Esercizio-Tre blocchi di massa rispettivamente m 1 =5Kg, m 2 =2 Kg e m 3 =3Kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da due funi (vedi figura). Sul blocco 1 agisce una forza orizzontale pari a 35 N. Si determini l'accelerazione di ciascun blocco e la tensione delle due funi nel caso in cui: a) non vi sia attrito tra blocchi e piano b)l'attrito dinamico per i tre blocchi sia pari a  1 =  2 =  3 = 0.2 Risolviamo direttamente il caso con attrito; il caso senza attrito si ricava da questo ponendo  =0. I tre blocchi sono ovviamente vincolati a muoversi con la stessa legge oraria, quindi avranno una accelerazione comune di modulo a. Le forze di attrito si oppongono alla forza F, e sono proporzionali al peso dei rispettivi blocchi: dove è la massa totale del sistema dei tre blocchi.

L'accelerazione comune sarà allora: quindi a=3.5 m/s 2 nel caso senza attrito e a  m/s 2 nel caso con attrito. Passando alle tensioni delle corde, possiamo scrivere il seguente insieme di equazioni: Per esercizio completare il calcolo sostituendo i valori numerici e Disegnare i diagrammi di corpo libero per le varie masse.

Esercizio-Allo specchietto retrovisore di una macchina è appeso un ciondolo di massa m= 25g tramite un filo di lunghezza l=15 cm. La macchina percorre un tratto di strada piano a velocità costante pari a v 1 =70 Km/h (fase 1), quindi rallenta con decelerazione costante per un tratto di 80m (sempre in piano) fino alla velocità v 2 = 45Km/h (fase 2). Con la velocità costante v 2 la macchina percorre una curva (ancora in piano) con raggio di curvatura 50m (fase 3). Al termine della curva la macchina imbocca una salita con inclinazione  =30° rispetto all'orizzontale, lungo la quale accelera con accelerazione costante a=0.3g (fase 4). Si determini per ciascuna delle quattro fasi l'inclinazione del filo rispetto alla verticale, la direzione dell'inclinazione (concorde, opposta o perpendicolare al moto della macchina) e la tensione del filo.

Nella prima fase, la macchina si muove di moto rettilineo uniforme, per cui nel suo sistema di riferimento non si manifestano forze apparenti ed il ciondolo rimane verticale. La tensione del filo è esattamente uguale al peso del ciondolo: Nella seconda fase la macchina subisce una decelerazione costante a Sia v 1 = 70 Km/h=19.4m/s la velocità iniziale e v 2 = 45 Km/h=12.5m/s la velocità alla fine della fase di decelerazione. il tempo necessario alla frenata è: Lo spazio percorso in questo tempo t è  s = 80m e dalle leggi cinematiche del moto uniformemente accelerato ricaviamo: da cui si ricava l’accelerazione del sistema di riferimento parallela alla strada:

Questa accelerazione appare come una accelerazione fittizia nel riferimento della macchina, parallela alla strada. La tensione complessiva della fune quindi è: e l'angolo di inclinazione  rispetto alla verticale: con il ciondolo che si sposta verso la parte anteriore della macchina Nella terza fase l'accelerazione fittizia è invece quelle centrifuga data da con m il raggio di curvatura. In modo del tutto analogo al caso precedente si ricava: con il ciondolo che si sposta verso il il bordo esterno della curva.

L'ultima fase è leggermente più complicata delle altre. In questo caso l'accelerazione fittizia e la forza peso non sono più ortogonali, quindi sommare in quadratura è sbagliato. Stavolta l'accelerazione fittizia è per cui la tensione diventa: Il modulo della tensione Verificare che il ciondolo si inclina verso la parte posteriore della macchina. L'inclinazione rispetto alla ``verticale'' della macchina naturalmente è maggiore:

Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 50 cm è attaccata agli estremi con due elastici, di costanti 200 N/m e 300 N/m rispettivamente. In quale punto della sbarra bisogna porre un corpo puntiforme di massa 5 Kg, in modo che la sbarra rimanga orizzontale ? Di quanto si allungano gli elastici ? ———————————— Soluzione – Se la sbarra è orizzontale, l’allungamento di entrambi gli elastici è identico (chiamiamolo d); le forze sono k 1 d e k 2 d. Affinché la sbarra rimanga ferma, occorre che il momento totale delle forze sia nullo. Calcolando il momento rispetto al punto in cui è posto il corpo, si ha (notare i segni +-) :k 1 dx - k 2 d(L-x) + mg·0 = 0  x = k 2 dL / (k 1 d + k 2 d) = k 2 L / (k 1 + k 2 ) = 30 cm; L’allungamento si ottiene ponendo la somma vettoriale delle forze uguale a zero (asse positivo verso l’alto) : k 1 d + k 2 d – mg = 0  d = mg / (k 1 + k 2 ) = 9.8 cm.

Esercizio – Una bilancia a statera (vedi figura) di massa trascurabile ha la massa scorrevole (m) di 500 g, il braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una certa massa M é posta sul piatto, l’equilibrio richiede che la massa m venga posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia ? ———————————— Soluzione – Eguagliamo a zero il momento totale delle forze : Mga - mgb = 0  M = mb / a = 500 × 20 / 40 = 250 g.

Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 2 m è fissata al centro e libera di ruotare. Ha alle estremità due masse, rispettivamente di 80 Kg e 60 Kg. Dove bisogna mettere una terza massa, di 30 Kg, in modo che la sbarra resti orizzontale ? Eguagliamo a zero il momento totale, calcolato rispetto al punto centrale(fulcro) : m 1 gL/2 – m 2 gL/2 – m 3 gx = 0  x = (m 1 L/2 – m 2 L/2) / m 3 = L/2 (m 1 – m 2 ) / m 3 = 66 cm. ———————————— Soluzione –

Esercizio – Trovare il raggio dell’orbita di un corpo che percorre un’orbita circolare geostazionaria [dati raggio terrestre : 6.37 × 10 6 m]. ———————————— Soluzione – Si eguaglia la forza di gravità a quella necessaria per un moto circolare uniforme; si impone inoltre che la velocità angolare sia la stessa della rotazione terrestre :

Esercizio – Determinare la velocità di un corpo che, senza usare alcun motore, gira attorno alla Terra ad una quota di 100 m sul livello del mare.Trascurare la resistenza dell’aria e approssimare la Terra con una sfera perfetta di raggio R T = 6.37 × 10 6 m. ———————————— Soluzione – Si eguaglia la forza peso subita dal corpo con la forza centripeta necessaria a compiere il moto in questione :

Esercizio – Partendo da fermo, un motociclista compie il percorso indicato in figura, composto da un tratto in discesa e da una circonferenza di raggio 4 m. Trascurando gli attriti, trovare il valore minimo della quota h, affinché il percorso riesca. In tale ipotesi, trovare la velocità del motociclista nei punti più alto e più basso della circonferenza. Soluzione – Il punto critico è quello chiamato “A” nella figura; in A, per mantenere la traiettoria circolare, l’accelerazione di gravità deve essere al più uguale a quella richiesta dal moto circolare uniforme (g  v A 2 /R). Pertanto :