I numeri naturali, interi, razionali e reali

I numeri naturali: N I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. L'insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N N = {0; 1; 2; 3; ……n;…..} Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. Operando con l’addizione nell’insieme dei numeri naturali, si ottiene come risultato un numero dello stesso insieme: si dice che l’addizione è legge di composizione interna per l’insieme dei numeri naturali e in esso è ovunque definita.

I numeri naturali: N La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. La sottrazione non è legge di composizione interna ovunque definita per l’insieme N, infatti nell’insieme dei numeri naturali la sottrazione è possibile solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. Anche la moltiplicazione, quindi è una legge di composizione interna, ovunque definita, per l’insieme dei numeri naturali. Per la divisione, questo non è sempre vero. Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale. Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali non sono adeguati.

I numeri interi: Z Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L'insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z Z = {………-n;………..-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ………….n;…………} L'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente ai numeri interi.

I numeri razionali: Q Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. Possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale (tranne zero) e ottenere come risultato un razionale. L'insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q.

I decimali finiti

In generale se un decimale occupa sino all'n-esimo posto dopo la virgola, dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste al numeratore e 10 n come denominatore. I numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

I decimali periodici

Trasformare un numero decimale in frazione Se il numero da trasformare è un numero decimale finito si scrive: - a numeratore il numero senza virgola - a denominatore la potenza del 10 con esponente il numero di cifre dopo la virgola Se il numero è un numero periodico si scrive: - a numeratore la differenza tra il numero, considerato senza la virgola, ed il numero formato dalle cifre che precedono il periodo - a denominatore un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo e da tanti 0 quante sono le cifre che precedono il periodo

Trasformare un numero decimale in frazione

I numeri razionali non bastano: i numeri Reali Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza utili. Si può operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con l'eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale. Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuole semplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l'area di un cerchio, i razionali non sono più sufficienti.

I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali. I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali. I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque rappresentazione decimale. L'insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R.

I numeri irrazionali Tra i numeri irrazionali ve ne sono alcuni molto famosi ed importanti:

I numeri irrazionali Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo diametro è π  =3,14159 Circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: Volume di una sfera di raggio r:

I numeri irrazionali Numero di Eulero (o di Nepero) e: approssimazione con 5 cifre decimali 2,71828 Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale). È molto importante per le svariate applicazioni in fisica: oscillazioni smorzate E(t)=E o e - δ t decadimenti radioattivi A(t)= A o e - λ t ……..

Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con | a | ad esempio

Valore assoluto di un numero reale Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio 3-x. Si avrà: Notiamo che |3-x| = |x-3|, visto che l'unica differenza nella definizione si ha per x = 3, ma in questo caso x-3 = 3-x = 0

Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell'altro, ad esempio la coppia 5, 6 o la coppia -4, -3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c'è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Anzi, ce ne sono infiniti. Questa proprietà è chiamata densità di Q. Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini quanto si vuole.

Q è denso in R x < y, Si dice che Q è denso in R. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono. Siano e sia allora

Insiemi numerici numerabili e non numerabili Tutti gli insiemi numerici sono infiniti, ed è giusto chiedersi qualora sia o non sia possibile metterli a confronto reciprocamente. Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali.

Corrispondenza biunivoca Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione binaria tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno ed un solo elemento di X. Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni: una funzione è biunivoca se per ogni elemento y di Y vi è uno e un solo elemento x di X tale che f(x) = y.

Insiemi numerici numerabili e non numerabili Un insieme si dice infinito numerabile quando ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali N, ossia quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra tale insieme ed i numeri naturali. In caso contrario si parla di insieme non numerabile. Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali. Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei numeri reali.

Insiemi numerici numerabili e non numerabili Definizione: Un insieme A è detto numerabile se esiste un’applicazione biunivoca di N in A. Se A è numerabile è possibile etichettare ogni elemento di A con un numero naturale ponendo a n = f(n); questo corrisponde a numerare gli elementi di A o detto altrimenti a disporli in successione. Teorema: L’insieme Z dei numeri interi è numerabile. Dimostrazione – Definiamo la seguente applicazione f : N → Z ponendo La f così definita è, come si vede facilmente, biunivoca. Proposizione: Il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili è numerabile. Quindi, in particolare Z × Z è numerabile. Teorema: L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile.

Retta orientata Su di una data una retta r è possibile fissare un sistema di riferimento. Per fare questo occorre: fissare un qualsiasi punto O detto origine orientare la retta fissando un verso di percorrenza (detto positivo se dall’origine ci si sposta verso destra) fissare una unità di misura Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali.

Sistema di ascisse sulla retta reale Su una retta si fissa un sistema di riferimento considerando: un punto O (origine) a cui si associa il valore 0 a destra di O, un altro punto che chiamiamo U (punto unità) e cui si associa il valore 1 Il segmento OU è l’unità di misura del sistema fissato. In questo modo viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i numeri reali, nel senso che ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale. Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il punto si trova a destra di O e negativa altrimenti. Viceversa, ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta euclidea.

Intervalli reali Gli intervalli sono particolari sottoinsiemi della retta reale. Intervalli Limitati

Intervalli reali Intervalli non limitati. Sia h un numero reale, allora

Le coordinate cartesiane sul piano R 2 è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali e la sua rappresentazione geometrica è il piano. Il sistema più ampiamente usato nel piano è quello delle coordinate cartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro. Queste coordinate prendono il nome da René Descartes (Cartesio), un filosofo e scienziato francese che nel '600 ideò un modo di "etichettare" ogni punto di un piano con una coppia di numeri. Il sistema è basato su 2 linee rette ("assi"), perpendicolari tra loro, su ciascuna delle quali è fissato un sistema di ascisse, con origine nel punto in cui esse si incontrano e con la stessa unità di misura.

Le coordinate cartesiane sul piano L'ascissa sull'asse orizzontale è indicata con la lettera x, e sull'altro asse con y. Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, e i valori x e y sulle intersezioni definiscono completamente il punto. In onore di Cartesio, questo modo di etichettare i punti è noto come sistema cartesiano e i due numeri (x,y) che definiscono la posizione di ogni punto sono le sue coordinate cartesiane. Nei grafici è spesso usato questo sistema, come pure sulle mappe.

Piano cartesiano e quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: O I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; O II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; O III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine; O IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.

Piano cartesiano e quadranti

Corrispondenza biunivoca è biunivoca se per ogni elemento y di Y vi è uno e un solo elemento x di X tale che f(x) = y. Ogni numero reale x ha una e una sola controimmagine y (ogni retta parallela all’asse x interseca la curva in un solo punto), quindi f è biunivoca

Corrispondenza biunivoca Funzione costante

Corrispondenza biunivoca Funzione di 1° grado RETTA

Corrispondenza biunivoca Funzione di 1° grado A diversi valori di x corrisponde lo stesso valore di y quindi f NON è biunivoca (una retta parallela all’asse x interseca la curva in più di un punto),

Corrispondenza biunivoca Funzione di 2° grado PARABOLA A diversi valori di x corrisponde lo stesso valore di y quindi f NON è biunivoca (una retta parallela all’asse x interseca la curva in più di un punto),

Corrispondenza biunivoca

Funzione esponenziale con a >1

Corrispondenza biunivoca Ogni numero reale x ha una e una sola controimmagine y (ogni retta parallela all’asse x interseca la curva in un solo punto), quindi f è biunivoca

Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10 Ogni numero reale a può essere scritto nella forma dove p  R; N è la base del sistema di numerazione e q  Z. Il coefficiente della potenza di 10 viene chiamato mantissa del numero. Questa rappresentazione, detta in virgola mobile (floating-point), non è unica, infatti:

La rappresentazione di a si dice normalizzata quando: Le cifre di p si dicono cifre significative Esempi: - La rappresentazione normalizzata di a = è a = × 10 2 ; - la rappresentazione normalizzata di a = è a = × Fissata la base N, ogni numero reale a è univocamente definito dalla coppia a = (p; q) p viene detta mantissa di a, q viene detto esponente di a Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10

centomila alla quinta potenza Diecimila alla quarta potenza Mille alla terza potenza Cento alla seconda potenza Dieci alla primapotenza uno alla potenza zero Rappresentazione di un numero reale come prodotto di una mantissa per una potenza di 10

Potenze Supponiamo di avere un prodotto del tipo tale scrittura la sintetizza con: il numero in alto ”Esponente” indica quante volte stiamo moltiplicando il numero 5 ”base” per se stesso: L’ESPONENTE INDICA QUANTE VOLTE DEVO MOLTIPLICARE LA BASE PER SE STESSA Calcoliamo 2 5 : 2 5 =2x2x2x2x2=32

Le proprietà delle potenze: Le proprietà delle potenze ci aiutano a eseguire i calcoli più facilmente. Il prodotto di potenze con la stessa base. Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. Esempio: 4 2 x 4 5 = = 4 7 Esempio: 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 2 x 3 = x 3 x 3 x 3 x 3 la somma degli esponenti: 2+2+1=5

Le proprietà delle potenze: Il quoziente di potenze con la stessa base. Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. Esempio: 4 6 : 4 2 = 4 4 Esempio: 3 6 : 3 2 = 3 6 – 2 = :3 3 = = 3 -1 N.B: qualsiasi potenza con esponente “0”è uguale a “1” 3 2 : 3 2 = 3 0  9 : 9 = 1

Le proprietà delle potenze: Generalizzando: b m · b n = b m+n

Le proprietà delle potenze: Potenza di potenza: La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Esempio (5 3 ) 2 = 5 6 Esempio: 7 x7 x7 x 7 x 7 x x 7 3 = 7 6 ( 7 3 ) 2 = 7 6 = QUADRATO DEL CUBO IL CUBO AL QUADRATO 7 x7 x 7 x 7 x 7 x x 7 2 x 7 2 = 7 6 ( 7 2 ) 3 = 7 6 = CUBO DEL QUADRATO IL QUADRATO AL CUBO

Le proprietà delle potenze: Il prodotto di potenze con lo stesso esponente Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente... è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente. Esempio: 4 2 x 3 2 = 12 2 Esempio: 3 2 x 5 2 = 3 x 3 x 5 x 5 = ( 3 x 5) 2 = 15 2 = 225 Il quoziente di potenze con lo stesso esponente Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente... è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente. Esempio 24 6 : 12 6 = (24:12) 6 = 2 6

Le proprietà delle potenze: Potenze ad esponente negativo Cosa significa potenza ad esponente negativo? 4 −3 = ? tale scrittura la si usa per sintetizzare: da cui: Le potenze ad esponente negativo sono il reciproco della stessa potenza ad esponente positivo

Le proprietà delle potenze: Potenze ad esponente frazionario o razionale il denominatore della frazione va all’indice della radice e il numeratore va all’esponente del radicando, cioè della quantità sotto radice. Potenze con esponente 0 La potenza a 0 = 1 qualsiasi potenza ad esponente nullo vale 1.

Potenze Le potenze sono molto utili perché con esse è possibile mettere in forma abbreviata e compatta numeri anche molto grandi e perché soddisfano importanti ed utili proprietà. Per esempio, la distanza terra-sole è di km. Questo numero può essere scritto come: oppure, come si usa nella notazione scientifica (la stessa delle calcolatrici elettroniche) :