OTTICA GEOMETRICA II parte: OTTICA, II anno OTTICA GEOMETRICA II parte: Aberrazioni Occhio Strumentazione

Aberrazioni Le lenti forniscono immagini puntiformi relative ad oggetti puntiformi solo quando sono verificate le approssimazioni di Gauss (raggi parassiali e lente sottile); Esistono diversi tipi di aberrazioni: Geometriche: Quando non sono verificate le approssimazioni di Gauss : Aberrazione sferica; Astigmatismo; Coma: Curvatura di campo; Distorsione. Cromatiche: quando la luce NON è monocromatica.

1) Aberrazioni sferica Si consideri una sorgente luminosa S puntiforme posta sull’asse ottico di una lente. Se il fascio intercettato dalla lente ha un’apertura NON piccola (raggi NON parassiali) ⇒ si perde la validità dell’approssimazione di Gauss ⇒ i raggi emergenti NON sono più focalizzati su un unico punto ma in punti diversi a secondo dell’angolo che formano con l’asse ottico.

1) Aberrazione sferica In particolare: I raggi che incidono sulla zona centrale della lente sono focalizzati a maggiore distanza; Quelli che incidono sulla zona periferica si incontrano a minore distanza. Interponendo uno schermo tra FA e FC si ottiene un cerchio luminoso circondato da una corona circolare. Il cerchio minimo si chiama cerchio di minima confusione e ed è la migliore immagine del punto. L’aberrazione sferica può essere corretta diaframmando la lente, ossia utilizzando la sola porzione in prossimità dell’asse ottico.

2) Astigmatismo Si consideri una sorgente luminosa S puntiforme NON posta sull’asse ottico di una lente ⇒ si perde la validità dell’approssimazione di parassialità di Gauss ⇒ i raggi emergenti NON sono più focalizzati sull’asse ottico ma su piani diversi. L’astigmatismo è determinato dalla non perfetta sfericità della lente per cui i raggi di curvatura di due sezioni ortogonali della lente non sono esattamente uguali.

2) Astigmatismo I raggi appartenenti al piano contenente l’asse ottico e la sorgente sono focalizzati al centro del segmento AB, mentre quelli appartenenti al piano ad esso ortogonale sono focalizzati al centro del segmento A’B’; Tra i due segmenti l’immagine è costituita da un dischetto ellittico o circolare; Il cerchietto Cmf si chiama cerchio di minima confusione astigmatica in quanto rappresenta la migliore immagine corrispondente al fascio.

3) Coma La coma si ha quando l'oggetto ripreso è spostato lateralmente rispetto all'asse del sistema di un angolo θ (raggi non parassiali e incidenti di un angolo θ rispetto all’asse ottico) ⇒ I raggi che passano per il centro di una lente con distanza focale 𝑓, sono focalizzati alla distanza 𝑓 𝑡𝑎𝑛𝜃. I raggi che passano in periferia sono focalizzati invece in un punto diverso sull'asse, più lontano nel caso della coma positiva e più vicino nella coma negativa. In generale, un fascio di raggi passanti per la lente ad una certa distanza dal centro, è focalizzato in una forma ad anello sul piano focale. La sovrapposizione di questi diversi anelli origina una forma a V, simile alla coda di una cometa. Come per l'aberrazione sferica, la coma può essere ridotta (e in alcuni casi eliminata) scegliendo opportunamente la curvatura delle lenti in funzione dell'uso.

4) Curvatura di campo L’immagine viene costruita per punti su una superficie curva non piana. Questo tipo di aberrazione si verifica quando a ciascun punto di un oggetto piano corrisponde ancora un punto immagine, ma l’immagine complessiva che ne risulta è curva, invece che piana.

5) Distorsione di campo E’ un’aberrazione causata dalla variazione dell’ingrandimento con la distanza dall’asse. L’oggetto viene riprodotto con modifica della sua forma a causa dell’ingrandimento differente in funzione della distanza dei suoi punti dall’asse ottico. Essa viene evidenziata illuminando un reticolo e proiettandone l’immagine con una lente di grande apertura.

Aberrazione cromatica Fenomeno di dispersione della luce ⇒ 𝑛 varia al variare di l ; Ricordando che: , si deve avere che al variare di 𝑛 varia anche la distanza focale per le diverse componenti della luce; Se si considera un fascio di luce incidente NON monocromatico, ogni componente di colore subirà una diversa rifrazione; Ogni colore converge in un proprio punto immagine dell’asse; L’effetto visibile è una macchiolina colorata con i bordi colorati. 𝑛1 𝑓1 = 𝑛2 𝑓2

Noi ci occuperemo solo dell’occhio da un punto di vista diottrico. L’occhio umano Occhio: organo preposto alla funzione visiva VISTA: funzione base dell’occhio, percezione visiva di oggetti VISIONE: elaborazione, comparazione e integrazione delle caratteristiche degli oggetti percepiti mediante le funzioni cerebrali L’occhio, quale organo della vista, può essere distinto da un punto di vista funzionale in due parti: Parte diottrica, Parte sensoriale. Noi ci occuperemo solo dell’occhio da un punto di vista diottrico.

Struttura dell’occhio umano Bulbo oculare: quasi sferico, 𝑑≅2.3 𝑐𝑚; Sclera: membrana esterna che avvolge l’occhio; Coroide: membrana interna, assorbe la luce dispersa; Cornea: parte anteriore della sclera (Rcurv= 8 mm, 𝑛=1.33), devia gran parte della luce; Umor acqueo: liquido (costituito da acqua, sali, proteine ) contenuto tra cornea e cristallino (𝑛 =1.33); Iride: muscolo ad anello, determina l’apertura delle pupilla; Pupilla: diaframma, la sua apertura (regolata dall’iride) determina la quantità di luce che entra nell’occhio;

Struttura dell’occhio umano Cristallino: sostanza gelatinosa trasparente, lente biconvessa con (a riposo) R1 ≈ 10 mm; R2 ≈ - 8 mm lunghezza focale variabile regolata dai muscoli ciliari (𝑛 ≈ 1.44) raggio di curvatura grande per la messa a fuoco di oggetti lontani la lunghezza focale diminuisce per mettere a fuoco oggetti più vicini Umor vitreo: sostanza gelatinosa tra cristallino e retina (𝑛 ≈ 1.33) Potere diottrico totale: D ≈ 60 diott. ⇒ f = 1/D ≈ 17 mm Retina: Macchia lutea, ricca di bastoncelli (crepuscolo) Fovea: massima acutezza visiva, costituita da coni (colori primari)

Struttura dell’occhio umano Circa 108 cellule sensibili Nervo ottico: circa 106 fibre per la trasmissione delle informazioni al cervello: Muscolo ciliare: modificando il Rcurvatura della parte anteriore del cristallino consente l’accomodamento visivo, cioè di adattare la distanza Focale del cristallino; Legamento sospensorio

L’occhio semplificato L’ occhio semplificato è uno schema ottico dell’occhio, tale che, applicando ad esso le leggi dell’ottica, si trova, un comportamento della luce molto simile a quello che si ottiene nell’occhio reale. La cornea si può considerare, dato il suo piccolo spessore un diottro sferico, di raggio di curvatura 8 mm; Il cristallino, formato da sei strati con indice di rifrazione differente, si può considerare come un’unica lente biconvessa sottile di indice di rifrazione 1.42; Si può assumere che l’umor acqueo (𝑛 = 1.333) e l’umor vitreo (𝑛 = 1.336) abbiano lo stesso indice di rifrazione: 1.336: è come avere lo stesso mezzo ottico tra cornea e cristallino e tra cristallino e retina;

L’occhio semplificato Il centro di curvatura della cornea è spostato dalla parte temporale relativamente al centro delle superfici del cristallino, spostamento che è circa di 0.1 mm e che comporta una variazione di circa 1° nella nostra definizione di asse ottico. Non si fa quindi un grosso errore nel considerare tutti i centri di curvatura su una retta, che si può chiamare asse ottico dell'occhio; Nell’approssimazione parassiale si assume che i raggi di luce siano inclinati rispetto alle perpendicolari alle superfici rifrangenti, con angoli di incidenza i piccoli abbastanza perché il sen(i)  i. Poichè solo un fascio ristretto di raggi riesce a penetrare attraverso la pupilla (diametro variabile tra 2 e 8 mm) si ha una differenza massima di circa l’1% tra i e sen(i) per le varie superfici rifrangenti. Non si fa quindi un grosso errore nell’applicare l’approssimazione parassiale. Potendo considerare l’occhio come un sistema ottico centrato, possiamo definire oltre ai punti focali (del sistema cornea-cristallino), anche i punti nodali: ad un raggio incidente passante per il primo punto nodale (punto nodale oggetto), corrisponde un raggio emergente parallelo e passante per il secondo punto nodale (punto nodale immagine).

L’occhio come sistema ottico L’occhio può essere schematizzato come un diottro con dentro una lente sottile. Il diottro è costituito da aria-umor acqueo (cornea, umor a. e umor v. hanno lo stesso 𝑛, e quindi da un punto di sta ottico costituiscono un unico mezzo); La lente sottile è il cristallino.

L’occhio come sistema ottico 𝑛 1 𝑝 + 𝑛 2 𝑞 = 𝑛 2 − 𝑛 1 𝑅 Equazione dei punti coniugati del diottro: 𝑛 1 𝑝 + 𝑛 1 𝑞 = 𝑛 2 − 𝑛 1 1 𝑅1 − 1 𝑅2 Equazione dei punti coniugati della lente sottile: 𝑛= 𝑛 2 𝑛 1 ; 𝑛 1 = indice di rifrazione del mezzo in cui è immersa la lente; 𝑛 2 = indice di rifrazione della lente) Nel caso dell’occhio, facendo riferimento alla figura, si ha:

Punti coniugati dell’occhio 𝑛 1 𝑝 + 𝑛 2 𝑞′ = 𝑛 2 − 𝑛 1 𝑅12 Punti coniugati dell’occhio 𝑛 2 𝛿−𝑞′ + 𝑛 2 𝑞−𝛿 = 𝑛 3 − 𝑛 2 1 𝑅23 − 1 𝑅32 𝑛 1,2,3 =indice di rifrazione dell’aria (=1), dell’umor acqueo, del cristallino 𝑅12= R della cornea 𝑅23= R della faccia anteriore del cristallino 𝑅32= R della faccia posteriore del cristallino 𝛿= distanza fra la cornea ed il centro del cristallino (≈5mm)

VISIONE REMOTA Per 𝑝=∞ e 𝑅23=10 𝑚𝑚 (posizione a riposo dei muscoli ciliati) determino la distanza 𝑞 a cui si forma l’immagine: 𝑛 2 𝑞′ = 𝑛 2 − 𝑛 1 𝑅12 → 1 𝑞′ = 1 𝑛 2 𝑛 2 − 𝑛 1 𝑅12 = 1 1.33 0.33 8 =0.031 𝑚𝑚 Eq. del diottro: da cui: 𝒒′=𝟑𝟐.𝟐 𝒎𝒎 Sostituisco nell’eq. della lente convergente e ricavo 𝑞: 𝑛 1 =1 𝑛 2 =1.33 𝑛 3 =1.42 𝑅12=8𝑚𝑚 𝑅23=10𝑚𝑚 𝑅32=−6𝑚𝑚 𝛿≈5mm 𝑛 2 𝛿−𝑞′ + 𝑛 2 𝑞−𝛿 = 𝑛 3 − 𝑛 2 1 𝑅23 − 1 𝑅32 da cui: 𝒒=𝟐𝟑 𝒎𝒎~𝑫

VISIONE PROSSIMA Per 𝑝=250 𝑚𝑚 (visione distinta) e 𝑞=22 𝑚𝑚 (immagine sulla retina) determino 𝑅23: 𝒒 ′ = 𝑛 2 𝑝 𝑅12 𝑝 𝑛 2 − 𝑛 1 − 𝑅12 𝑛 1 =𝟑𝟓.𝟒 𝒎𝒎 Eq. del diottro: Sostituisco nell’eq. della lente convergente e ricavo 𝑅23: 𝑛 2 𝛿−𝑞′ + 𝑛 2 𝑞−𝛿 = 𝑛 3 − 𝑛 2 1 𝑅23 − 1 𝑅32 𝑛 1 =1 𝑛 2 =1.33 𝑛 3 =1.42 𝑅12=8𝑚𝑚 𝑅23=? 𝑅32=−6𝑚𝑚 𝛿≈5mm 𝑹𝟐𝟑=𝟔.𝟖 𝒎𝒎 da cui: Si ottiene 𝑅23 che è variabile tramite l’azione dei muscoli ciliati.

La minima distanza a cui l’occhio può mettere a fuoco è chiamata punto prossimo, e, con sforzo, questa può arrivare a 50 mm, corrispondenti ad un valore: 𝑅23≅3 𝑚𝑚 L’invecchiamento produce una diminuzione di elasticità del cristallino che per cui il potere di accomodamento diminuisce ed il punto prossimo si allontana sempre di più. E’ interessante osservare che la cornea ha un potere di rifrazione predominante rispetto al cristallino. Una riprova di ciò è lo sfocamento con cui gli oggetti appaiono quando si aprono gli occhi sotto acqua. In questo caso la cornea si trova a separare due mezzi: l’acqua e l’umor acqueo, di indice di rifrazione quasi uguale: di fatto, viene a mancare l’azione della cornea e l’unico sistema rifrangente è costituito dal cristallino.

Ricorda che: Esercizio sul potere diottrico della cornea. Calcolare il potere diottrico della cornea (𝑅=8 𝑚𝑚, 𝑛=1.33) e del cristallino (𝑅1=10 𝑚𝑚,𝑅2=6 𝑚𝑚, 𝑛′=1.44). Si assuma 1 l’indice di rifrazione dell’aria. Ricorda che:

Ipermetropia La ipermetropia è generalmente dovuta ad un «accorciamento dell’occhio lungo l’asse rispetto alla forma sferica normale, o , in altri termini, ad un minore potere convergente del cristallino un punto all’infinito ha per immagine un punto dietro la cornea si corregge anteponendo all’occhio una lente convergente che sposti in indietro (verso la retina) il punto di convergenza

Ipermetropia Come calcolare la focale della lente correttiva: In pratica la lente convergente serve a portare l’oggetto da una distanza p che l’occhio non riesce a mettere a fuoco ad una distanza più lontana pari al punto prossimo dell’occhio. Per fare questo la lente deve avere una focale tale che sia soddisfatta la seguente condizione: 1 𝑝𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒 + 1 𝑞𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒 = 1 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒

Difetto da punto prossimo Il punto prossimo di un occhio è posto a 1.25 𝑚 davanti ad esso. Quale è il suo difetto di vista e quale lente occorre per correggerlo? L’occhio è ipermetrope perché non riesce a vedere ad una distanza minore di 125 cm Occorre pertanto usare una lente convergente. Per trovare la lunghezza focale necessaria alla lente di correzione, si pone nella formula dei punti coniugati: Si ha pertanto: Da cui: 1 𝑝𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒 + 1 𝑞𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒 = 1 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒 1 15 − 1 125 = 1 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒= 15∙125 125−15 =17.0𝑐𝑚

Difetti della vista Ipermetropia Presbiopia (diminuzione del Potere di Accomodamento) Miopia

Miopia La miopia è generalmente dovuta ad un «allungamento» dell’occhio lungo l’asse rispetto alla forma sferica normale, o , in altri termini, ad un maggiore potere convergente del cristallino un punto all’infinito ha per immagine un punto davanti la cornea si corregge anteponendo all’occhio una lente convergente che sposti in avanti (verso la retina) il punto di convergenza.

𝒇𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒕𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒎𝒊𝒐𝒑𝒆 = 𝒒 𝒓𝒆𝒎𝒐𝒕𝒐 Miopia Come calcolare la focale della lente correttiva: In pratica la lente convergente serve a portare l’oggetto da una distanza p che l’occhio non riesce a mettere a fuoco ad una distanza q pari al punto remoto. Per fare questo la lente deve avere una focale tale che sia soddisfatta la seguente condizione: 1 ∞ + 1 𝑞 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 = 1 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒕𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒎𝒊𝒐𝒑𝒆 = 𝒒 𝒓𝒆𝒎𝒐𝒕𝒐

𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒 = 𝑞 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 =3.0 𝑚 Difetto da punto remoto Il punto remoto di un occhio è posto a 3.0 𝑚 davanti ad esso. Quale è il suo difetto di vista e quale lente occorre per correggerlo? L’occhio è miope perché riesce a vedere bene solo oggetti ad una distanza minore di 3.0 𝑚 Occorre pertanto usare una lente divergente Per trovare la lunghezza focale necessaria alla lente di correzione, si pone nella formula dei punti coniugati: Si ha pertanto: 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒 = 𝑞 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 =3.0 𝑚 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒 = 1 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 =0.33 𝑚 −1

Difetti della vista Astigmatismo L’A è dovuto al fatto che la cornea non è perfettamente sferica e per questo non riesce a formare sullo stesso piano immagini nitide di due linee perpendicolari tra loro. Il difetto viene corretto mediante lenti cilindriche che focalizzano l’immagine sulla sola linea sfocata. Cylindrical lens

Astigmatismo Nell’occhio non corretto i raggi di luce si focalizzano dietro la retina in un piano, e sulla retina nell’altro; Il difetto viene corretto da una lente cilindrica disposta in modo che la curvatura si trovi solo nel piano che mostri il difetto; Il punto rappresenta il centro del cristallino; Una lente cilindrica piano-convessa aumenta la convergenza del fascio e serve a correggere diminuzioni del raggio di curvatura della cornea; Una lente cilindrica piano-concava diminuisce la convergenza del fascio e serve a correggere aumenti del raggio di curvatura della cornea. a) piano orizzontale b) piano verticale

Acuità visiva θ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 8∙10 −4 𝑟𝑎𝑑 L’acuità visiva, individuata dall’angolo θ 𝑚 , corrisponde alla distanza 𝑑 𝑚 alla quale i due oggetti puntiformi sono separabili. I principali fattori che limitano il potere separatore dell’occhio sono due: La minima distanza tra i fotorecettori situati sulla retina; La diffrazione. Si dimostra che, considerando una luce incidente con 𝜆= 5∙10 −5 𝑐𝑚, il fattore limitante l’a.v. per l’occhio umano è il primo. L’a.v. dipende, inoltre, dall’età e dall’intensità della luce. Si determina, in base a considerazioni geometriche, che il valore limite è: θ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 8∙10 −4 𝑟𝑎𝑑

Valutare la distanza a cui sono distinguibili i fari di un’automobile distanti fra loro 1.2 𝑚. Si assuma l’acuità visiva pari a θ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 8∙10 −4 𝑟𝑎𝑑. I fari dell’automobile vengono osservati sotto l’angolo θ. Dalla figura si desume: 𝑙= 𝑑 𝑡𝑔θ𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 1.2 𝑚 8∙10 −4 =1500𝑚 A secondo della distanza, e quindi dell’angolo θ, le frange di diffrazione: (a) permettono, (b) non permettono di osservare i fari distinti.