In alcuni casi gli esiti di un esperimento possono essere considerati numeri naturali in modo naturale. Esempio: lancio di un dado In atri casi si definisce un’opportuna codifica. Esempio: lancio di una moneta S={C,T}  (C)=0  (T)=1 S={1,2,3,4,5,6} X(k)=k, k=1,2,…,6 Una variabile aleatoria (o casuale ) è un’etichetta di tipo numerico che si assegna al risultato di un esperimento. Sia E un esperimento ideale e S lo spazio campionario dei possibili esiti . Una variabile aleatoria è una funzione:  : S  ,    (  ) Definizione: Variabili aleatorie

2 Consideriamo due tipi di variabili aleatorie (v.a.) V.a. discrete v.a. che assumono un numero finito o numerabile di valori v. a. continue v.a. che assumono un insieme di valori “ha la potenza del continuo” che “ha la potenza del continuo” Ad esempio i valori assunti da tali variabili possono essere tutti i numeri reali , solo un intervallo [a,b]  o una semiretta [a,+oo[ Variabili aleatorie

3 Esempi v.a. discrete v.a. che assumono un numero finito o numerabile di valori V.a. di Bernoulli ( ) Variabile dicotomica con due possibili realizzazioni 0 e 1 e con rispettive probabilità p e 1-p. Esperimento V.a. discreta Il numero di telefonate in un call center in un prefissato intervallo di tempo T sapendo che in media arriva una telefonata ogni 20 secondi Variabile con k possibili realizzazioni equiprobabili con rispettive probabilità p= 1/k V.a. uniforme discreta Lancio di un dado equo Variabile che assume tutti i valori naturali. Legge degli eventi rari. V.a. di Poisson Lancio della moneta due possibili realizzazioni TESTA o CROCE

4 Esempi v. a. continue v.a. che assumono un insieme di valori che “ha la potenza del continuo Far ruotare una bottiglia e misurare l’angolo che forma rispetto ad una prefissata direzione (tutti i valori tra 0 e 360 gradi escluso sono equiprobabili ) EsperimentoV.a. continua Si esegue una delle seguenti misure - la lunghezza di una trave, - la densità dell’azoto, - il peso di un individuo Variabile con un continuo di possibili realizzazioni tutte equiprobabili V.a. uniforme continua Variabile che ammette come realizzazioni tutti i valori reali. Fissato un valore centrale μ, la probabilità di una valore dipende solo dalla distanza da μ. Valori più vicini sono molto più probabili V.a. normale o gaussiana

5 Esempi v. a. continue v.a. che assumono un insieme di valori che “ha la potenza del continuo” Supponiamo che in un certo negozio (aperto 6 ore) entrino in medie 18 persone al giorno. Ovvero in media 3 persone ogni ora. Quanto tempo passa tra l’entrata di un cliente e il successivo? EsperimentoV.a. continua Variabile che ammette come realizzazioni solo valori reali positivi. Valori troppo grandi meno probabili V.a. esponenziale o esponenziale negativa Il numero di telefonate medio in un call center è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto tempo avverrà la prossima? V.a. esponenziale o esponenziale negativa

6 Come si associano le probabilità alle variabili casuali?  :  S  x=  (  )  I  Funzioni di distribuzione Ad ogni v.a. si assegnano le probabilità mediante una funzione che è detta funzione di ripartizione o funzione di distribuzione Sia E un esperimento ideale, S lo spazio campionario dei possibili esiti  e P una funzione di probabilità definita su S. La funzione di distribuzione F  di una v.a. X associa a ciascun valore x la probabilità che la v.a. assuma valori non superiori a x F  :   [0, 1] F  (x)=P(X(  )≤x) Definizione:

7 Proprietà: Funzioni di distribuzione F X è una funzione di ripartizione se

8 Proprietà: Funzioni di distribuzione Si dimostra che Posto Probabilità intervalli Probabilità semirette

9 Per variabili aleatorie discrete la funzione di distribuzione F x è data da: dove p è detta funzione di probabilità ed è definita in modo che Funzioni di distribuzione per v.a. discrete funzione di probabilità

10 Funzione di distribuzione F  :   [0, 1] x <0  F  (x)=0 0 ≤ x <1  F  (x)=q 1 ≤ x  F  (x)=1 Esperimento lancio di una moneta truccata S={T,C} Variabile aleatoria  : {T,C}  {0,1} C  0 T  1 Variabile aleatoria  : {T,C}  {0,1} C  0 T  1 FF 1 q La funzione di distribuzione è una a (due) gradini P(T)=p(1)=p P(C)=p(0)=q=1-p variabile aleatoria di BERNOULLI Esempio F  (-2)=Prob(X≤-2 )=0 F  (0.36)=Prob(X≤0.36 )=q 01

11 Funzione di distribuzione F  :   [0, 1] x <1  F  (x)=0 1 ≤ x <2  F  (x)=1/6 2 ≤ x <2  F  (x)=2/6 3 ≤ x <2  F  (x)=3/6 4 ≤ x <2  F  (x)=4/6 5 ≤ x <2  F  (x)=5/6 6 ≤ x  F  (x)=1 Esperimento lancio di un dado La funzione di distribuzione è una funzione a sei (k) gradini Esempio F  (3.1)=Prob(X≤3.1 )=3/6 V.a. UNIFORME DISCRETA S={1,2,3,4,5,6} P( )=1/6=1/k Variabile aleatoria  : { }  {1,2,3,4,5,6} Variabile aleatoria  : { }  {1,2,3,4,5,6} FF 4/6 3/6 1 5/6 2/6 1/

12 Supponiamo di voler calcolare la probabilità che una persona di Napoli abbia bisogna del meccanico in un fissato anno esattamente k=0,1,…,n volte Dati rilevati a Napoli nel 2003 Esempio (inventato) interventi dal meccanico Quante personeTot interventi totale V.a. poissoniana o distribuzione di Poisson

Graficamente … Il grafico delle frequenza assolute somiglia al grafico della successione di punti Poissoniana p(n)= e -a (a n /n!)

14 a è detto parametro della legge di Poisson e rappresenta la frequenza media di accadimento dell'evento osservato p(x)=(a x /x!)e -a V.a. poissoniana o distribuzione di Poisson funzione di probabilità Variabile aleatoria  : { persona di Napoli }  N numero naturale Variabile aleatoria  : { persona di Napoli }  N numero naturale Supponiamo di voler calcolare la probabilità che una persona di Napoli vada dal meccanico da 2 a 4 volte, sapendo che a la frequenza media è data da a=1800/1000 Esempio p(2≤X≤4)= p(2) + p(3) + p(4)= = 50.08% p(2)=(a 2 /2!)e -a = p(3)=(a 3 /3!)e -a = p(4)=(a 4 /4!)e -a =0.0723

15 La distribuzione dei valori assunti da una v.a. si può caratterizzare attraverso differenti parametri media varianza deviazione standard media (valor medio, valore atteso, aspettazione ) Parametri di una v.a. discreta 15 varianza ( dispersione ) deviazione standard

16 media Parametri di una v.a. discreta 16 varianza deviazione standard Funzione di probabilità variabile aleatoria di BERNOULLI p(1)=p p(0)=q=1-p

17 media Parametri di una v.a. discreta 17 varianza deviazione standard Funzione di probabilità p(k)=1/n k=1,…,n V.a. UNIFORME DISCRETA

18 media Parametri di una v.a. discreta 18 Funzione di probabilità V.a. poissoniana o distribuzione di Poisson p(k)=(a k /k!)e -k

19 Parametri di una v.a. discreta 19 varianza Funzione di probabilità p(k)=(a k /k!)e -k deviazione standard Dalla proprietà segue V.a. poissoniana o distribuzione di Poisson

20 Funzioni di distribuzione per v.a. continue Per variabili aleatorie continue la funzione di distribuzione F x è data da: dove p è detta funzione di densità di probabilità ed è tale che densità di probabilità

21 Funzioni di distribuzione per v.a. continue Risulta La probabilità che una v.a. assuma valore in un intervallo è calcolabile mediante un integrale definito Ricordando che

22 Anche per le v.a. continue la distribuzione dei valori assunti si può caratterizzare attraverso gli stessi parametri che per le v.a discrete media Parametri di una v.a. continua varianza deviazione standard

23 Anche nel caso di v.a. continue per media varianza e deviazione standard valgono tutte le proprietà discusse nel caso discreto Parametri di una v.a. proprietà

24 Inoltre Se X e Y sono indipendenti da cui Parametri di una v.a. proprietà

La densità di probabilità è data da con parametro pari alla frequenza media osservata per il fenomeno 25 Esperimento Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua La variabile casuale continua X(t) associa ad ogni telefonata t i il tempo che la divide dalla precedente. Si assume che la probabilità di aspettare più di un fissato tempo T decada esponenzialmente con T. Da cui Il numero di telefonate medio in un call center è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto tempo avverrà la prossima? V.a. esponenziale o esponenziale negativa

Esperimento Il numero di telefonate medio in un call center è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto tempo avverrà la prossima? V.a. esponenziale o esponenziale negativa Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua 0 FXFX 1

Esperimento Il numero di telefonate medio in un call center è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto tempo avverrà la prossima? V.a. esponenziale o esponenziale negativa Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua Variabile aleatoria  : S  [0, +∞[ t i  X(t i ) continua Supponiamo di voler calcolare la probabilità la prossima telefonata arrivi non prima di t 1 =10 secondi e non dopo t 2 = 15. Allora sapendo che la frequenza media è data da λ=1/20=0.05 Esempio

28 media Parametri di una v.a. continua varianza deviazione standard variabile aleatoria ESPONENZIALE densità di probabilità (per parti) varianza (per parti)

Esperimento Assumendo che esiste un unico valore vero μ =6m per la misura della trave i valori ottenuti sono tutti errati: x i = μ +e i Si eseguono 2000 misure x i della lunghezza di una trave. Ogni prova fornisce un risultato diverso. Si assume che - gli errori e i possono essere sia positivi che negativi con uguale probabilità. - errori grandi sono molto meno probabili (frequenti) degli errori piccoli - L’errore quadratico medio è dato dal parametro σ=5 cm Diremo che la misura della trave è μ ±σ. Con questo si assume che gran parte delle misure ottenute cade nell’intervallo di estremi μ -σ e μ +σ In figura il grafico delle frequenze assolute ottenute per le duemila misure V.a. normale o gaussiana

Si dimostra che la distribuzione di probabilità più adatta a descrivere il comportamento degli errori accidentali in tali situazioni è la v.a. gaussiana detta anche curva di Gauss, Campana di Gauss o curva degli errori. densità di probabilità Variabile aleatoria N: S   Variabile aleatoria N: S   30   la media è il centro di simmetria di f(x) f N (x) x  la deviazione standard è la distanza tra la media e i punti di flesso di f(x)   ±  sono i punti i punti di flesso

31 media Parametri di una v.a. continua varianza deviazione standard densità di probabilità (per parti) varianza (per parti) v.a. normale o gaussiana

PROBLEMA L’altezza dei marziani M è una v.a. gaussiana di media 150 cm e deviazione standard 10 cm. Che probabilità c’è che un marziano sia alto tra i 170 e i 180 cm ? V.a. normale o gaussiana Sol. Come calcolare gli integrali (generalizzati) del tipo ? In generale la valutazione degli integrali che coinvolgono la distribuzione di Gauss si esegue in due passi: 1. si riformula il problema in termini di un’altra v.a. detta Gaussiana standard o normale standard 2. Il calcolo dell’integrale si fa usando opportune tabelle

33 La distribuzione Gaussiana Standard è una distribuzione gaussiana con media  =0 e varianza  2 =1. densità di probabilità Gaussiana densità di probabilità Gaussiana Standard f NS (x)  =0 x  =1 V.a. normale standard o gaussiana standard

La distribuzione Gaussiana Standard è una distribuzione gaussiana con media  =0 e varianza  2 =1. La v.a. normale standard è la variabile standardizzata che si ottiene dalla gaussiana sottrendo la media la media  e dividendo per  V.a. normale standard o gaussiana standard 34 N( ,  2 ) NS(0,1) N(  - ,  2 /  2 )

V.a. normale o gaussiana Sol. 1. si riformula il problema in termini di un’altra v.a. detta Gaussiana standard o normale standard 2. Il calcolo dell’integrale si fa usando opportune tabelle della funzione ERF(x) si dimostra (mediante sostituzione) che

V.a. normale o gaussiana da cui ad esempio segue che si dimostra inoltre che vale la proprietà

V.a. normale o gaussiana si dimostra inoltre che vale la proprietà da cui ad esempio segue che per calcolare la probabilità di un intervallo simmetrico [-x,x] basta calcolare, infatti da cui ad esempio segue che per calcolare la probabilità di un intervallo [a,b] con a NEGATIVO basta calcolare Esempio

Tavola di Tavola dell'area fra 0 e x della normale standard, ovvero valori di x si ottiene sommando il valore sulla colonna e sulla riga. Esempio dalla nona riga e terza colonna si ha

Tavola di Tavola dell'area fra 0 e x della normale standard, ovvero valori di x si ottiene sommando il valore sulla colonna e sulla riga. Esempio dalla prima riga e ottava colonna si ha