MATTIA DI MAURO Tesi di Laurea Triennale anno accademico 2008/2009 Relatore Prof. Lorenzo Fatibene Università Degli Studi di Torino, Facoltà Scienze MFN, Istituto di Fisica STRUTTURA CONFORME E PROIETTIVA DELLO SPAZIOTEMPO 1

L’argomento della Tesi è lo studio e la verifica di una parte del lavoro eseguito da Ehlers, Pirani e Schield nel 1972 sulla Relatività Generale. La teoria della Relatività Generale è costruita a partire dalla struttura geometrica dello spaziotempo (relazione tra connessione e metrica) e passando dal principio di equivalenza ricava la fisica degli oggetti dotati di massa e dei raggi di luce. Ehlers, Pirani e Schield invece considerarono un nuovo approccio alla teoria. Essi partirono da considerazioni sul moto delle particelle e dei raggi di luce per poi ricavare la struttura geometrica dello spaziotempo. ARGOMENTO 2

L’intento quindi è quello di dare un formulazione della Relatività Generale che ha come base le particelle e i raggi di luce e costruisca, a partire da essi, gli elementi matematici propri della struttura geometrica dello spaziotempo. Tensore metrico Connessione Struttura Conforme Struttura Proiettiva Dotano lo spaziotempo di una: CP Particelle Raggi di luce Una particella è intesa come un oggetto la cui estensione e struttura interna può essere trascurata; può essere approssimata cioè come un punto materiale. Un raggio di luce invece è considerato come un piccolo pacchetto d’onda.

4 STRUTTURA CONFORME E PROIETTIVA Struttura Conforme C : La propagazione della luce determina in ogni punto dello spaziotempo dei coni nulli infinitesimi, permettendo così di distinguere tra vettori e curve di tipo tempo, spazio, luce (nulli). Le geodetiche di luce (nulle), cioè i raggi di luce, sono quelle curve contenute nell’ipersuperficie nulla. Struttura Proiettiva P : Il moto delle particelle in caduta libera determina una famiglia di curve C -di tipo tempo che soddisfano la legge generalizzata di inerzia. Queste curve sono chiamate C –geodetiche di tipo tempo di P.

CONSIDERAZIONI INIZIALI - Si considera un insieme M di elementi chiamati eventi : Poi si prendono due sottoinsiemi di M, i cui membri sono chiamati raggi di luce e particelle rispettivamente. E’ definita particella la linea di universo di una particella in caduta libera soggetta al solo campo gravitazionale. Si definisce raggio di luce la linea di universo di un raggio di luce anch’esso in moto in un campo gravitazionale in assenza di altre forze. - Dal concetto di particelle e raggi di luce si costruisce sull’ insieme M un sistema di coordinate in modo tale da poter introdurre su M una topologia differenziabile Sistema di coordinate su M M topologia differenziabile 5

Definite le particelle e i raggi di luce, allo scopo di costruire delle coordinate su M, si costruiscono due mappe: Messaggio Da P viene emesso un raggio di luce L che incontra la particella Q : Eco Un raggio di luce L viene emesso dalla particella P, questo incontra la particella Q da cui parte il secondo raggio di luce L’ che incontra la particella P. 6

Messaggio La mappa messaggio è costruita a partire da due particelle P, Q e un raggio di luce L. Un raggio di luce L viene emesso dalla particella P in un evento p e incontra la particella Q nell’evento q. Con questa mappa si può passare da una particella ad un’altra usando un raggio di luce. Assioma D 2 : Ogni messaggio da una particella ad un’altra è derivabile (è sufficiente C 3 ) 7

Messaggio su Minkowski Per verificare se la mappa messaggio è compatibile con l’assioma D 2 la si costruisce su Minkowski. L’equazione di una particella nello spaziotempo della Relatività Speciale, in assenza quindi del campo gravitazionale è: Integrando si trova l’equazione di una particella in caduta libera su Minkowski: L’equazione di un raggio di luce invece è: Considero quindi le due particelle P e Q e il raggio di luce L: Viene emesso dall’evento della particella P un raggio di luce L che arriva sulla particella Q. Per trovare l’evento di arrivo del raggio di luce sulla particella Q si risolve il sistema: 8

Nel sistema della precedente diapositiva le incognite sono 6 ma il loro numero può essere ridotto considerando che la velocità della luce è un quadrivettore di tipo luce quindi vale la relazione: Poi si può scegliere di fissare la norma del vettore euclideo: In questo modo le incognite sono 4 con 4 equazioni, il sistema è risolvibile. Si trova in particolare il parametro s e l’evento sulla seconda particella legato all’arrivo del raggio di luce: Si trova quindi la mappa desiderata che da un evento su una particella fornisce un evento sull’altra particella. Questa mappa deve essere: suriettiva e iniettiva. 9

ECO La mappa è costruita a partire da due particelle P, Q e due raggi di luce L, L’. La prima parte consiste nella mappa messaggio, un raggio di luce L è emesso dall’evento p della particella P e incontra la particella Q nell’evento q. Quindi un secondo raggio di luce L’ viene emesso dallo stesso evento q e incontra la prima particella P nell’evento p’. Assioma D 1 : Per ogni coppia di particelle P,Q, ogni eco da P a Q è derivabile (C 3 ) e con inversa derivabile (C 3 ) 10

ECO SU MINKOWSKI Si parte dalla mappa messaggio, un raggio L emesso dall’evento di P incontra Q nell’evento: Da questo stesso evento viene emesso un raggio di luce L’ di equazione: Per trovare su P l’evento nel quale L’ incontrerà la particella si deve risolvere il sistema: Si riducono il numero di incognite da 6 a 4 con l’artificio precedentemente utilizzato. Si calcola il parametro f con cui si trova l’evento su P in cui il raggio di luce incontra la particella. Si trova quindi la mappa desiderata che da un evento su una particella fornisce un altro evento sulla stessa particella con due raggi di luce e un’altra particella. 11

12 Affinchè l’eco sia una buona mappa da un evento di una particella ad un altro evento della stessa particella, deve essere invertibile. Se si considera: Si deve poter definire anche l’eco inverso: E affinché questo sia vero deve essere:

MESSAGGIO E ECO SU MINKOWSKI Per verificare la compatibilità degli assiomi sono state costruite le due mappe su Minkowski nel caso bidimensionale considerando cioè una sola coordinata spaziale. CASO BIDIMENSIONALE Messaggio Si risolve il sistema e si trova : Affinché m sia derivabile si deve richiedere che: Sempre vero dato che Q è una particella quindi la sua velocità è un quadrivettore di tipo tempo. La mappa è poi chiaramente iniettiva e suriettiva: Questo esempio mostra come l’assioma D 2 sia compatibile con il modello dello spazio tempo Minkowski bidimensionale; in questo caso almeno l’assioma è ragionevole. 13

ECO Si risolve il sistema e si trova : Affinché m sia derivabile si deve richiedere che: Sempre vero dato che P e Q sono particelle quindi le loro velocità sono quadrivettori di tipo tempo. Poi per verificare che è invertibile si calcola lo Jacobiano e il suo Determinante: Affinché la mappa sia invertibile quindi trovo la stessa condizione incontrata precedentemente cioè che i quadrivettori velocità delle due particelle di tipo tempo. L’assioma D 1 è quindi ragionevole in relazione a questo modello. 14

Si devono adesso costruire delle coordinate su M usando le due mappe precedentemente create. Si considera un evento e, due particelle P e P’ esterne all’evento e il cono di luce emesso da e. Il cono di luce incontra le due particelle in 4 eventi, si può costruire la mappa: (u,v,u’,v’) sono i parametri sulle due particelle relativi all’incontro del cono di luce. Cono di luceCoordinate radar COORDINATE RADAR 15

Affinchè la mappa precedentemente introdotta possa definire un sistema di coordinate su M la mappa deve essere continua, invertibile con inversa continua. Per verificare che la mappa proposta possa avere queste proprietà consideriamo il caso della relatività speciale in assenza di campo gravitazionale. Si considerano due particelle e il cono di luce emesso dall’evento e: Per trovare gli eventi nei quali il cono di luce emesso da e incontra le due particelle si devono risolvere i due sistemi: Questi sono due sistemi di 4 equazioni in 6 incognite, per ridurre il numero di incognite si opera sempre nello stesso modo considerando che i vettori luce sono a norma nulla e fissando il modulo della trivelocità: 16 ;

I due sistemi sono ora risolvibili, si calcolano quindi i 4 parametri (f,s,f’,s’) sulle due particelle che ci forniscono la mappa desiderata. Per controllare che questa mappa sia adatta a fornire un sistema di coordinate su M si deve controllare che: 1) Sia definita per qualsiasi evento tra le due particelle. 2) A partire da un evento tra le due particelle mi definisca in modo univoco i quattro parametri sulle due particelle. 3) Sia invertibile e l’inversa sia continua. Per controllare che le coordinate radar così come sono definite da EPS siano compatibili con gli assiomi precedenti e consistenti con le proprietà di un sistema di coordinate si costruiscono su Minkowski. 17

18 RADAR COORDINATE SU MINKOWSKI CASO BIDIMENSIONALE Nel caso bidimensionale si devono risolvere i due sistemi: La soluzione del sistema è:

19 d e d’ definiscono le due parti del cono di luce emesso da e, si devono scegliere i due parametri in modo tale che uno sia opposto all’altro perché l’evento si trova tra le due particelle. Si sceglie perciò: quindi la mappa è: Per verificare che sia invertibile si calcola lo Jacobiano e il suo determinante e si trova:

20 CASO QUADRIDIMENSIONALE 1 Nel caso quadridimensionale si considera un esempio particolare con le due particelle in moto lungo l’asse dei tempi quindi due particelle parallele: Si risolve il sistema e si trova: Si calcola il determinante di J e si trova indipendentemente dalla scelta di (d 1,d 2,d 1 ’,d 2 ’). : Le due particelle quindi non possono essere scelte parallele altrimenti la mappa non è invertibile e non può fornirci un sistema di coordinate.$

21 CASO QUADRIDIMENSIONALE 2 Si possono adesso considerare due particelle non parallele. La soluzione del sistema è: Scegliendo (d 1,d 2,d 1 ’,d 2 ’) in modo opportuno si trova:

22 Se: Se si costruiscono le coordinate radar su Minkowki si trova quindi che si devono sceglier le due particelle e l’evento in modo tale che: 1) L’evento non deve appartenere a nessuna delle due particelle 2) Le due particelle non devono essere parallele.

23 TOPOLOGIA DIFFERENZIALE Si possono usare le coordinate radar per dotare M di una Topologia Differenziale. Assioma D 3 : Esiste una collezione di tripletti dove, P così che il sistema di mappe è un atlante derivabile per M. Tutte le altre mappe è legato(e derivabile) al sistema di coordinate di quel atlante. Inoltre: Assioma D 4 : Tutti i raggi di luce sono delle curve derivabili in M. Se è un messaggio da P a Q, allora la direzione iniziale di L passante per p dipende da p lungo P. Si usano perciò le coordinate radar per creare un atlante su M in cui le mappe. creano delle funzioni di transizioni differenziabili. L’atlante ha le proprietà adatte per fare in modo che M sia una varietà differenziale. Sistema di coordinate su M M topologia differenziabile

24 STRUTTURA CONFORME Assioma L 1 : Ogni evento e ha un intorno V fatto in modo che ogni evento p in V può essere connesso all’interno di V a una particella P al massimo da due raggi di luce. Inoltre, dato questo intorno e una particella P attraverso e, c’è un altro intorno così che ogni evento in U, in fatti, può essere connesso con P in V precisamente da due raggi di luce L 1 e L 2, e questi intersecano P in due eventi distinti e 1 ed e 2 se.Se t è una coordinata su con, allora: È una funzione di classe C 2 su U.

25 La funzione definita precedentemente considera una particella P e un evento p che non appartenga alla particella. Dall’evento vengono emessi due raggi di luce L 1 e L 2 che incontrano la particella in due eventi e 1,e 2. Si considera quindi il parametro sulla particella relativo al primo evento t(e 1 ) e al secondo evento t(e 2 ) sulla particella e si fa il prodotto tra i due parametri ottenendo la funzione definita precedentemente: Questa funzione ha le seguenti proprietà: 1)Per definizione. Inoltre se e solo se p giace su un raggio di luce che passa per e. 2) Si costruisce il gradiente di g(p) che ha la proprietà. 3)Si calcola l’Hessiano di g(p) che definisce. 4) Si considera un raggio di luce che passa attraverso e e si calcola allora Lemma 1: Il vettore T tangente a ciascun raggio di luce passante per e soddisfa la relazione. 5) Si considera una parametrizzazione di P ……….. allora ………………….…., ……………………. essendo K il vettore tangente alla particella P su e rispetto al parametro t. Per verificare che l’assioma L2 con le conseguenti proprietà di g(p) sia compatibile con i precedenti calcoliamo la funzione in Minkowki. La funzione definita precedentemente considera una particella P e un evento p che non appartenga alla particella. Dall’evento vengono emessi due raggi di luce L 1 e L 2 che incontrano la particella in due eventi e 1,e 2. Si considera quindi il parametro sulla particella relativo al primo evento t(e 1 ) e al secondo evento t(e 2 ) sulla particella e si fa il prodotto tra i due parametri ottenendo la funzione definita precedentemente: Questa funzione ha le seguenti proprietà: 1)Per definizione. Inoltre se e solo se p giace su un raggio di luce che passa per e. 2) Si costruisce il gradiente di g(p) che ha la proprietà. 3)Si calcola l’Hessiano di g(p) che definisce. 4) Si considera un raggio di luce che passa attraverso e e si calcola allora Lemma 1: Il vettore T tangente a ciascun raggio di luce passante per e soddisfa la relazione. 5) Si considera una parametrizzazione di P ……….. allora ………………….…., ……………………. essendo K il vettore tangente alla particella P su e rispetto al parametro t. Per verificare che l’assioma L2 con le conseguenti proprietà di g(p) sia compatibile con i precedenti calcoliamo la funzione in Minkowki.

26 Riassumendo si costruisce la funzione g : E con il suo Hessiano si definisce: Che ha le proprietà: 1)Se considero i raggi di luce passanti per l’evento e e T i vettori tangenti in e : 2)Se considero una parametrizzazione della particella P e il suo vettore tangente in e :

27 g(p) SU MINKOWSKI Considero una particella P, un evento p e due raggi di luce L 1 e L 2 emessi dall’evento: Per trovare i parametri sulla particella che mi danno gli eventi e 1 ed e 2 devo risolvere il sistema: Il sistema mi dà i due parametri t sulla particella e si trova: Che ha le proprietà indicate precedentemente. Si fa un esempio concreto nel caso quadridimensionale su Minkowski.

28 g(p) SU MINKOWSKI Risolvendo il sistema già scritto nella scorsa diapositiva trovo che g(p) è: Come si può immediatamente notare..….………………. Inoltre se p giace su un raggio di luce che passa attraverso e : Si calcola lo Jacobiano: Per cui……..……………………. Poi si calcola l’Hessaino che è costante:

29 Per definizione: Come si può notare è proprio la metrica di Minkowski a meno di un fattore conforme che dipende dalla norma della velocità della particella. 1) Si considera quindi un raggio di luce passanti per e : Si calcolano i vettori tangenti al raggio di luce precedente: E si trova:

30 2) Si considera poi una parametrizzazione della particella P e si calcola: Poi si considera il vettore tangente alla particella in e rispetto a t : Si può quindi calcolare: L’assioma L 1 è compatibile con gli assiomi precedenti e risultano vere tutte le proprietà della funzione g nella spaziotempo della Relatività Speciale.

31 STRUTTURA CONFORME 1 Si consideri l’equazione seguente che vale per i vettori tangenti ai raggi di luce in e : Come si può notare nel caso di Minkowski si trova la metrica che ci si aspetta a meno di un fattore costante diverso da zero. Si intende quindi introdurre una metrica che sia costante in ogni sistema di coordinate indipendente quindi dalla scelta della particella P e della parametrizzazione t. In modo si crea un oggetto intrinseco della geometria della luce. Si sceglie partendo dall’equazione precedente che la sua segnatura della metrica sia Si considera quindi invece di g ab una densità tensoriale di peso 1/2: m è la dimensione quindi m=4. Che si trasforma da un sistema ad un altro: Vale anche per la nuova g la relazione: Rappresenta l’insieme di tutti i vettori passanti per e che sono tangenti ai raggi di luce. Scegliendo un sistema di coordinate si può trovare in e unicamente da nove vettori T a passanti in e scelti in modo opportuno.

32 STRUTTURA CONFORME 2 L’equazione sopra riportata rappresenta l’insieme di tutti i vettori passanti per e che sono tangenti ai raggi di luce. Si può definire quindi un cono di luce ν e che è una ipersuperficie differenziabile in un intorno di e che rappresenta tutti gli eventi contenuti nei raggi di luce. Si può distinguere quindi tra vettori (curve) rispettivamente interni al cono di luce, sul cono di luce ed esterni: tipo tempo(interni) tipo luce(sopra) tipo spazio(fuori) La propagazione della luce determina una Struttura Conforme C data dall’equazione in alto che definisce il cono di luce per un evento e.I vettori nulli sono proprio i vettori tangenti ai raggi di luce, quindi i raggi di luce sono curve C –nulle e in particolare C -geodetiche nulle.

33 STRUTTURA CONFORME 2 La struttura conforme distinguendo vettori di tipo luce, spazio e tempo dota lo spazio tempo M di una struttura causale. Le particelle passanti per un evento e possono solo trovarsi all’interno del cono di luce generato da tutti i raggi di luce passanti per e quindi sono vettori di tipo tempo, i raggi di luce trovandosi sul cono di luce sono vettori di tipo luce. I vettori di tipo tempo e luce non possono mai trovarsi fuori dal cono di luce cioè non possono mai essere vettori di tipo spazio. Ricapitolando: Vettori nulli Raggi di luce Vettori tangenti ai raggi di luce C –geodetiche nulle E quindi si trovano sul cono di luce. Allora: Curva C -nulla Inoltre si dimostra che: Raggi di luce

34 STRUTTURA PROIETTIVA Assioma P1: Dato un evento e una direzione di tipo tempo D passante per e, esiste una e una sola particella P che passa attraverso e con direzione D. Assioma P2: Per ogni evento ………, esiste un sistema di coordinate ………,definito in un intorno di e e permesso dalla struttura differenziale introdotta nell’assioma D 3, cosìcchè ciascuna particella P che passa attraverso e ha una rappresentazione parametrica.,… con: Questo sistema di coordinate è chiamato proiettivo su e Se si trasforma l’equazione sopra riportata in un arbitrario sistema di coordinate con un arbitrario parametro u allora su e : In cui è: E’ una connessione cioè si trasforma nel modo seguente:

35 EPS richiedono che abbia le due seguenti proprietà: Una connessione però in generale non rispetta la seconda proprietà della traccia nulla. Si deve quindi introdurre una nuova connessione a traccia nulla a partire da quella precedente nel seguente modo: E questa volta: Per un dato evento e e un sistema di coordinate.. intorno ad e, i coefficienti di sono determinati univocamente. I coefficienti proiettivi ( che d’ora in poi sono quelli a traccia nulla) associati a possono essere determinati risolvendo l’equazione lineare: Tutte le curve che soddisfano l’equazione: Sono chiamate geodetiche, e la struttura imposta sulla varietà M è chiamata struttura proiettiva P. Inoltre l’insieme delle traiettorie di caduta libera assegna una unica struttura proiettiva P allo spaziotempo cosìcchéogni particella è una geodetica, e tutte le geodetiche che sono di tipo tempo in qualche evento sono particelle.

36 RIASSUMIAMO 1) E’ stata ricavata la metrica conforme che distingue vettori di tipo tempo, luce e spazio:. definisce tutti i vettori C –nulli passanti per un evento e che sono anche i vettori tangenti ai raggi di luce passanti per e. I raggi di luce inoltre sono C –geodetiche. La struttura imposta sulla spazio tempo si chiama Struttura Conforme C ed è rappresentata dalla metrica conforme. 2) Sono state poi ricavate le geodetiche che tutte sono le curve che soddisfano all’equazione: La struttura così imposta allo spaziotempo è la struttura proiettiva ed è rappresentata dai coefficienti proiettivi. L’insieme delle traiettorie di caduta libera assegna una unica Struttura Proiettiva P allo spaziotempo cosìcché ogni particella è una geodetica, e tutte le geodetiche che sono di tipo-tempo in qualche evento sono particelle. tipo tempo, tipo luce e tipo spazio

37 COMPATIBILITA’ TRA P E C Assioma C (di compatibilità): Ogni evento e ha un intorno U cosìcchè un evento, giace su una particella P passa attraverso e se e solo se p è contenuto nella parte interna del raggio di luce νe di e. Questo assioma implica che tutte le particelle, che sono P -geodetiche, non possono essere di tipo spazio e tutte le P -geodetiche che sono di tipo tempo per qualche evento non possono essere di tipo spazio in nessun evento. Riprendiamo la struttura conforme: Poi si introducono i simboli della metrica conforme: E si introducono le differenze: Inoltre dato che: E:

38 Allora: Poi si introduce la nuova quantità: A questo punto EPS al fine di proporre la relazione: introducono due quantità: Con le seguenti proprietà: Ma la proprietà al centro in realtà non è vera per come EPS hanno scelto L abc e p a. Infatti: Dato che abbiamo incontrato questa contraddizione abbiamo dovuto ricostruirci L abc e p a in modo tale che l’espressione di………….. rimanesse la stessa scritta in alto e che valessero tutte e tre le proprietà della funzione L abc.

39 Consideriamo quindi le due funzioni L abc e p a a coefficienti generici: Affinchè valgano le seguanti proprietà: I coefficienti devo essere legati dalla seguente uguaglianza: Inoltre la generica uguaglianza per : Che soddisfi le condizioni precedenti è: Esiste perciò un’intera classe di relazioni di per le quali siano soddisfatte le proprietà di L. Quindi confrontandola con l’uguaglianza introdotta da EPS si trova che:

40 Quindi si ridefiniscono in modo esatto le funzioni L abc e p a : Per le quali vale: A questo punto si considera una P -geodetica per la quale è un vettore C -nullo. Si trova quindi che per u=0 vale: Si può scrivere che: Che implica: Allora l’espressione precedente di diventa: Per:

41 Considerando una P -geodetica si trova la relazione: Quindi si può affermare che: una P –geodetica che è di tipo tempo, spazio, luce rispettivamente, rispetto alle stesse C curve su uno dei loro eventi, ha la stessa orientazione ovunque. La conseguenza dell’Assioma C è che ogni evento p su v e sufficientemente vicino a e può essere arbitrariamente avvicinato da un evento q situato su una particella che passa per e. Si considerino un insieme P n di geodetiche passanti per e le cui particelle associate viaggiano a velocità sempre più grande. Le geodetiche si avvicineranno via via al cono di luce per n crescente e il vettore T n tangente in e alla particella P n si avvicinerà sempre più al vettore T tangente al raggio di luce L. conformi nulle.

42 Si trova perciò che le geodetiche proiettive nulle sono identiche alle geodetiche Al limite e cioè le geodetiche P n convergono ad una geodetica P che passa per gli eventi e e p. Il vettore T n invece converge al vettore T che non può che essere di tipo luce. Se fosse di tipo tempo infatti la geodetica dovrebbe attraversare il cono di luce e diventerebbe di tipo spazio cosa che è vietata dall’assioma C. Dato che la geodetica P passa per gli eventi e e p, su v e, allora è una geodetica C –nulla.

43 Si considerano quindi le equazioni seguenti che caratterizzano le geodetiche C -nulle: Sottraendo a quest’ultima l’equazione che definisce le geodetiche P -nulle si trova: Usando anche l’equazione trovata precedentemente trovo: Allora l’espressione di diventa: Questa è l’espressione formale della compatibilità tra la struttura C e P. Un’altra conseguenza dell’Assioma C è che l’insieme di tutte le particelle è identico all’insieme di tutte le C –geodetiche di tipo tempo di P.

44 C e P definiscono una struttura di Weyl su M e come è stato già detto l’equazione: Rappresenta la compatibilità tra le due strutture Nella formula sopra scritta non è una connessione. E’ a traccia nulla e simmetrica sugli indice in basso: è invece definita come: Non si trasforma come una connessione infatti: Si può quindi pensare di creare una nuova quantità legata a e che si trasformi come una connessione. In questo modo si trova una relazione tra la connessione e i simboli di Cristoffel di.

45 La relazione che stiamo cercando é: Dove è chiamata connessione lineare simmetrica o connessione di Weyl. In conclusione la struttura coforme e proiettiva sono compatibili quindi lo spaziotempo è dotato della geometria di Weyl in cui le quantità: Definiscono lo spazio di Weyl. Quindi la propagazione della luce e le particelle in caduta libera assegnano una geometria di Weyl allo spaziotempo

46 TEORIE f(R) Questo tipo di costruzione della relatività generale può trovare un’applicazione efficace nelle teorie f(R) in cui viene usato il formalismo alla Palatini. Nel formalismo di Palatini in generale la connessione non sono i simboli di Chrtistoffel della metrica quindi per trovare l’equazione di campo devo considerare coppie: Le teorie f(R) affermano in generale che l’ energia oscura può essere spiegata modificando la metrica moltiplicandola per un fattore conforme che dipende dalla posizione ed è lo scalare di Ricci R: Si è quindi verificato se l’approccio di EPS può essere applicato a una metrica moltiplicata per un generico fattore conforme. Per verificare questo prendiamo: E si verifica se la formula di compatibilità tra C e P : può essere applicata anche a questa metrica h conforme a dove:

47 Si calcola quindi: Poi si calcola: E: Quindi: E si trova infine: Quindi anche per una metrica moltiplicata per un fattore conforme come h vale la stessa relazione di compatibilità tra Struttura Proiettiva e Conforme trovata in precedenza. Ciò vuol dire che si può usare l’approccio di EPS nelle teorie f(R).