1 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Tecniche per la soluzione di problemi 1)Si verifica se le equazioni possono essere disaccoppiate 2)Individuazione di tutti i termini delle equazioni di variazione che sono nulli e che possono essere trascurabili 3)Adimensionalizzazione 4)Programma di CFD (Fluent)

2 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex Bird La temperatura della superficie libera è T 0 e la superficie solida si trova a T . La viscosità del liquido è funzione di T x z vzvz T0T0 TT Dalle BC Dalla geometria Condizioni stazionarie Si assume  e k costanti Moto laminare Fluido incomprimibile

3 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex Bird La equazione dell’energia è stazionario =0 v x =0v y =0 x z vzvz T0T0 TT

4 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex Bird integrando con le B.C. La eq. dell’energia è quindi N.B. la equazione di energia è stata risolta indipendentemente da quella del moto A questo punto è possibile risolvere anche la eq. del moto (vedi Bird)

5 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia ESEMPI: Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Un fluido newtoniano scorre con moto laminare in un tubo di sezione circolare. Per z 0 la parete del tubo è riscaldata da una resistenza elettrica che determina un flusso di calore radiale q r = - q 0 costante lungo z. Si vuole ricavare il profilo di temperatura nel fluido in condizioni stazionarie. Si assume che le proprietà siano costanti con T r z T rqrqr T r T1T1

6 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird r z T rqrqr T r Coordinate cilindriche Ipotesi sulla soluzione T=T(r,z)

7 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Condizioni stazionarie = 0 Eq di continuità Per fluido incomprimibile

8 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Condizioni stazionarie = 0 Eq di qdm per   cost. = 0

9 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Eq. dell’energia in funzione di T per  e  costanti

10 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Le due equazioni non sono collegate e possono essere risolte separatamente (per l’ipotesi di  e  costanti) La soluzione della equazione del moto ci da il profilo di v che entra nella eq. dell’energia

11 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird La equazione del’energia può essere ulteriormente semplificata utilizzando la adimensionalizzazione

12 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex Bird Se Pe >> 1 N.B. si sono ridotte le BC su z

13 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex Bird Il cilindro esterno ruota con velocità angolare  . Il liquido è incomprimibile. Le temperature in corrispondenza del cilindro interno ed esterno sono rispettivamente: T k e T 1 Si assume che le proprietà siano costanti moto laminare stazionario Ipotesi:

14 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex Bird Le equazioni di continuità e del moto danno il profilo di velocità. L’equazione del moto si risolve indipendentemente e ci da il profilo di

15 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex Bird La equazione dell’energia è Introducendo il profilo di v

16 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex Bird Si può adimensionalizzare Ottenendo: integro

17 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex Bird La soluzione è: N=0 cilindro fermo