Il concetto di flusso di un vettore attraverso una superficie v Dato un campo di flusso (per esempio un campo di velocità, un campo elettrico etc..), una superficie immersa nel campo può essere rappresentata con un vettore perpendicolare ad essa nel suo centro ed uscente (che significa uscente?) α S v S Si definisce flusso del vettore v attraverso la superficie S il prodotto scalare del vettore v per il vettore S Φ(v)=v*S=vScosα Il flusso dipende da v, S e da α Se v ed S hanno la stessa direzione il prodotto scalare diventa un prodotto normale. Se α è 90° il flusso attraverso la superficie S è nullo.

Flusso attraverso una superficie chiusa Nel caso di un campo uniforme, il numero delle linee di campo entranti è lo stesso di quelle uscenti. Il flusso totale è nullo Nel caso in cui c’è una sorgente che crea linee di campo, il numero delle linee di campo uscenti è maggiore di quelle entranti. Il flusso totale è diverso da zero.

TEOREMA DI GAUSS Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche racchiuse diviso la costante dielettrica. Fai clic per iniziare e continuare Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. Basta individuare il tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso cui calcolare il flusso del campo.

Distribuzione di carica SimmetriaProprietà dello spazio Superficie gaussianaCampo elettrico risultante Carica puntiforme QSfericaIsotropiaSuperficie sferica con centro in Q E=KQ/r 2 Densità di carica superficiale σ su un piano PianaOmogeneitàSuperficie cilindrica con asse perpendicolare al piano E=σ/ ε 0 Densità di carica lineare λ su una retta CilindricaIsotropiaSuperficie cilindrica con asse il filo di cariche E=λ/2π ε 0 r Sfera di cariche con densità di carica volumica ρ SfericaIsotropiaSuperficie sferica concentrica con la sfera di cariche E=[Q/4π ε 0 R 3 ]r r<R E=Q/4πε 0 r 2 r>R Superficie sferica di cariche SfericaIsotropiaSuperficie sferica concentrica con la sfera di cariche E=0 r<R E=Q/4πε 0 r 2 r>R Condensatore piano carico PianaOmogeneitàUn cilindro con una base parallela esterna all’armatura e una base interna. E=σ/ ε 0

Carica puntiforme E E E E Q S1 S2 La simmetria dello spazio è sferica. Scegliamo come superficie gaussiana una sfera di centro la carica Q Dividiamo la superficie della sfera in porzioni rappresentati dai vettori S1,S2…..Per simmetria il campo elettrico E è costante sull’intera superficie. Si ha:

Piano di cariche La simmetria dello spazio è piana. Scegliamo come superficie gaussiana una superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano Il vettore E è perpendicolare al piano di cariche di densità superficiale sigma e quindi il flusso di E attraverso ogni piano di base del cilindro è E*S S E S E E S mentre è nullo attraverso la superficie laterale

Linea retta di cariche La simmetria è cilindrica La superficie gaussiana è un cilindro con asse la linea di carica. Il campo E ha direzione perpendicolare alla linea di cariche Il flusso attraverso le basi è nullo. Il flusso totale è quello attraverso la superficie laterale. E S E S

Condensatore piano carico Un condensatore è costituito da due armature metalliche piane e parallele. La simmetria è piana Prendiamo come superficie gaussiana un cilindro con una base parallela esterna all’armatura e una base interna. Il flusso del campo è nullo attraverso la base nell’armatura e attraverso la superficie laterale. Il flusso totale è dato da quello del campo elettrico attraverso la base posta tra le armature. S E