1 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Bilancio di energia in caso di trasporto nella sola direzione x x x+dx T metà lastra Equazione della conduzione monodimensionale in transitorio B

2 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Bilancio di energia Le condizioni al contorno tipiche sono: t = 0 T = T(0) uniforme x = 0 dT/dx = 0 (simmetria) x = B uguaglianza dei flussi T(0) B= semi spessore della lastra

3 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - numero di Biot In genere Condizione al contorno all’interfaccia solido/fluido diverso da Nusselt In caso di cilindro o sfera L=R (oppure D)

4 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - significato fisico del numero di Biot Bi >>1 tutto il  T è interno (prevale la resistenza interna) Bi <<1 tutto il  T è esterno (prevale la resistenza esterna) Per cilindro e sfera la lunghezza caratteristica è R (oppure D), per la lastra piana è il semi spessore della lastra Biot = rapporto dei  T oppure delle resistenze

5 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Profili di T in funzione di Biot Bi << 1 (Bi  0.1) tempo T xB T(0) T(1) T(t) TT 0 Bi >> 1 (Bi  10) tempo T xB T(0) T(1) T(t) TT 0 profilo solo esterno T(t=  ) profilo solo interno

6 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Profili di T in funzione di Biot 0.1 < Bi < 10 tempo T xB T(0) T(t) TT 0 profilo sia interno che esterno T(t=  ) T(1)

7 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Soluzioni del bilancio in funzione di Biot Bilancio globale Carte generalizzate con 1/Bi soluzione grafica dell’equazione di bilancio V  cp dT/dt = -hA(T-T  ) B.C. t=0 T=T(0) Bi 1/Bi T(x=B) =T  Carte Bird

8 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate - Lastra piana 1/Bi (T(x=0,t)-T  )/(T(t=0)- T  ) Fornisce la T al centro della lastra in funzione del tempo e di Biot Tempo adimensionale BILANCIO GLOBALE BIRD

9 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate Fornisce T a qualunque x e t in funzione di T al centro allo stesso t e di Biot 1/Bi (T(x,t)-T  )/T(x=0,t)-T  ) Si ricava dal grafico precedente Coord. adimension ale

10 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate Bird lastra piana Fig Valgono per Biot   (tutto il  T è interno) T 1 =T  T 0 =T(t=0) Profili di T (adimensionale) nella lastra Tempo adim. coordinata adimensionale

11 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio – t  0 Bilancio di energia t  0 T = T 0 per ogni y y = 0 T = T 1 per ogni t >0 y   T = T 0 per ogni t >0 T0T0 T1T1 Spazio semi infinito t y xTxT

12 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio – t  0 Spazio semi infinito erf  per  =2 risulta erf  =0.995 Spessore di penetrazione  Se al tempo t è  < B la soluzione vale anche per lastra piana finita Per cilindro e sfera deve essere almeno  < R/2 La soluzione quindi vale per tempi “piccoli”

13 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Soluzioni del bilancio in funzione di Biot Bilancio globale Carte generalizzate con 1/Bi soluzione grafica dell’equazione di bilancio V  cp dT/dt = -hA(T-T  ) B.C. t=0 T=T(0) Bi 1/Bi T(x=B) =T  Carte Bird per t –> 0