Psicometria modulo 1 Scienze tecniche e psicologiche Prof. Carlo Fantoni Dipartimento di Scienze della Vita Università di Trieste Rosoluzione di problemi relativi alle distribuzioni normali con Excel 2.Probabilità coda sinistra, coda destra, intervallo, valore associato ad una probabilità 3.Test di normalità 4.Normal probability Plot in Excel applicato a tre distribuzioni di dati 5.Esperimenti probabilistici 6.Insiemi, spazio campionario ed eventi

1 Trovare l'area sottesa alla funzione di densità normale tra due valori x, o per valori maggiori o minori di x 2 Trovare il valore x che corrisponde ad una data area (coda sinistra e destra)  l'uso delle tabelle è desueto e useremo Excel per calcolare le quantità rilevanti problemi relativi alle distribuzioni normali ed Excel

ricettario di funzioni  NORMDIST(x; media; s; cumulativo [1 o 0]): restituisce l’altezza (se cumulativo= 0) o la probabilità cumulata (se cumulativo= 1) della funzione di densità normale  NORMINV(probabilità; media; s): restituisce l’inversa della normale per il valore di probabilità

applicazione semplice azienda che disegna abiti ha bisogno di avere informazioni sulle taglie delle donne Esempio_Azienda_tessile.xls

applicazione semplice trascinando le selezioni in colonna B e in C e si ottiene la funzione di densità normale predetta e  +

applicazione semplice funzione di densità e funzione  rappresentate in un unico grafico con doppio asse y + Dai grafici personalizzati di Excel seleziona il tipo Line – Column on 2 Axes

applicazione semplice funzione di densità e funzione  rappresentate in un unico grafico con doppio asse y + Procedi inserendo due serie dati, entrambi con la colonna A come Category X e uno con la colonna B come Value l’altro con la colonna C

applicazione semplice funzione di densità e funzione  rappresentate in un unico grafico con doppio asse y +

applicazione semplice coda sinistra= probabilità che il valore di altezza sia  di un valore di altezza massimo inserito (63) +

applicazione semplice + coda destra= probabilità che il valore di altezza sia  di un valore di altezza minimo inserito (63)

applicazione semplice + intervallo= probabilità che il valore di altezza sia compreso fra un minimo e un massimo [63,70]

applicazione semplice + Probit-inversa= valore di altezza – quantile - associato ad un valore di probabilità (75%) x

cuciniamo la normale dimostratore Excel dati predizioni inferenza

il documento z-scorez-score  Simulazione di 200 punteggi allo Scholastic Aptitude Test: N(50/100, 10). Esempio a pag. 85 vostro libro di testo  Grafici dinamici e aggiornabili con estrazione delle statistiche di riferimento mediante metodo probit  Parte dimostrativa in cui si verifica la regola empirica

esercitatevi con questo foglio di lavoro per comprendere a pieno le proprietà della distribuzione normale e le potenzialità della standardizzazione

test di normalità  Non tutti i fenomeni continui sono distribuiti normalmente e non tutti seguono una distribuzione che può essere approssimata adeguatamente con una normale  L’ approccio esplorativo di carattere descrittivo più adatto alla verifica dell’ adattamento di una serie di dati alla distribuzione normale è il normal probability plot (capitolo 6, Paganonie Pontiggia)  Sarà necessario mettere assieme le nostra conoscenze sulle procedure di standardizzazione e sulle rappresentazioni di dati bivariati continui  La procedura è simile alla probit (l’inversa)

logica  Le funzione di ripartizione empirica della normale standard è un’ogiva centrata in 0  similmente lo sarà anche la funzione risultante da dati estratti da una distribuzione gaussiana Punteggio Frequenza cumulata  dati estratti da una distribuzione diversa (esempio uniforme) avranno una ripartizione diversa (retta) Punteggio Frequenza cumulata

quindi la serie di dati plottata sui quantili della distribuzione normale standard si distribuirà su una una retta solo se i dati provengono da una distribuzione gaussiana formalmente: i dati provengono da una normale se i punti si dispongono su una retta

approfondiamo e comprendiamo mediante l’utilizzo di Excel Normal_Probability_Plot_Paganoni.xls cap 6 Paganoni, Pontiggia

Nota sulla funzione FREQUENCY(array; categorie) Seleziona la colonna C dalla riga 3 alla riga 7 Controllando di avere la selezione ancora attiva scrivi = sulla prima cella (C3) e inserisce la formula Tenendo premuti i tasti Maiusc e Contrl premi Invio Attenzione l’array generato è dinamico e non può essere modificato se non cancellando tutte e 5 le celle su cui si applica la funzione

gaussianità di valori casuali generati da una distribuzione normale 50 punteggi con media e deviazione standard impostabili Ordinamento dinamico ascendente dei dati casuali mediante funzione SMALL: ad esempio SMALL($D$4:$D$54;C4) ritorna il C4-esimo valore più piccolo specificato nell’array $D$4:$D$54.

gaussianità di valori casuali generati da una distribuzione normale Frequenza assoluta di ciascun evento : FREQUENCY(E4:E53;E4:E53) Somma frequenze assolute: es. F5+G4 Correzione di continuità (f-0.5) e divisione per N calcolati con NORMSINV(H i )

gaussianità di valori casuali generati da una distribuzione normale scatterplot dei dati osservati (quantili campionari) vs. quantili teorici mediante Creazione Guidata Grafico → Dispers → Serie (Valori X= quantili teorici; Valori Y= quantili campionari) Ottimo adattamento dei dati alla distribuzione normale retta con a≈  b ≈ 

gaussianità di valori casuali cosa succede? pessimo adattamento dei dati alla distribuzione normale: distribuzione ad S attorno alla retta dei minimi quadrati

cosa succede elevando al quadrato i valori normali? pessimo adattamento dei dati alla distribuzione normale: distribuzione ad U attorno alla retta dei minimi quadrati

probabilità e inferenza statistica

probabilità e variabili aleatorie  Per definizione, un singolo evento aleatorio o casuale non è predicibile.  Esempi: RAND(), RANDBETWEEN(), ROUNDUP(RAND()), NORMINV(RAND();  Tuttavia, le ripetizioni dei fenomeni aleatori esibiscono delle regolarità  Lo scopo della teoria della probabilità è quello di descrivere queste regolarità

esperimenti probabilistici gli esperimenti così come i fenomeni del mondo reale e psicologico che indagano sono probabilistici, essendo caratterizzati da: 1 incertezza del risultato 2 ripetibilita dell'esperimento 3 equiprobabilita dei risultati → tutti → molti → alcuni

perché probabilità?  variabilità campionaria: le statistiche variano da campione a campione  l’altezza media misurata su 2 diversi campioni di studenti sarà molto probabilmente diversa: m 1 ≠ m 2 ≠   dobbiamo sapere che caratteristiche assumerebbe m se il processo di campionamento venisse ripetuto.  quanto ci aspettiamo che m e  siano simili con un campione di n casi?

insieme dei risultati (eventi) possibili di un esperimento casuale spazio campionario Ω Ω discreto {T,C} continuo {t: t > 0 s}

sottoinsieme dello spazio campionario evento {A} A Ω {T} {t: t < 0.5 s}

sottoinsieme dello spazio campionario evento complementare {A’} A {C} {t: t > 0.5 s} A’ Ω

A B unione: A U B Ω l’evento si verifica quando si verifica A o B o entrambi

A intersezione: A ∩ B Ω l’evento si verifica quando si verifica A e B contemporaneamente

incompatibilità: A ∩ B = Ø A B Ω

eventi e spazio campionario Lancio di due monete:  Ω= {TT, TC, CT, CC}  Evento “1 volta testa”= Lancio di un dado:  Ω= {1,2,3,4,5,6}  Evento “dispari”= {TC, CT} {1,3,5}