7/96 Si consideri lo schema generico di una cavità laser come quella di figura l’intensità della radiazione dopo un cammino di andata e ritorno dipende dal coefficiente di guadagno  e dalla lunghezza L del mezzo attivo secondo la formula Il valore tipico di  per un laser a gas è circa 1 m -1 (0,01 per HeNe) Principi di funz.

L’amplificazione avviene nel caso in cui il guadagno (2  L) è maggiore dell’energia sottratta alla cavità dalle perdite e dalla trasmissione (  +T) dove  rappresenta il volore delle perdite nella cavità e T rappresenta la trasmittività dello specchio di uscita del fascio laser (T>0): L’amplificazione dei fotoni continua sino a quando il guadagno, ridotto per la saturazione, compensa esattamente le perdite Si ottiene allora un regime di funzionamento stabile 2   L=  +T 7/97

Per una cavità lunga un metro il periodo di un ciclo (cioè il tempo impiegato dalla radiazione per fare un giro della cavità ) è dell’ordine dei s; questo significa che il regime stazionario viene raggiunto in brevissimo tempo, il coefficiente di guadagno satura e, nel caso di riga omogenea, vale: Con  s ed I s rispettivamente coefficiente di guadagno saturato e intensità di saturazione; da queste equazioni si ricava l’energia estratta dalla cavità 7/98

il coefficiente di guadagno di una riga laser si scrive: dove il termine g(  ) rappresenta la forme di riga : rispettivamente nel caso in cui l’allargamento predominante sia di tipo lorentziano (omogeneo) o gaussiano (disomogeneo). Dopo un tratto di lunghezza 2 L l’intensità della radiazione si scrive: che in forma approssimata, per piccoli guadagni, diventa 7/99

I coefficienti di saturazione omogeneo (pedice H, ad es. per allargamento naturale o collisionale) e disomogeneo (pedice D, ad es. un allargamento Doppler) sono Da cui, per la potenza in uscita risulta proporzionale a In entrambi i casi la potenza ottenibile dipende da prodotto del guadagno non saturato e dall’intensità di saturazione In un mezzo omogeneo l’amplificazione è iniziata da un fotone emesso spontaneamente e si arriva a un’intensità I dell’ordine di quella di saturazione I S 7/100

per fotoni emessi nel visibile vale: Da cui, per  = 0.5 m -1, si trova che serve un percorso di circa 100 m di mezzo attivo, ma la potenza viene estratta, a causa dell’andamento esponenziale, solo negli ultimi metri, quando la saturazione non è più trascurabile. In un laser impulsato a singolo passo, non essendo realistico fare un mezzo attivo così esteso, si devono realizzare coefficienti di guadagno nettamente superiori ( m -1 ) che corrispondono a laser con mezzi attivi di lunghezza al più uguale a un metro. 7/101

schema di cavità laser con R 1, R 2, Z 1, Z 2 rispettivamente riflettività degli specchi e delle superfici del mezzo attivo, l lunghezza del mezzo attivo e L lunghezza della cavità. Si consideri una cavità come quella di figura; nel caso di riga omogenea (  e T grande) con R+T+A=1 l<<L, R e T rispettivamente riflettività e trasmittività dello specchio di uscita ed a le perdite per dx di attraversamento, compresa la diffrazione e l’assorbimento, della cavità 7/102

Per un round trip, la intensità lungo il percorso è data da In cui si sono moltiplicati i contributi nell’ordine in cui li incontra la radiazione. A regime vale Che definisce le perdite della cività  ; il coefficiente di guadagno  vale invece: Esplicitando per A e T<< 1 usando la approssimazione 7/103

Si ottiene Nelle condizioni ottimali Si ha l’intensità in uscita è proporzionale alla lunghezza del mezzo attivo; integrando sulla superficie si ottiene che l’energia totale emessa dal laser è proporzionale al volume del mezzo attivo 7/104

Dalla condizione di regime stazionario (equilibrio tra guadagno e perdite), si ottiene Dove con Ic si indica l’intensità nella cavità. L’ intensità in uscita vale Derivando si trova il valore di T che da il massimo in uscita 7/105

potenza in uscita da un laser in funzione della trasmissionedello specchio di uscita per vari valori del coefficiente di guadagno 7/106

inversione della popolazione nei laser a gas Per avere emissione laser in continua bisogna avere un meccanismo che assicuri una inversione della popolazioni dei livelli della transizione laser che si mantenga stazionaria nel tempo. Questo stato di inversione stazionaria impone alcune condizioni alle caratteristiche del mezzo attivo. Consideriamo uno schema di due livelli S k ed S i sono I rate di popolamento e per i livelli k ed i. 7/107

In un mezzo gassoso lo svuotamento dei livelli avviene per collisioni o decadimento radiativo Dove  e e  sono le sezioni d’urto per diseccitazione dovuta a collisioni con elettroni o atomi neutri, rispettivamente presenti con densità N e ed N. Una espressione simile vale per il tempo  i. In regime stazionario si ha il seguente sistema: dove l’ultimo termine della seconda equazione tiene conto del decadimento spontaneo dal livello superiore. Si otterrà una inversione stazionaria delle popolazioni solo se: 7/108

N k /g k >N i /g i Dal sistema si ottiene facilmente N k.g i /N i /g k = >1 Che esprime una condizione necessaria per poter ottenere un funzionamento del laser in emissione continua Nella condizione più favorevole in cui Si ≈0 (nessun riempimento del livello inferiore) si ottiene la condizione: 1/ A ki >.  i. g k / g i si deduce che per ottenere un laser continuo la vita media radiativa del livello superiore deve essere maggiore di quella del livello inferiore Questa è una Condizione necessaria ma non sufficiente per ottenere un funzionamento continuo di un laser 7/109 S k  k g i (Si + S k  k A ki ).  i g k

Caratteri della saturazione: Nel sistema del bilancio delle popolationi consideriamo la dipendenza dalla frequenza della radiazione e della saturazione Il sistema così scritto contiene l’interazione con la radiazione, tramite i coefficienti di Einstein A ik, B ki e B ik, la somma I(  ) = I + (  ) +I - (  ) delle intensità che si propagano avanti e indietro nella cavità laser, il profilo della riga g  ), in questo caso assunta lorentziana (riga omogenea), e la distribuzione isotropa col fattore 4 . Nel caso di allargamento omogeneo tutti gli atomi nella cavità interagiscono con ambedue le componenti della radiazione di frequenza angolare . La forma di riga g(  ) determina la forza dell’interazione relativamente a quella della frequenza di risonanza  ki. Le soluzioni stazionarie del sistema sono ottenute imponendo 7/110

condizione da cui si ottiene dove  e  sono costanti adimensionali così definite In assenza di saturazione, la densità dell’inversione di popolazione è ottenuta nel limite di I(  ) tendente a zero : Combinando le due equazioni si ottiene: 7/111

dove si è usata la relazione (dall’eq. Di Planck): Ed il parametro di saturazione I S (  ) è definito da: che ha la dipendenza di una lorentziana capovolta. Il valore minimo del parametro di saturazione si ha alla risonanza, dove vale: Si noti che il valore per l’inversione di popolazione è necessariamente inferiore rispetto a quello ottenuto in assenza di saturazione 7/112

Coeff. di assorbimento Dalle eq. precedenti si ottiene il coefficiente di assorbimento nel caso di transizione saturata allargata omogeneamente: In caso lorentziano si ottiene ancora una lorentziana : 7/113 Riga omogenea

La distribuzione lorentziana (riga omogenea) ha in questo caso una ampiezza massima ridotta rispetto al caso non saturato secondo la relazione: e una maggiore larghezza di riga L’intensità ad una singola frequenza diminuisce tutta la curva di guadagno saturato per tutte le frequenze longitudinali sopra la soglia di azione laser. Ci si attende quindi che il laser, nel caso di transizioni allargate omogeneamente, oscilli prevalentemente su una sola frequenza della cavità 7/114

Nel caso di transizioni disomogenee si segue una trattazione analoga alla precedente ma, come nel caso di allargamento Doppler, occorre introdurre la distribuzione delle velocità P(v) in modo da tenere conto di quanto cambino le popolazioni degli atomi con una certa velocità : Nel sistema g + (v,  ) descrive la risposta lorentziana degli atomi di velocità v. Nel suo sistema di riferimento un atomo vede un’onda di frequenza angolare si ha 7/115

Dalle relazioni precedenti, imponendo la condizione di stato stazionario per le densità di popolazioni, si ha: con  e  già definiti; integrando su tutte le velocità, si trova una inversione di popolazione totale in condizioni di piccolo segnale, analoga alla precedente in quanto la distribuzione P(v) è normalizzata: 7/116

Di conseguenza la relazione tra le densità saturate e non saturate si scrive come e il parametro di saturazione si scrive come Nel limite di piccolo segnale, bassa intensità, la densità di inversione ha ancora una distribuzione gaussiana in funzione della velocità v. Tuttavia, per valori finiti della intensità I + (  ), avviene una riduzione localizzata della densità di inversione attorno al valore v=(  -  ki )/k In questo caso si dice che il fascio di radiazione di frequenza angolare  "scava una buca" nella distribuzione della velocità (fenomeno dell’hole burning). 7/117

Densità dell’inversione in funzione della velocità assiale atomica per un gas che interagisce con un’onda elettromagnetica che si propaga all’infinito (cioè senza essere riflessa, mantenendo una sola direzione); a) distribuzione gaussiana delle velocità termiche, b) fenomeno dell’ hole burning, per una distribuzione di velocità normale, termodinamica. hole burning 7/118

La larghezza della buca viene determinata assumendo P(v) costante nell’intervallo di velocità considerato; la larghezza a metà altezza vale,sarà ancora una lorentziana allargata per saturazione: Si noti che il fenomeno dell’hole burning spiega come operano i laser nelle cui transizioni domina l’allargamento disomogeneo. L’oscillazione laser inizia per la frequenza longitudinale più vicina al centro della riga; l’onda stazionaria si divide in due onde contropropaganti che interagiscono con atomi appartenenti a diverse classi di velocità e vengono scavate due buche nel profilo della densità di inversione 7/119

densità di inversione in funzione della velocità atomica assiale in un laser a gas che oscilla in una singola frequenza. Dato che in genere le frequenze dei modi longitudinali sono separate da intervalli grandi rispetto alla larghezza di riga  ki, ogni modo assiale estrae energia da una parte diversa della distribuzione atomica in velocità. 7/120

Profilo gaussiano Di guadagnonon saturato v vv v v v + + v - Riga omogenea Hole burning 7/121

Di conseguenza, se l’inversione di popolazione è ulteriormente aumentata, il guadagno ad altre frequenze diventa tale da permettere l’oscillazione contemporanea su più modi della cavità. Il numero effettivo di modi longitudinali che oscillano è determinato essenzialmente dal rapporto tra larghezza Doppler e riga omogenea e dalla differenza di frequenza intermodo. Le intensità e fasi relative di questi modi variano casualmente e la lunghezza di coerenza di un laser multimodo è tipicamente determinata dalla distribuzione della radiazione tra le varie frequenze che oscillano, nonostante l’elevata monocromaticità del singolo modo. Il coefficiente di guadagno saturato, per un laser di questo tipo, si calcola sostituendo alla forma di riga g(  ) la g + (v,  ) che tiene conto della velocità degli atomi e si scrive: 7/122

Questa espressione può essere riscritta come l’integrale di convoluzione di una gaussiana con una lorentziana, di larghezze e  rispettivamente Nel limite  ki <<  la distribuzione di velocità P(v) è assunta costante nella regione atttorno a v=(  -  ki )/k e il coefficiente di guadagno saturato si scrive: 7/123

dove si trova che il guadagno di una riga allargata per effetto Doppler satura più lentamente di quello di una riga omogenea, come ci si attende dal fatto che in una riga omogenea il numero di atomi che interagiscono con la radiazione a frequenza angolare  è inferiore ma aumenta coll’aumentare dell’intensità (allargamento dell’ hole burning). In un laser a riga disomogea la potenza che si ottiene è inferiore a quella disponibile dalla inversione ottenuta. La potenza aumenta con il numero dei modi oscillantisino a quando le righe omogenee saturate non tendono a confondersi. 7/124

Laser ad azoto Si consideri il laser ad azoto con riferimento allo schema dei livelli in figura. L’azione laser avviene tra lo stato C 3  u. ). Lo stato C viene eccitato dalle collisioni elettroniche con atomi nello stato fondamentale. Poiché gli stati C e B sono stati di tripletto, le transizioni dallo stato fondamentale sono proibite per il diverso spin a) livelli energetici elettronici (corrispondenti al livello vibrazionale più basso, v=0) della molecola N2, ; b) schema di un laser TEA. 7/125

Tuttavia, in base al principio di Franck-Condon, ci si aspetta che la probabilità di decadere al livello fondamentale sia maggiore per il livello C che non per il livello B. Infatti il il livello B ha un minimo nel potenziale che è spostato verso una maggiore separazione internucleare rispetto al livello C. Il tempo di vita è infatti 10 ms per il livello B e 40 ns per il livello C. In queste condizioni non è possibile ottenere azione laser continua, ma solo impulsata, a condizione che l’impulso di eccitazione sia inferiore a 40 ns (questo spiega perché ad esempio un fulmine non dà origine ad azione laser nell’atmosfera). L’azione laser avviene prevalentemente tra numerose linee rotazionali attorno a nm. A causa dell’elevata pressione e degli alti campi elettrici di esercizio (circa 960 mbar di He e 40 mBar di N 2 e 10 kV/cm), un laser ad azoto viene costruito in configurazione TEA (Trasverse Excited at Atmospheric pressure). 7/126

Per ottenere l’impulso di corrente richiesto di 5-10 ns, si usa un circuito di scarica a bassa induttanza. A causa poi dell’alto guadagno l’azione laser avviene come ASE (Amplified Spontaneous Emission) e il laser può operare anche senza specchi; tipicamente viene usato un solo specchio, che estrae più energia e che riduce la soglia di guadagno e anche l’energia elettrica di soglia per l’emissione ASE.         esponenziale in un singolo passaggio      si estrae poca energia(disponibile hn(N 2 -N 1 ) dal mezzo attivo 7/127

Laser a rubino Il primo laser fu costruito nel 1960 da T. H. Maiman ed era un laser a rubino. Il rubino è un ossido di alluminio che contiene come impurezza del Cr con una concentrazione dell’ordine di atomi/cm 3 ; la differenza tra lo zaffiro e il rubino sta nel drogaggio con il Cr, entrambi i cristalli hanno infatti la stessa composizione chimica di base (Al 2 O 3 ) e appartengono alla famiglia dei corindoni. I livelli interessati dall’azione laser sono Rilassamento fononico veloce 7/128

coefficienti e sezioni d’urto di assorbimento in funzione della lunghezza d’onda per campi elettrici paralleli e perpendicolari all’asse cristallino c; i dati sono stati registrati a 300 K nel rubino rosa Il tipico colore del rubino nasce dalla presenza di due bande di assorbimento attorno ai 400 e ai 570 nm, la transizione laser avviene invece a 694 nm. La larghezza della riga laser dipende dalla temperatura come è riportato in figura 7/129

coefficienti e sezioni d’urto di assorbimento in funzione della lunghezza d’onda per campi elettrici paralleli e perpendicolari all’asse cristallino c; i dati sono stati registrati a 300 K nel rubino rosa (bassa concentrazione di Cr). 7/130

la figura riporta lo schema di un laser al rubino di tipo impulsato che usa banchi di condensatori per alimentare la lampada flash. Si noti la necessità di un circuito di raffreddamento. L’accumulo nello stato superiore permette la generazione di impulsi giganti usando interruttori ottici 7/131

Laser Nd-YAG Una famiglia molto comune di laser è quella dei laser a neodimio: il mezzo ospite è il cristallo YAG (granato di ittrio e alluminio, Y 3 Al 5 O 12 ) in cui alcuni degli ioni Y 3+ sono sostituiti da ioni Nd 3+. Altri materiali ospiti usati sono fluoruri come YLiF 4 o vanadati come YVO 4 o ancora fosfati o vetri silicati. Tipici livelli di drogante sono dell’ordine dell’1% in percentuale atomica. Drogaggi maggiori portano a problemi di quencing per fluorescenza o a cristalli deformati, essenzialmente per il fatto che lo ione Nd3+ ha un raggio maggiore del 14% di quello dello ione Y3+. Lo ione Nd3+ ha i livelli energetici (Xe)4f3. Il laser Nd-YAG può funzionare sia in regime continuo che impulsato, e può essere pompato o da una lampada flash o da un laser a diodo. Per il pompaggio da lampada si usano lampade allo Xe a Torr per il regime impulsato e al Kr a 4-6 atm per il regime continuo. Sono usate lampade lineari in configurazione a ellisse singola o multipla o a accoppiamento vicino. 7/132

: configurazioni per pompaggio con lampade flash: a) una lampada in geometria a cilindro ellittico, b) una lampada in geometria a stretto accoppiamento, c) due lampade in geometria a doppia ellissi, b) due lampade in geometria a stretto accoppiamento Per avere un’idea dei parametri si consideri che una barra di Nd- YAG tipica ha un tipico diametro di 3-6 mm e una lunghezza di cm, con un’efficienza del 3% sia in regime continuo che impulsato e una potenza media di 1-3 kW. Usando invece come pompa diodi laser si ha un’efficienza del 10% ed oltre e emissione di laser in regime continuo (CW) anche di oltre 100 W. 7/133

schema dei livelli e delle lunghezze d’onda coinvolte in un laser ND-YAG. Un forte assorbimento di radiazione avviene a lunghezze d’onda tra 530 e 790 nm, delle varie transizioni laser possibili la più forte è quella a µm che, a temperatura ambiente (300 K), ha una larghezza (per interazione coi fononi del reticolo) di 4.2 cm-1 (126 GHz). Con queste caratteristiche è possibile realizzare brevi impulsi, fino a 5 ps, in azione mode-locked 7/134

schema del laser a quattro livelli tipo ND- YAG spettro di assorbimento del Nd3+ 7/135

Si ottengono Laser a Nd-YAG con 5-10 J per impulso, durata 1-10 ms e frequenza di ripetizione di Hz. Sono usati per lavorazioni meccaniche come perforazioni e saldature. Per quest’ultima applicazione il fascio laser è mandato attraverso una fibra ottica da mm di diametro direttamente sul punto di lavoro, questo grande vantaggio ha permesso a questi sistemi di soppiantare i loro diretti concorrenti cioè i laser industriali a CO 2. laser Nd-YAG Q-switched (100 mJ, 1-20 Hz, 5-20 ns) sono usati come puntatori o come misuratori di distanza. In campo scientifico, laser Nd-YAG in regime continuo o impulsato duplicati, triplicati o quadruplicati in frequenza sono usati come pompa per altri laser (es. dye laser o laser Ti-zaffiro) o direttamente per applicazioni come la generazione di armoniche in plasmi per realizzare la fusione nucleare controllata, un sistema interamente a stato solido costituito da diodi laser di pompa e da un Nd-YAG duplicato in frequenza, capace di dare 10 W in regime continuo.. 7/136

He-Ne Il laser He-Ne è stato il primo laser a gas funzionante in continua (Javan et al, Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961)) ed è uno dei sistemi più noti e conosciuti. Il meccanismo di eccitazione è quello della scarica elettrica in una miscela di He - Ne: Per creare una inversione di popolazione si usa un trasferimento collisionale quasi risonante tra I livelli metastabili dell’He e gli stati eccitati 3s del Neo. Nell’elio puro, a pressioni di circa un torr, si crea una popolazione stazionaria nei due stati metastabili 2 1 S 0 e 2 3 S 1, pari a circa quella del livello fondamentale Aggiungendo una piccola quantità di Ne (ad es. nel rapporto circa 1:7) l’energia degli elettroni non si altera in modo significativo e avvengono delle collisioni tra il livello metastabile degli atomi di He e gli atomi di neon nello stato fondamentale 7/137

Livelli 7/138

La differenza di energia tra i due livelli è di circa 0.04 eV; una simile coincidenza (≈ 0.05 eV) si ha tra il livello metastabile 2 1 S 0 dell’elio e il livello 3 S 2 del neon; essendo perciò la differenza di energia tra I livelli dell’ordine del kT termico avvengono, con grande probabilità i seguenti trasferimenti quasi risonanti di energia: He(2 3 S 1 )+Ne( 1 S 0 ) -> He(1 1 S 0 )+Ne(2s) He(2 1 S 0 )+Ne( 1 S 0 ) -> He(1 1 S 0 )+Ne(3s) Le sezioni d’urto sono abbastanza grandi, dell’ordine di , cm 2 e quindi, tramite queste collisioni, si ha un meccanismo di eccitazione selettiva per il livelli 2s2 e 2s3 del Ne, importante per realizzare l’inversione di popolazione. Gli stati metastabili dell’eliopermettono un buon trasferimento collisionale. I livelli 2s2 e 2s3 del Ne sono collegati al fondamentale tramite forti transizioni ultraviolette con tempi di vita dell’ordine di ns, soddisfando la condizione necessaria al funzionamento continuo. 7/139

Di conseguenza si ha un rapporto favorevole tra i tempi di vita e una inversione di popolazione stazionaria viene ottenuta tra i livelli 2s2 e 2p4 (1.15 mm), 3s2 e 3p4 (3.39 mm), 3s2 e 2p4 (632.8 nm). Il sistema può sostenere anche altre transizioni laser, una trentina in tutto, ma di minore efficienza Il primo sistema He-Ne costruito aveva due specchi piani dentro la cavità; oggi un laser He-Ne di media potenza è alimentato da una scarica DC a di mA a 2000 V, l’amplificazione avviene nella colonna positiva della scarica a gas e la cavità ottica è formata da specchi concavi montati esternamente alla cavità stessa.. 7/140

L’allineamento di una cavità a specchi concavi è molto meno critico di quello in una cavità a specchi piani. Il tubo della scarica è poi chiuso da due finestre messe all’angolo di Brewster, il che permette di eliminare le perdite per la radiazione polarizzata linearmente al piano di incidenza e genera un fascio di uscita polarizzato linearmente. Per laser He-Ne a bassa potenza (1 mW) si usa uno schema in cui gli specchi di uscita sono sigillati agli estremi del capillare stesso. Il laser He-Ne ha una piccola efficienza (circa 0,1%)perchè si usano transizioni tra livelli molto eccitati. Aumentare la potenza in uscita non è possibile: aumentare la densità di corrente nella scarica non produce aumenti nella potenza in uscita perchè aumenta corrispondentemente il rate di ionizzazione dell’He a partire dai livelli metastabili. 7/141

7/142

Laser a gas nobili Sono laser in cui l’inversione si forma spontaneamente in scariche ad arco ad ala densità di corrente, decine di amp./cm 2 Le transizioni laser del laser ad Ar sono tipiche di un gas nobile ionizzato Circa 20 eV sopra il livello fondamentale dello ione Ar 7/143

dato che l’energia degli elettroni è tipicamente 4-5 eV, l’eccitazione del livello avviene in due passi: prima sono creati degli ioni nello stato fondamentale (circa cm-3) nella scarica ad elevata corrente e poi gli ioni sono eccitati nei livelli di interesse tramite altre collisioni per cui il guadagno non saturato è proporzionale a I 2 in un grande intervallo di corrente L’inversione stazionaria è possibile grazie a un rapporto tra i tempi di vita molto favorevole. Il livello inferioei della transizione laser è talmente sopra quello fondamentale da avere una popolazione termica quasi nulla nonostante la temperatura del plasma intorno ai 3000 K. Un tipico tubo per laser ad Ar ha un diametro di 3 mm, pressione di 0.4 torr, è alimentato da correnti a 30 A e 240 V DC equivalenti a 7.5 KW di potenza immessi nel tubo; bisogna raffreddare ad acqua il tubo del laser, ed usare materiali in grado di sostenere le elevate temperature ed avere una elevata conducibilità termica. I migliori sono la grafite e l’ossido di berillio (BeO). 7/144

La riga a 514 nm da una potenza quasi uguale a quella della 488 nm perchè la su intensità di saturazione è circa 10 volte maggiore. 7/145