Le percentuali Sconti, interessi e giochi d’azzardo

Perché le percentuali Ci sembra “naturale”, per misurare qualcosa, rapportarla ad un’altra presa come riferimento: da 0 a 100 quanto vale … ? Il valore percentuale è in effetti un rapporto: 5%  5/100 ; il valore 100 è preso come unità di misura: 100%  1 Misurano quantità relative Non hanno una unità di misura da dichiarare

Il significato della percentuale La “naturalezza” del nostro modo di valutare le quantità relative in termini percentuali è dovuta alla semplicità della relazione di proporzionalità diretta: “Il PIL è in crescita del 1,2 %” significa che, se P è stato il PIL del precedente anno, quello di quest’anno è aumentato di x, ove x soddisfa la proporzionex : P = 1,2 : 100 Il PIL di quest’anno sarà quindi: P + x

La percentuale in fisica Si è visto come l’errore relativo, misura della precisione di una misura, venga spesso comunicato in percentuale. Un errore relativo del 100 % corrisponde ad un errore assoluto pari al valore attendibile!

La percentuale negli acquisti 2 al prezzo di 1: che sconto ci viene fatto? Prendi 3 paghi 2: che sconto ci viene fatto? Un prodotto il cui prezzo intero è C ci viene offerto al prezzo scontato S: la percentuale di sconto è:

La percentuale negli interessi Se lasciamo in una banca una somma (capitale) C, ci viene riconosciuto un interesse (tasso creditore) che è espresso in percentuale:  % Se chiediamo ad una banca il prestito di una somma D, dobbiamo riconoscere alla banca un interesse (tasso debitore) che è espresso in percentuale:  %

Un esercizio Chiedo in prestito una somma di 10 € ad un “amico” (?) promettendogli di restituirgliela dopo un pò di tempo con il tasso d’interesse mensile del 5 %. Quanto dovrò restituire se aspetto tre mesi ? E se aspetto un anno ? (e se l’interesse fosse del 10 % ?) Dipende dal regime concordato di “indebitamento”; di solito si stabilisce un regime di capitalizzazione annuale composto

La soluzione dell’esercizio In 3 mesi: 5%10% l’interesse è Semplice11,50 €13,00 € il doppio Composto11,58 €13,31 € più del doppio in un anno:5%10% Semplice16,00 €22,00 € Composto 17,96 €31,38 €

L’ Indice Sintetico di Costo (ex TAEG) Il Tasso Annuo Effettivo Globale rappresenta il costo effettivo dell'operazione espresso in percentuale che il cliente deve alla società che ha erogato il prestito o il finanziamento. Detto in poche parole il T.A.E.G. racchiude contemporaneamente sia il T.A.N. (Tasso Annuo Nominale), cioè la percentuale di interesse che grava sul prestito, che le spese di emissione della pratica e della documentazione; quindi: T.A.E.G. = T.A.N. + spese di istruttoria e documentazione

Le percentuali nelle “torte”

Alcune problematiche … Rincaro e sconto sono commutativi?: Un rincaro del r% è seguito da uno sconto del s%. Se C è il costo iniziale il costo finale dipende dall’ordine? C  C(1+r/100)  C(1+r/100)(1-s/100) No

Sotto quali condizioni vale C f  C ? C(1+r/100)(1-s/100)  C  s 100 r

Composizioni di rincari È vero un rincaro del r 1 % seguito da un rincaro del r 2 % è equivalente ad un rincaro del (r 1 +r 2 )% ? C  C(1 + r 1 /100)(1 + r 2 /100) = = C[1 + (r 1 +r 2 )/ (r 1 +r 2 )/100] C  C[1 + (r 1 +r 2 )/100)] No: la composizione dei due rincari provoca un aumento di C (r 1 +r 2 )/10000, corrispondente al [(r 1 +r 2 )/100]% rispetto al rincaro del (r 1 +r 2 )%

Una proposta indecente Su una spesa C un acquirente può contare su una detrazione fiscale del d%, però deve pagare l’iva al i%. Dalle sue tasche uscirà quindi: C(1 + i/100) – Cd/100 = C(1 + i/100 – d/100) Il venditore pagherà invece una tassa t% sul guadagno G = C – S

Il guadagno netto del venditore è quindi G(1-t/100) Il venditore però per avere un guadagno netto G propone all’acquirente di pagare in nero applicandogli uno sconto del s%. Sottolineando che l’accettazione della proposta comporta un danno alla comunità, sotto quali condizioni è conveniente (egoisticamente) questa proposta?

Poiché dalle tasche dell’acquirente uscirebbe C(1 – s/100) dovrà essere soddisfatta la relazione: C(1 – s/100) < C(1 + i/100 – d/100)cioè: S > d – i In realtà la detrazione fiscale è dilazionata in più anni (n = 10) per cui lo sconto da accettare può anche essere inferiore se si pensa di poter investire il risparmio

In n anni Il risparmio C(i/100 + s/100) crescendo al tasso di interesse composto del f% diventerà:

Mentre i frutti annuali della detrazione, se investiti allo stesso tasso d’interesse daranno alla fine dell’n-esimo anno: Cioè:

Perché la proposta sia conveniente (egoisticamente): n = 10 anni, d = 50 %, f = 2 %, i = 22 % s > 23,8 %

Le percentuali nei giochi d’azzardo Anche le probabilità di vincita ad un gioco d’azzardo si esprimono in percentuali Qual è la probabilità che, lanciando una moneta non truccata, esca “testa”? Qual è la probabilità che, lanciando un dado non truccato, esca “sei”?

Come si calcola la probabilità La definizione classica: La definizione frequentista: Ove n è il numero di lanci effettuati e k è il numero di successi; f è in realtà la frequenza relativa; però: vale la “Legge dei grandi numeri “ o “Legge empirica del caso”:

La definizione soggettiva S 1 è la somma che si è disposti a pagare sapendo che, in caso di vincita, si riceverà S (de Finetti)

Un gioco in cui la probabilità classica è uguale a quella soggettiva è equo Se gioco n volte  pago n  S 1 Se ne vinco k  ricevo k  S La frequenza è k/n, giocando sempre, per la legge dei grandi numeri:k/n = p e, se S 1 =p  S,da:  k  S = n  S 1

Nella rete (voce “gioco equo”) In probabilità, prende il nome di gioco equo quel gioco di probabilità che paga al vincitore una vincita equa, cioè pari all'importo giocato moltiplicato per il reciproco della probabilità di vittoria (da wikipedia)probabilità reciproco Il gioco è equo se il prezzo P pagato è uguale al prodotto della eventuale vincita moltiplicata per la probabilità di vincerla. (da

Osservazioni Se un gioco è equo, giocando sempre non perderò niente, ma non vincerò niente. L’impulso a giocare è chiaramente irrazionale Chi gioca spera di avere “fortuna” Dovrebbe smettere quando la vincita supera le somme pagate (stabilendo un valore ritenuto soddisfacente) Si può soddisfare l’avidità e la presunzione umana?

Alla fin fine chi ci guadagna … È il banco Che si trova a gestire dei soldi in prestito senza interessi Lettura delle pagine da 4 a 11 del saggio di Packel, Matematica dei giochi e dell’azzardo, Zanichelli