Corrispondenza fra gli insiemi Due insiemi A e B sono in corrispondenza quando è fissata una caratteristica,proprietà o regola,che associa gli elementi di A con gli elementi di B. Ciò si può rappresentare: Con una tabella a doppia entrata forma sagittale Bari Lecce Siena Enna Palermo Firenze Puglia Toscana Sicilia Si trova in Puglia Toscana Sicilia BARI X LECCE X SIENA X ENNA X PALERMO X FIRENZE X io

...esempi “… inizia con la stessa lettera di …” “… È andato a …” “… ha per capoluogo …” Una corrispondenza di questo tipo si dice corrispondenza biunivoca: Una corrispondenza fra due insiemi A e B si dice biunivoca se associa a ogni elemento di B e viceversa ogni elemento di B è il corrispondente di un solo elemento di A. Due insiemi in corrispondenza biunivoca sono equipotenti,hanno cioè lo stesso numero di elementi. Casa Cubo palla Tana mare Pipa Torta Cielo Mulino sedia Anna Piero Laura Simone Sara Studiare Mangiare Dormire leggere Lombardia Piemonte Sicilia Sardegna Liguria Torino Palermo Genova Milano Cagliari io

Relazioni in un insieme Avendo A =[10;15;25;35] e B =[20;30;50;70] attraverso la caratteristica “… è la metà di …” Si chiama relazione R fra due insiemi la regola, proprietà o caratteristica che determina una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi. Osserviamo adesso come è possibile mettere in corrispondenza, attraverso una relazione R, gli elementi di uno stesso insieme. Sia A =[Mara;Mario;Roberto;Davide;Carlo;Luisa;omar] Mettiamo in corrispondenza tra loro questi ragazzi considerando la relazione: R: “… è il fratello di …” Sapendo che: Mario è il fratello di Mara e Davide, Roberto è il fratello di Luisa, Carlo è il fratello di Omar. Possiamo scrivere le seguenti relazioni: Mario R Mara Roberto R Luisa Carlo R Omar.... Si chiama relazione R di un insieme A la regola, caratteristica, proprietà o procedimento che permette di associare gli elementi di A con gli elementi di A stesso. Io

Come si rappresenta una relazione? tabella a doppia Entrata Forma sagittale RMaraMarioRobertoCarloLuisaHomarDavide Mara Mario XX Roberto X Carlo X Luisa Homar X Davide XX Mara Mario Roberto Carlo Luisa Homar Davide io

Proprietà delle relazioni Proprietà riflessiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando, considerato un elemento qualsiasi a di A, a è sempre in relazione con se stesso a R a per qualsiasi a E A Es. A=[birra;cesta;diario;boccia;dado;calcio;borsa] e la relzione R :”…inzia con la stessa consonante di…” Osserviamo che ogni elemento è sicuramente in relazione con se stesso: birra R birra cesta R cesta ….. Proprietà simmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando, considerati due elementi qualsiasi a e b di A, se a e in relazione con b, b è sempre in relazione con a: Da a R b segue b R a per qualsiasi a,b E A ES. A =[16;254;5471;32;3284;329;45] e la relazione R=“… ha lo stesso numero di cifre di…” Osserviamo che se un elemento è in relazione con un altro, sicuramente quest’ultimo è in relazione col primo, infatti: se 16 R 32 anche 32 R 16 se 254 R 329 anche 329 R

….. continua Proprietà transitiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà transitiva quando, considerati tre elemeti qualsiasi a b e c di A, se a è in relazione con b e questo con c anche a è in relazione con c : da a R b e b R c segue a R c per qualsiasi a,b,c E A Es. A =[busta;latte;rodeo;tisana;libro;mano;carte;gente;retta] e la relazione R: “…. finisce con la stessa vocale di …” Osserviamo che se un elemento è in relazione con un altro e questo è in relazione con un altro ancora sicuramente il primo è in relazione con quest’ultimo infatti: se latte R carte e carte R gente, sarà sicuramente carte R gente... Proprietà antisimmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica quando, considerati due elementi qualsiasi a e b di A, se a è in relazione con b non sarà mai b in relazione con a. Da a R b segue b R a per qualsiasi a, b E A Es. A =[mano;calore;vernice;quaderno;giocattolo] e la relazione R: “…. ha un numero di lettere minore di …” Osserviamo che se un elemento è in relazione con un altro sicuramente quest’ultimo non è in relazione con il primo infatti: se mano R calore calore R mano se vernice R quaderno vernice R quaderno....

Relazione di equivalenza Le proprietà che abbiamo esaminato ci permettono di prendere in considerazioni particolari relazioni,quali la relazione di equivalenza e la relazione di ordine. RELAZIONE DI EQUIVALENZA: Nell’ insieme A =[tigre;leone;vipera;boa;merlo;gallo;aquila]consideriamo la relazione R:”…fa parte la stessa classe di …” e rappresentiamo in una tabella a doppia entrata. Esaminando quest’ultima osserviamo che la relazione gode della proprietà: -riflessiva:ogni elemento è in relazione con se stesso tigre R tigre,boa R boa … -simmetrica:se un elemento è in relazione con un altro,questo è in relazione col primo se vipera R boa,allora boa R vipera -transitiva:se un elemento è in relazione con e questo con un altro ancora,allora il primo è in relazione con quest’ultimo Se merlo R gallo e gallo R aquila,allora merlo R aquila QUINDI: Una relazione R definita in un insieme A si dice relazione di equivalenza se gode contemporaneamente della proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva Rtigreleoneviperaboa merlogalloaquila TigreXX LeoneXX ViperaXX BoaXX MerloXXX GalloXXX aquilaXXX

Relazione di ordine Una relazione R,definita in un insieme A, si dice relaizione di ordine largo se gode compemporaneamente della proprietà riflessiva,antisimmetrica e transitiva. Una relazione R,definita in un insieme A si dice contemporaneamente solo della proprietà antisimmetrica e transitiva. Nell’insieme A=[30,25,20,15,10,5]consideriamo la relazione R”… è uguale o maggiore di…” Esaminando la tabella a doppia entrata,osserviamo che la relazione gode della proprietà -riflessiva:30 R 30,25 R 25… -antisimmetrica:se 30 R 25 allora 25 R 30 -transitiva:se 20 R 15 e 15 R 10,allora 20 R 10. La relazione che abbiamo esaminato si dice relazione di ordine largo R XXXXXX 25XXXXX 20XXXX 15XXX 10XX 5X

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