Ciclo di Carnot

Termodinamica La termodinamica studia le trasformazioni e passaggi di energia da un sistema ad un altro e da una forma all’altra, ovvero la termodinamica si occupa di descrivere i fenomeni di riscaldamento (fenomeni termici) e la loro relazione con i fenomeni meccanici. Più in generale studia i fenomeni termici in relazione ad altre forme di energia, cioè lo studio dei meccanismi (lavoro di forze d’attrito, reazioni chimiche, passaggio di corrente elettrica, …) attraverso i quali lo stato di un sistema macroscopico può essere fatto variare.

Termodinamica Gli scambi energetici tra un sistema (un gas che si trova all’interno di un cilindro) e l’ambiente circostante possono avvenire, in senso generale, mediante lo scambio di calore, Q, e di lavoro meccanico, L. Il primo principio della termodinamica è il principio di conservazione dell’energia e non pone limiti al verso di scambio energetico tra il sistema e l’ambiente circostante.

Termodinamica In linea di principio, cioè avendo a disposizione solo le indicazioni del primo principio, si possono avere le seguenti due situazioni: 1)Tutto il lavoro, L, meccanico può essere trasformato tutto in calore, Q. L  Q 2) Tutto il calore, Q, può essere trasformato tutto in lavoro meccanico: Q  L

Termodinamica In natura, però, si osservano cose diverse. Mentre è possibile tutto il lavoro in calore, ad esempio nei fenomeni in cui è coinvolto l’attrito, non è possibile trasformare tutto il calore in lavoro. Quindi in natura non vi simmetria nei processi di scambi di energia tra un sistema e l’ambiente circostante. Tale simmetria è stato formalizzato nel secondo principio della termodinamica.

Secondo principio della Termodinamica Esistono due, classiche, formulazioni del secondo principio della termodinamica. Enunciato di Kelvin – Planck: Non è possibile costruire una macchina termica che esegue un ciclo termico il cui unico risultato è quello di assorbire calore da una sola sorgente e di trasformarlo tutto in lavoro meccanico. Macchina non possibile!

Secondo principio della Termodinamica Enunciato di Clausius: Non è possibile costruire una macchina termica che esegue un ciclo termico il cui unico risultato è quello di trasferire calore da una sorgente fredda ad una calda senza fornire alla macchina energia sotto forma di lavoro meccanico. Cioè il calore non fluisce spontaneamente da una sorgente fredda ad una sorgente calda. Macchina termica non possibile!

Macchina termica La macchina termica è un dispositivo che assorbe calore, Q a, e, mediante una serie di trasformazioni termodinamiche cicliche, trasforma una parte del calore assorbito in lavoro meccanico, L, mentre la parte di calore rimanente viene ceduta all’ambiente circostante.

Macchina termica Uno schema di macchina termica è il seguente. M = Macchina termica T a = Temperatura della sorgente calda. Q a = Calore fornita dalla sorgente calda e assorbita dalla macchina. T c = Temperatura della sorgente fredda. Q c = Calore fornita dala sorgente fredda e ceduta dalla macchina. L = Lavoro fatto dalla macchina.

Macchina termica Il rendimento, , di una macchina termica è: Poiché il calore assorbito è positivo, mentre il calore ceduto è negativo, allora il rendimento è:

Macchina termica Poiché una macchina termica non può funzionare con una sola sorgente di calore, senza violare il secondo principio nell’enunciato di Kelvin-Planck, allora essa come minimo deve utilizzare due sorgenti di calore. Un indice di bontà di una macchina termica è il rendimento termico, il cui valore è sempre più piccolo dell’unità. Allora si pone il problema di costruire una macchina che abbia il massimo rendimento possibile. La risoluzione fu data, negli anni venti dell’ottocento, dallo scienziato francese Sadi Carnot.

Ciclo di Carnot Sadi Carnot ipotizzò la costruzione di una macchina termica funzionante con due sole sorgenti di calore. Il conseguente ciclo termico è costruito mediante quattro trasformazioni termodinamiche: due isoterme e due adiabatiche. Nell’analisi del ciclo di Carnot le trasformazioni termodinamiche sono trasformazioni reversibili.

Ciclo di Carnot - Analisi Si prende in considerazione un cilindro contenete un gas perfetto, però in senso generale si potrebbe usare un qualsiasi fluido. Condizioni iniziali All’inizio del ciclo il gas si trova nello stato A descritto dalle grandezze macroscopiche pressione, volume e temperatura: P A = pressione V A = volume T A = T a = temperatura della sorgente calda. Nella figura è rappresentato il cilindro con il suo contenuto di gas nelle condizioni di inizio ciclo.

Ciclo di Carnot - Analisi Prima trasformazione: La prima trasformazione è una espansione isoterma, cioè la temperatura del gas si mantiene costante. Per eseguire tale trasformazione si pone a contatto con una sorgente di calore, S 1, il cilindro contenente il gas. Il gas subisce una espansione isoterma (il pistone si alza) raggiungendo lo stato B. Al termine della trasformazione le condizioni del gas sono: P B = pressione V B = volume T B = T A = T a = temperatura della sorgente calda.

Ciclo di Carnot - Analisi Prima trasformazione: Espansione isoterma. Nel piano di Clapeyron, la isoterma ha la seguente forma.

Ciclo di Carnot - Analisi Prima trasformazione: Espansione isoterma. In questa trasformazione il gas assorbe una quantità di calore Q a = Q AB. Poiché la temperatura si deve mantenere costante, tutta l’energia assorbita viene ceduta all’esterno del sistema sotto forma di lavoro meccanico, L AB (entrambe le quantità sono positive).Nella figura il lavoro si trova calcolando l’area, in colore, che si trova sotto la curva isoterma. A causa dello stretto collegamento tra energia interna, U, e la temperatura del gas, si ha che l’energia interna non varia, ed il primo principio della termodinamica assume la seguente forma:

Ciclo di Carnot - Analisi Prima trasformazione: Espansione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas sull’ambiente circostante è positivo e vale: Dove: n = numero di moli; R = costante dei gas perfetti.

Ciclo di Carnot - Analisi Seconda trasformazione: La seconda trasformazione è una espansione adiabatica, cioè il gas non scambia calore con l’ambiente circostante. Per fare questo si isola il cilindro allontanandolo da qualsiasi sorgente di calore. P C = pressione V C = volume T C = T b = temperatura della sorgente fredda Il calore scambiato, Q BC, è nullo. Nella trasformazione il gas si espande, il lavoro, L BC, viene fatto dal sistema sull’ambiente circostante ed il suo valore è positivo, ne consegue che la temperatura del gas subisce una diminuzione, portandosi al valore di T b = T C. Il gas si porta nello stato C assumendo i seguenti valori:

Ciclo di Carnot - Analisi Seconda trasformazione: Espansione adiabatica. Nel piano di Clapeyron, la adiabatica ha la seguente forma.

Ciclo di Carnot - Analisi Seconda trasformazione: Espansione adiabatica. Applicando il primo principio della termodinamica alla trasformazione adiabatica si ha: Poiché in una adiabatica il calore, Q BC, scambiato è nullo: allora

Ciclo di Carnot - Analisi Seconda trasformazione: Espansione adiabatica. Il lavoro fatto dal gas sull’ambiente circostante è positivo (poiché è una espansione) e vale: La variazione di energia interna subita dal gas è:

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: La terza trasformazione è una compressione isoterma. Il cilindro, contenente il gas, viene posto a contatto con una sorgente di calore, S 2, che si trova ad una temperatura più bassa della sorgente precedente. Il pistone viene abbassato, la trasformazione è, pertanto, una compressione isoterma.

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: L’ambiente circostante fa un lavoro sul sistema, l’energia interna non cambia ed il gas cede calore, Q CD, alla sorgente S 2. Infatti il gas riceve dall’esterno dell’energia mediante il lavoro meccanico e tende ad aumentare la sua energia interna; poiché l’energia interna non deve variare (trasformazione isoterma), allora il gas cede all’esterno l’energia ricevuta sotto forma di calore.

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: Compressione isoterma. Nel piano di Clapeyron, la isoterma ha la seguente forma.

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: Nella trasformazione il gas passa dallo stato C allo stato A. I parametri, che descrivono lo stato termodinamico del gas, sono i seguenti: P D = pressione V D = volume T D = T C = T b = temperatura della sorgente fredda

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: Anali della trasformazione. Per il primo principio della termodinamica si hanno le seguenti situazioni: Pertanto si ha Poiché la trasformazione è isoterma, allora

Ciclo di Carnot - Analisi Terza trasformazione: Anali della trasformazione. Il calore ceduto ed il lavoro fatto dall’ambiente circostante sul sistema sono entrambi negativi. Il lavoro vale:

Ciclo di Carnot - Analisi Quarta trasformazione: La quarta trasformazione è una compressione adiabatica, quindi il cilindro, contenente il gas, viene isolato dall’ambiente circostante ed il pistone viene compresso. P A = pressione V A = volume T A = T a = temperatura della sorgente calda Il calore scambiato, Q DA, è nullo. Nella trasformazione il gas si comprime, il lavoro, L DA, viene fatto sul sistema dall’ambiente circostante ed il suo valore è negativo; ne consegue che la temperatura del gas subisce un aumento, portandosi al valore di T a = T A. Il gas si porta nello stato A assumendo i seguenti valori:

Ciclo di Carnot - Analisi Quarta trasformazione : Compressione adiabatica. Nel piano di Clapeyron, la adiabatica ha la seguente forma.

Ciclo di Carnot - Analisi Quarta trasformazione: Compressione adiabatica. Applicando il primo principio della termodinamica alla trasformazione adiabatica si ha: Poiché per una adiabatica: si ha: Il lavoro fatto sul sistema è negativo e vale: Quindi la variazione di energia interna è:

Ciclo di Carnot - Grafico Il grafico completo del ciclo di Carnot è il seguente: La misura dell’area racchiusa dalle quattro trasformazioni è il lavoro fatto dal gas nell’intero ciclo.

Ciclo di Carnot – Analisi dei dati Adesso sarà analizzato il ciclo dal punto di vista energetico. Il gas, all’inizio, si trova nello stato A, subisce quattro trasformazioni termodinamiche e ritorna nello stato A. Come conseguenza si ha che l’energia interna, U, non cambia, poiché essa è una funzione di stato. Una funzione di stato è una grandezza la cui variazione non dipende da come avviene tale variazione, ma solamente dallo stato iniziale e finale. Poiché gli stati iniziale e finale coincidono (stato A), la variazione è nulla.

Ciclo di Carnot – Analisi dei dati Il verso di esecuzione del ciclo termico è orario, pertanto il lavoro totale che il sistema fa sull’ambiente circostante è positivo. Il lavoro totale che viene compiuto nel ciclo è: Sostituendo i valori trovati in precedenza si ottiene:

Ciclo di Carnot – Analisi dei dati Sostituendo i valori trovati in precedenza si ottiene: Al secondo membro della uguaglianza, il secondo ed il quarto termine sono uguali e opposti, pertanto la loro somma è nulla. Quindi il lavoro totale è:

Ciclo di Carnot – Analisi dei dati In sintesi, tenendo presente che le due quantità di calore scambiate sono di segno opposto, il lavoro totale fatto nel ciclo è: Elaborando le espressioni presenti nell’analisi delle quattro trasformazioni, si ottiene per il lavoro totale una espressione in cui compaiono le temperature delle due sorgenti di calore utilizzate nel ciclo.

Ciclo di Carnot – Rendimento Il rendimento del ciclo termico è il rapporto fra il lavoro, L Tot, che un sistema fa sull’ambiente circostante ed il calore totale assorbito, Q a, dal sistema. Applicando la definizione al ciclo di Carnot, si ha: Il rendimento è sempre minore di uno. Il rendimento del ciclo di Carnot aumenta all’aumentare della differenza fra le temperature T a e T b.

Teorema di Carnot Dagli scritti di Sadi Carnot (S.Carnot: La potenza motrice del fuoco), E. Clapeyron ha dimostrato che il rendimento, , del ciclo di Carnot era il massimo ottenibile da una macchina termica (teorema di Carnot). Cioé, il rendimento termico di un arbitrario ciclo reversibile, funzionante con i medesimi termostati (i due termostati sono la sorgente a temperatura più alta, T a, e la sorgente a temperatura più bassa, T b ), non può essere superiore al rendimento del ciclo di Carnot reversibile.

Teorema di Carnot Un’importante conseguenza del teorema di Carnot è che tutte le macchine di Carnot che lavorano fra gli stessi due termostati hanno lo stesso rendimento. Questo risultato indica che il rendimento della macchina di Carnot è un parametro universale, indipendente cioè dalla natura specifica del sistema che costituisce la macchina (cioè è indipendente dalla natura del fluido di lavoro). Il rendimento dipende, cioè, solo dalle temperature dei due termostati.

Teorema di Carnot Indicando con  R il rendimento di una macchina di Carnot che funzioni mediante trasformazioni reversibili e con  I il rendimento della stessa macchina che funzioni mediante trasformazioni irreversibili e con gli stessi termostati, si verifica sempre che il rendimento della macchina con trasformazioni irreversibili è sempre più piccolo di quello della macchina con trasformazioni reversibili.  I <  R

Teorema di Carnot Dal libro di Sadi Carnot (La potenza motrice del fuoco), E. Clapeyron ha mostrato che per il ciclo termico di Carnot vale il seguente importante teorema: Tra tutte le macchine termiche operanti tra le stesse temperature estreme (T a e T b ), la macchina di Carnot è quella dotata del massimo rendimento. Inoltre il rendimento del ciclo di Carnot non dipende dalla natura dell’agente termico presente nella macchina, ma è unicamente funzione dei due valori della temperatura.

Teorema di Carnot Quindi il rendimento del ciclo di Carnot è il massimo che si può ottenere da una macchina termica. Inoltre tutte le macchine di Carnot che lavorano fra gli stessi due termostati hanno lo stesso rendimento. In sintesi, se il rendimento di una qualsiasi macchina termica reversibile è  Rev, questo valore non può mai essere superiore al rendimento,  Rev (Carnot), di un ciclo reversibile di Carnot realizzato fra le stesse temperature T a e T b  Rev   rev (Carnot) Pertanto si ha:

Teorema di Carnot Il rendimento,  Irrev (Carnot), di un ciclo irreversibile di Carnot è sempre più piccolo di quello,  Rev (Carnot), di un ciclo di reversibile di Carnot realizzati fra le stesse temperature estreme T a e T b [  Irrev (Carnot) <  Rev (Carnot)]. Il rendimento di un ciclo irreversibile di Carnot:

Disuguaglianza di Clausius Per un generico ciclo termodinamico vale una importante disuguaglianza di Clausius. Tenendo presente il rendimento sia del ciclo reversibile che del ciclo irreversibile di Carnot si ricava: Il segno di uguale (=) vale per il ciclo reversibile di Carnot; il segno di disuguaglianza (<) vale per il ciclo irreversibile di Carnot.

Disuguaglianza di Clausius Prendendo i valori algebrici e non quelli assoluti del calore, si ha: Il segno di uguale (=) vale per il ciclo reversibile di Carnot; il segno di disuguaglianza (<) vale per il ciclo irreversibile di Carnot.

Disuguaglianza di Clausius La precedente relazione la si può generalizzare al caso in cui si ha un un ciclo termico che utilizza diverse sorgenti di calore (Q 1, Q 2, Q 3, Q 4,..... Q n ) che si trovano a diverse temperature (T 1, T 2, T 3, T 4, T n ). La relazione in forma sintetica si scrive: Questa importante relazione è detta disuguaglianza di Clausius e serve per giudicare la fattibilità di un ciclo termico che viene proposto.

Disuguaglianza di Clausius Nelle più generali trasformazioni termodinamiche, la temperatura cambia con continuità ed il sistema scambia quantità elementari di calore,  Q, con l’ambiente circostante. Pertanto in un ciclo termico qualsiasi la relazione di Clausius diventa:

Disuguaglianza di Clausius Le quantità Q i,ovvero  Q i, sono positive se il calore è assorbito dal sistema, mentre sono negative se vengono cedute dal sistema all’ambiente circostante. Quando si progetta un ciclo termico è necessario che contemporaneamente soddisfi alle due seguenti condizioni: 1)il rendimento non deve essere superiore al ciclo di Carnot, che ha due sorgenti di calore le cui temperature siano la massima e la minima del ciclo che si sta progettando; 2)deve essere soddisfatta la relazione di Clausius.

Fine