La scrittura decimale Quando un numero è scritto in forma decimale, vi è un numero finito di cifre dopo la virgola. Ma sappiamo che ci sono divisioni “che non finiscono mai”, ossia il calcolo di quozienti che non sono esprimibili attraverso decimi, centesimi, millesimi e così via. Un esempio semplice è 1/3. Se vogliamo scriverlo in forma decimale, troviamo 0,333333333… Come facciamo? o scriviamo dei puntini di sospensione: 1/3 = 0, 333… oppure utilizziamo la scrittura 0,3(periodico)

Numeri decimali e frazioni La frazione è una divisione non effettuata. I numeri decimali si ottengono effettuando il calcolo (in base 10). Si distinguono: Numeri decimali limitati Numeri decimali illimitati periodici, semplici o misti

Numeri decimali e frazioni Partiamo dai numeri decimali limitati: 0.5 , 0.25 , 0.1 , 1.3 , 2,375 …. Trasformiamoli in frazioni: REGOLA: i numeri decimali limitati sono generati da frazioni che hanno al denominatore solo 2, 5 o entrambi, e le loro potenze, una volta che sono state ridotte ai minimi termini.

Numeri decimali e frazioni ..e i numeri decimali illimitati? Si distinguono in – periodici semplici – periodici misti REGOLA: i numeri decimali illimitati periodici semplici sono generati da frazioni che hanno, una volta ridotte ai minimi termini, qualsiasi numero primo che NON sia 2 o 5.

Numeri decimali e frazioni ..e i numeri decimali illimitati? Si distinguono in – periodici semplici – periodici misti REGOLA: i numeri decimali illimitati periodici misti sono generati da frazioni che, ridotte ai minimi termini, hanno sia potenze di 2 o di 5, sia potenze di altri numeri (ovvero hanno almeno una potenza di 2 o di 5, e almeno una potenza di un altro numero primo). L’esponente del 2 o del 5 determina la lunghezza dell’antiperiodo.

Numeri decimali e frazioni Passaggio dalla frazione al numero decimale. Esercizio: quale tipo di numero decimale viene generato? Periodico semplice Limitato Periodico semplice Periodico misto

Numeri decimali e frazioni Passaggio dal numero decimale alla frazione. Esercizio: trovare una frazione equivalente A numeratore: tutte le cifre, senza virgola A denominatore: un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali A numeratore: tutte le cifre, senza la virgola A denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo A numeratore: tutte le cifre senza virgola – tutto quel che precede il periodo senza virgola A denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Se abbiamo due numeri naturali, per esempio 2 e 3, sappiamo che in N possiamo fare La loro somma: 2+3 = 5 Il loro prodotto: 2*3 = 6 Ci farebbe comodo fare anche 2:3, ma questo non è possibile in N se vogliamo un unico numero come risposta... Rimanendo in N e accettando di avere una coppia di numeri come risposta, troviamo la divisione euclidea (quoziente e resto) Oppure, usciamo da N…

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Noi sappiamo che fare 2:3 è come fare 4:6, oppure 12:18, o 200:300. Quale legame c’è tra 2:3 e 12:18? Provate ad esprimerlo usando una sola operazione aritmetica 2 x 18 = 3 x 12 2/3 e 12/18 sono scritture diverse per lo stesso numero: si tratta di un numero RAZIONALE, ossia ottenuto facendo un rapporto tra due numeri naturali.

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali In generale possiamo quindi definire una relazione di equivalenza tra coppie di numeri naturali: Consideriamo le coppie (a,b) e (c,d), con a,b,c,d numeri naturali e b e d diversi da 0 Diciamo che (a,b) e (c,d) sono equivalenti se e solo se axd = cxb

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Due coppie di numeri naturali (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Di quali proprietà gode questa relazione? Riflessiva? Simmetrica? Transitiva?

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Due coppie di numeri naturali (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Riflessiva: (a,b) è equivalente a (a,b) perché axb = bxa (vera per la commutativa della moltiplicazione)

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Due coppie di numeri naturali (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Simmetrica: se (a,b) è equivalente a (c,d), ossia vale axd=bxc, allora anche (c,d) è equivalente a (a,b), ovvero bxc=axd (vera per la simmetria dell’=)

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Due coppie di numeri naturali (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Transitiva: Non dimostriamo.

Passaggio dai numeri naturali ai numeri razionali Due coppie di numeri naturali (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Riflessiva Simmetrica Transitiva: Si tratta quindi di una relazione di equivalenza. Essa definisce un nuovo tipo di numeri.

Una nuova definizione Due coppie di numeri interi (a,b) e (c,d), con b e d diversi da 0, sono EQUIVALENTI se axd = cxb Chiamiamo numeri razionali le coppie di numeri interi che sono equivalenti secondo la relazione data qui sopra. Diciamo che tali coppie rappresentano lo stesso numero razionale. Es: 2/3 e 12/18 rappresentano lo stesso numero razionale perché le coppie (2,3) e (12, 18) sono equivalenti, ossia 2 x 18 = 3 x 12. QUESTA, PERO’, NON PUO’ ESSERE LA STRADA CHE POSSIAMO ADOTTARE PER INTRODURRE I NUMERI RAZIONALI A SCUOLA!

CLASSI DI EQUIVALENZA in N x N\{0} Misconcetti relativi all’equivalenza 2/4 è maggiore di 1/2 perché 2 e 4 sono maggiori di 1 e 2. 2/4 è minore di 1/2 perché il denominatore 4 è minore del denominatore 2, e dividendo una quantità per 4 si ottiene un numero più piccolo che dividendo per 2. 2/4 è maggiore di ½ perché il numeratore 2 è maggiore del numeratore 1, e dividendo la quantità 2 per un numero si otterrà una quantità maggiore che dividendo la quantità 1

x

Tante scritture per uno stesso numero

Tante scritture per uno stesso numero Con i numeri razionali succede qualcosa che non accade con i numeri naturali: Per uno stesso numero esistono infinite scritture in termini frazionari: tutte le frazioni equivalenti tra loro. Es: 2/3 = 4/6 = 6/9 = … Tutte queste scritture rappresentano lo stesso numero. SI TRATTA DI UN OBIETTIVO DIDATTICO FONDAMENTALE: l’idea di FRAZIONI EQUIVALENTI

Attenzione Anche i numeri naturali possono essere visti come numeri razionali: Es: 2 = 4/2 = 50/25 = … Visti come numeri razionali, anche i numeri naturali hanno quindi infinite scritture!