1,85; 1,857; ecc. valori approssimati per difetto 2; 1,9; 1,86; 1,858; ecc valori approssimati per eccesso La frazione generatrice 13 7 è un numero maggiore di ogni suo valore approssimato per difetto e minore di ogni suo valore approssimato per eccesso. 

Cifre significative Il significato del numero di cifre significative è quello di dare una prima informazione sul grado di precisione del numero scritto. Se scrivo un numero con 3 cifre significative, p.e. “12,8” , il significato di avere scritto 12,8 è di indicare che l’incertezza sarà sull’ultima cifra (8) e quindi la precisione sarà di circa 1/128 quindi dell’1%. Mentre se avessimo scritto “12,80”, avremmo inteso che l’incertezza era dell’ordine di 1/1280, quindi circa lo 0,1 %. Quindi scrivere 3 oppure 3,0 oppure 3,00 vuol dire aver fatto la misura con una precisione, rispettivamente di 1/3 o 1/30 oppure 1/300, quindi del 30% , del 3% oppure dello 0,3 %.

Cifre significative Le cifre significative sono tutte quelle che hanno un reale significato fisico. Per esempio : Misurando una distanza con un righello millimetrato, ha significato esprimere la misura al massimo fino al mm. - 20,5 cm. Corretta. - 20,513 cm Non corretta. In generale nel numero che esprime una misura sono cifre significative tutte quelle a partire da sinistra con la prima cifra diversa da 0, non tenendo in alcun conto la virgola. Non sono significativi gli zeri iniziali, poiché derivano da una diversa indicazione dell’unità di misura. GLI ZERI A DESTRA SONO IMPORTANTI! Sono cifre come le altre.

Cifre significative 12.45 ha 4 cifre significative

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale Se a è un numero reale, un numero A che differisce di poco da a si dice approssimazione di a.   Se A < a, si parla di approssimazione per difetto. Se A > a, si parla di approssimazione per eccesso. si chiama errore assoluto La quantità si chiama errore relativo.

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale Spesso di un numero reale X non conosciamo tutte le cifre, ma solo un'approssimazione per difetto e un'approssimazione per eccesso. Ciò può accedere, ad esempio, se X è la misura di una grandezza fisica ottenuta attraverso la lettura di uno strumento di misurazione (ad esempio misura di lunghezze con il righello) o se X è stato precedentemente sottoposto a un arrotondamento e noi non conosciamo il valore originale. L'intervallo che ha per estremi l'approssimazione per difetto e l'approssimazione per eccesso viene detto intervallo di indeterminazione di X e l'ampiezza di questo intervallo viene chiamata indeterminazione (o incertezza) di X: quanto più piccola è l'indeterminazione tanto meno indeterminata (cioè tanto più precisa) è la nostra conoscenza di X.

Consideriamo, per esempio, una bilancia con il quadrante ripartito in 65 divisioni uguali; ogni divisione rappresenti la variazione di un chilogrammo, in modo che con la bilancia si possano misurare pesi di al più 65 kg. Supponiamo che la bilancia abbia la sensibilità di 1 kg, cioè che la misura vera possa scostarsi al più di 1 kg dalla misura letta sul quadrante. Se, pesando un oggetto, la tacca 44 è quella più vicina alla posizione finale dell'ago, possiamo concludere che il peso P dell'oggetto (in kg) è compreso tra 44–1=43 e 44+1=45: 43 ≤ P ≤ 45, cioè: P ∈ [43, 45]. [43,45] è l'intervallo di indeterminazione di P. L'indeterminazione è 45–43=2. Non conosciamo esattamente il numero P, ma conosciamo un'intervallo ampio 2 (in che unità di misura????) che lo contiene.

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale In un insieme di misure ｛x1, x2, … , xn｝c’è sempre una misura più grande, xmax, ed una più piccola, xmin. Si definisce Errore Assoluto il rapporto

Intervallo di Incertezza non è possibile ottenere una misura esatta. Risulta allora utile ottenere un intervallo minimo in cui siamo sicuri che ricade la misura esatta. Questo intervallo, detto Intervallo di Incertezza, è il seguente: Dove x indica la misura esatta, G il valore medio e ea l’errore assoluto. Riguardando l’esempio della bilancia la cui precisione è 1kg, vediamo che l’intervallo di incertezza è legato alla sensibilità dello strumento

Precisione, cifre significative ed ordine di grandezza di un numero reale Gli strumenti graduati sono in genere costruiti in modo che l'ampiezza di una divisione corrisponda alla sensibilità dello strumento, ossia alla minima variazione della grandezza misurata che fa variare il valore indicato dallo strumento. In fisica spesso si fa una distinzione tra misura precisa e misura accurata: una misura x con indeterminazione Δx di una grandezza x è tanto più accurata quanto più x è vicino al valore esatto di x, è tanto più precisa quanto più Δx è piccolo. Questa distinzione rende conto del fatto che, in una attività di misurazione, possono essere presenti degli errori sistematici, dovuti ad un difetto di impostazione [ad esempio l'uso di una bilancia ad ago in cui l'ago a riposo non è posizionato su 0 o di una riga graduata in cui le divisioni sono più ampie del dovuto, che fanno sì che le misure ottenute, per quanto "precise", siano comunque affette da uno scarto dal valore esatto.

sensibilità di uno strumento Ogni misura, per quanto accurata e precisa, è affetta da errore. Errore non è sinonimo di “sbaglio”, ma sta ad indicare proprio che ogni strumento di misura, per diverse cause, ha dei “limiti” nel misurare. Basta pensare, ad esempio, alla sensibilità. E’ quindi impossibile ottenere il valore “reale” della misura di una qualsiasi grandezza fisica.

sensibilità di uno strumento La sensibilità di uno strumento è costituita dalla più piccola grandezza in grado di generare uno spostamento apprezzabile rispetto all'inizio della scala dello strumento. Ad ogni misura è associata inevitabilmente una incertezza. Evidentemente più piccola è l'incertezza associata alla misura, migliore sarà la misura. Quando noi forniamo un risultato, lo dobbiamo sempre corredare, oltre che del valore della misura, anche dell'errore associato.

sensibilità di uno strumento Dato un certo valore effettivo della grandezza misurata E(G), esiste una quantità ∆E(G) detta errore di sensibilità tale per cui, se il valore della grandezza oggetto di studio varia nell'intervallo E(G)±∆E(G) lo strumento non è in grado di registrare tale variazione, non è cioè sensibile nell'intervallo suddetto. Nella scale graduate degli strumenti si fa sì che la suddivisione corrisponda al doppio della quantità ∆E(G), cioè 2 ∆E(G), in modo tale che, oltre al valore, si legga immediatamente il corrispondente errore di sensibilità

L’errore assoluto nelle misurazioni dirette Misurare una grandezza con il metodo diretto significa porla a confronto diretto con l’unità di misura, con i suoi multipli (o sottomultipli). Si abbia a disposizione una striscia di carta, lunga a. Supponiamo di utilizzare un comune righello, suddiviso in millimetri per misurare la lunghezza della striscia di carta. Notiamo che non si possono avere mai delle misure esatte. Si ottengono infatti delle misure che tendono ad avvicinarsi al valore reale della grandezza fisica per l’oggetto considerato e che il risultato che noi otteniamo è «il valore che più probabilmente si avvicina alla realtà».

L’errore assoluto nelle misurazioni dirette Dalla nostra misura, noi sappiamo che la lunghezza reale a della nostra striscia di carta si colloca tra due tacche del righello, diciamo tra la tacca 134 mm e quella del 135mm. Però dove sia esattamente, in questo intervallo, non lo sappiamo. La sensibilità (o suddivisione di scala) del nostro strumento è quella del millimetro. Definiamo quanto segue: - limite minimo: mm 134 - limite massimo: mm 135 - errore assoluto: = (limite massimo – limite minimo)/2 = [(135 – 134)/2] mm = 0,5 mm

L’errore assoluto nelle misurazioni dirette Il valore ottenuto (0,5 mm) è detto errore assoluto o incertezza assoluta della misura ottenuta. Come si vede, vale la metà dell’intervallo tra due tacche della scala strumentale. L’errore assoluto va espresso nella stessa unità di misura della lunghezza.

errore relativo Se consideriamo il rapporto tra l'errore assoluto e il risultato stesso otteniamo una grandezza adimensionale (un numero, privo cioè di unità di misura), molto utile nell'analisi degli errori, che prende il nome di precisione o errore relativo. La misura con l'errore relativo minore è quella più precisa: si noti bene che si è parlato di errore relativo e non assoluto.

Esempio Siano date due misure nel modo seguente A=(10 ± 1) Kg B=(100 ± 1) Kg Entrambe hanno lo stesso errore assoluto (A=B=1 Kg), mentre hanno differenti errori relativi. Ora, mentre nella prima misura abbiamo un errore di una unità su dieci, nella seconda abbiamo un errore di una sola unità su cento: si è allora soliti dire che la prima è una misura precisa al 10%, mentre la seconda precisa al 1%. Quando le precisioni raggiunte sono di parecchi ordini di grandezza superiori, è opportuno usare la notazione scientifica, onde evitare la scomodità di espressioni con troppi zeri……

Errore Percentuale Quando si fanno tante misure di una grandezza, siamo in grado di scartare quelle misure che sono fuori da un intervallo accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito come segue, ha proprio questo scopo: e si esprime come percentuale, cioè col simbolo “%”.

NOTA Il valor medio, l’errore assoluto e l’intervallo di incertezza hanno la stessa unità di misura della grandezza misurata e, come tale, è obbligatorio specificarla sempre! L’errore relativo e l’errore percentuale, al contrario, sono numeri “puri”, ossia non possiedono alcuna unità di misura.

Precisione Precisione è un indice della bontà dello strumento; il dato sulla precisione è fornita dal produttore, il quale indica l’errore in percentuale massimo garantito dello strumento. Nota: La precisione e la sensibilità non sono la stessa cosa anche se, ovviamente, uno strumento molto preciso deve anche avere una alta sensibilità. Supponiamo che ad un metro da muratore venga asportato un primo segmento. Tutte le misure hanno un errore enorme (20 cm in più) quindi la precisione è molto bassa ma la sensibilità di un millimetro è rimasta invariata. La sua precisione è gravemente compromessa mentre la sensibilità è invariata.

Cause principali di errori 1. Errori di impostazione del problema Non sempre le formule matematiche rappresentano modelli esatti dei fenomeni reali; generalmente questi modelli sono più o meno idealizzati. Infatti, nello studio dei vari fenomeni della natura, siamo costretti, al fine di rendere più semplice il problema, ad ammettere certe condizioni.

Cause principali di errori 2. Errori di metodo Talvolta succede che è difficile, se non impossibile, risolvere un problema impostato in termini rigorosi. In questo caso il problema in esame viene sostituito da un altro problema approssimato i cui risultati si distinguono di poco dal problema dato.

Cause principali di errori 3. Errori di troncamento Le funzioni che appaiono in formule matematiche sono spesso date in forma di successioni infinite o di serie e numerose equazioni matematiche non possono essere risolte che attraverso una descrizione di processi infiniti, i cui limiti sono appunto le soluzioni cercate. Siccome un processo infinito non può, in generale, terminare in un numero finito di passi, siamo costretti a interrompere la successione infinita di passi computazionali, necessaria per ottenere un risultato esatto.

Cause principali di errori 4. Errori di rappresentazione dei dati o di arrotondamento Abbiamo visto che non tutti i numeri reali possono essere rappresentati in un calcolatore. Se il calcolatore utilizza una rappresentazione con t cifre per la mantissa, tutti i numeri reali compresi tra l’estremo inferiore e l’estremo superiore dovranno in qualche modo essere “accorciati”, o, meglio, arrotondati

Errori sistematici Un errore si dice sistematico se è causato da uno strumento di misura difettoso. Un cronometro tarato male, per esempio per difetto, avrà sempre la tendenza a stimare misure di tempo eccedenti rispetto alla realtà. Un righello deformato dal caldo non può offrire ovviamente una misura corretta.

NOTE Problema numerico E’ una descrizione chiara e non ambigua di una connessione funzionale tra i dati e i risultati. Se x sono i dati detti input e y sono i risultati detti output, un problema numerico può essere espresso come y = f(x) Algoritmo E’ una sequenza finita di operazioni logiche e non ambigue che opera sui dati x e produce come risultato il vettore y* non necessariamente uguale a y. In generale, esistono diversi algoritmi per la risoluzione dello stesso problema numerico.

Ancora sugli errori assoluti, relativi,…..

Intervallo di Incertezza In qualunque misurazione non è possibile ottenere una misura esatta. Risulta allora utile ottenere un intervallo minimo in cui siamo sicuri che ricade la misura esatta. Questo intervallo, detto Intervallo di Incertezza, è il seguente: Dove x indica la misura esatta, G il valore medio e ea l’errore assoluto. Riguardando l’esempio della bilancia la cui precisione è 1kg, vediamo che l’intervallo di incertezza è legato alla sensibilità dello strumento

Errore Assoluto In un insieme di misure ｛x1, x2, … , xn｝c’è sempre una misura più grande, xmax, ed una più piccola, xmin. Si definisce Errore Assoluto il rapporto

Errore relativo Se consideriamo il rapporto tra l'errore assoluto e il risultato stesso otteniamo una grandezza adimensionale (un numero, privo cioè di unità di misura), molto utile nell'analisi degli errori, che prende il nome di precisione o errore relativo er. La misura con l'errore relativo minore è quella più precisa: si noti bene che si è parlato di errore relativo e non assoluto.

Errore Percentuale Quando si fanno tante misure di una grandezza, siamo in grado di scartare quelle misure che sono fuori da un intervallo accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito come segue, ha proprio questo scopo: e si esprime come percentuale, cioè col simbolo “%”.

Precisione Precisione è un indice della bontà dello strumento; il dato sulla precisione è fornita dal produttore, il quale indica l’errore in percentuale massimo garantito dello strumento. Nota: La precisione e la sensibilità non sono la stessa cosa anche se, ovviamente, uno strumento molto preciso deve anche avere una alta sensibilità. Precisione: quanto le singole misure sono in accordo tra loro

Precisione Uno strumento può essere più o meno preciso. Per esempio, un normale orologio da polso al quarzo fa un errore di un secondo ogni settimana, mentre un orologio atomico fa un errore di un secondo ogni milione di anni. La precisione di uno strumento di misura è un indice della qualità dello strumento stesso. In particolare, affinché uno strumento sia preciso devono accadere due cose: - misurando più volte la stessa grandezza, si deve ottenere praticamente sempre lo stesso risultato; - i valori forniti dallo strumento devono essere in accordo con quelli misurati con un altro strumento di riferimento, noto come affidabile.

Errori sistematici Un errore si dice sistematico se è causato da uno strumento di misura difettoso. Un cronometro tarato male, per esempio per difetto, avrà sempre la tendenza a stimare misure di tempo eccedenti rispetto alla realtà. Un righello deformato dal caldo non può offrire ovviamente una misura corretta.

Cifre significative Il numero di cifre significative di un numero è il numero di cifre che si hanno eliminando tutti gli zeri A SINISTRA, e mantenendo tutti gli zeri A DESTRA. Il significato del numero di cifre significative è quello di dare una prima informazione sul grado di precisione del numero scritto

Cifre significative Le cifre significative sono quelle i cui valori sono noti con certezza; non ha importanza se c’è la virgola o meno: Es. 0,12345 1,2345 123,45 12,345 questi numeri hanno tutti 5 cifre significative Se uno strumento fornisce la sua risposta con più cifre significative rispetto ad un altro, questo vuol dire che quello con più cifre significative ha una capacità maggiore di registrare piccole variazioni della grandezza in misura.

Cifre significative La presenza degli zeri indica: 1) se presenti tra cifre significative sono significative Es. 21,03 20,03 hanno entrambi 4 cifre significative 2) non sono significativi quando servono ad indicare ordine di grandezza Es. 2l 2000 ml hanno una sola cifra significativa 3) gli zeri a sinistra di cifre significative non sono significative Es: 0,123 0,00123 0,000123 hanno 3 cifre significative 4) Gli zeri a destra sono anch’essi cifre significative perché indicano la precisione della misura

Cifre significative In un'operazione di moltiplicazione, divisione, o elevazione a potenza ed estrazione di radice si deve mantenere lo stesso numero di cifre significative di quante sono contenute nella quantita' che ha la minor precisione di quelle tra cui si opera.

Calcoli con cifre significative Il risultato di un calcolo deve riflettere l’accuratezza con cui sono state eseguite le misure. Non si può guadagnare o perdere in accuratezza durante un’operazione matematica.

Calcoli con cifre significative