ANALISI DEI SEGNALI Si dice segnale la variazione di una qualsiasi grandezza fisica in funzione del tempo. Ad esempio: la pressione in un punto dello spazio (segnale sonoro), la differenza di potenziale tra due elettrodi (segnale elettrico), la velocità di un punto della crosta terrestre (segnale sismico). Un segnale si dice analogico quando è definito per qualsiasi istante di tempo e la grandezza in oggetto può assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo. Estrarre da un segnale tutte le informazioni interessanti richiede tipicamente una quantità enorme di calcoli, che possono essere effettuati solamente da un calcolatore.

L’organismo umano è sorgente segnali di varia natura: Meccanici:  frequenza cardiaca,  pressione arteriosa,  flusso/portata sanguigna,  flusso/volume respiratorio,  forza e tensione muscolare. Termici:  temperatura corporea,  termografia. Elettrochimica:  Elettrocardiogramma (ECG),  Elettroencefalogramma (EEG),  Elettromiogramma (EMG),  Elettrooculogramma (EOG).

Elaborazione di segnali biomedici Si possono distinguere i due seguenti casi:  Analisi nel dominio del tempo: il segnale viene analizzato rispetto alla variabile t,  Analisi nel dominio delle frequenze: è analizzato lo spettro delle frequenze che costituisce il segnale. Esempio di parametri estratti nel dominio del tempo Spettro sinusoidale nel dominio del tempo(a) e spettro di frequenza ottenuto con la FT (b)

A=5, f 0 =2,  =0 A=5, f 0 =4,  =0 A=1, f 0 =1,  =0 A=1, f 0 =1,  =  /4 Ampiezza, frequenza e fase

Perché l’analisi nello spettro delle frequenze? Nel dominio delle frequenze il segnale viene scomposto nelle varie frequenze che lo compongono: tale scomposizione è simile a ciò che succede ad un fascio di luce che passa attraverso un prisma di vetro: il raggio è scomposto nelle sue componenti principali e otteniamo così lo spettro. L’applicazione dell’analisi di Fourier ai segnali biomedici ha consentito la separazione dei vari ritmi e la stima delle loro frequenze, indipendentemente l’una dall’altra. L’analisi di Fourier permette di estrarre l’informazione di interesse dall’insieme delle altre componenti (rumore) che lo formano; tale estrazione è effettuata cercando una descrizione del segnale in un dominio in cui queste componenti, l’informazione ed il rumore, siano il più possibile disgiunte.

Analisi spettrale L’analisi spettrale mediante l’analisi di Fourier si basa sull’ipotesi seconda la quale qualsiasi onda può essere scomposta in una somma di onde sinusoidali, che sommate ‘ricostruiscono’ l’onda originale. I coefficienti di Fourier rappresentano l’ampiezza e la fase per ciascuna delle frequenze delle onde componenti. La somma dei quadrati dei coefficienti a una data frequenza forniscono la potenza a quella frequenza. Il diagramma delle frequenze fornisce lo spettro di frequenza del segnale, che permette di determinare il contributo relativo che le varie frequenze danno all’onda nella finestra di tempo analizzata.

Analisi spettrale di un biosegnale: premesse importanti L’analisi spettrale può essere applicata a qualsiasi tipo di segnale, anche non periodico. Tuttavia per rendere più comprensibile tale teoria è opportuno un primo approccio utilizzando, come esempi, dei segnali periodici. E’ quindi necessario conoscere alcuni concetti preliminari quali:  periodo e frequenza di un segnale  valore medio di un segnale Nel caso di segnale periodico, il valore medio va calcolato in un intervallo di tempo pari ad un periodo oppure ad un tempo corrispondente ad un numero intero di periodi. Nel caso di un segnale non periodico, il valore medio va calcolato in un intervallo di osservazione sufficientemente lungo.

Grandezze periodiche Grandezza variabile nel tempo in modo periodico Un segnale è detto periodico se la sua ampiezza varia regolarmente nel tempo secondo un periodo T costante: x(t 0 ) = x(t 0 + T) Frequenza del segnale: = 1/T Per conoscere completamente una grandezza periodica basta conoscerla all’interno di un periodo completo.

Valore medio di un segnale non periodico Una volta individuato l’intervallo di osservazione, si calcola media relativa ad N campioni del segnale:

Segnali sinusoidali y(t) A A = ampiezza del segnale T = periodo del segnale f = frequenza del segnale  = fase T

Valore medio di un segnale periodico: segnale sinusoidale Caso di segnale sinusoidale a valore medio non nullo Per ottenere un segnale periodico con valore medio diverso da zero si può agire nel seguente modo: - si prende un segnale periodico a valore medio pari a zero (ad esempio un segnale sinusodale) - Si somma a tale segnale una componente continua di valore pari al valore medio del segnale che si desidera ottenere

Valore medio di un segnale periodico: segnale sinusoidale Caso di segnale sinusoidale a valore medio nullo In questo caso si introduce il valore efficace del segnale:

Valore efficace Il valore efficace è anche detto valore quadratico medio: esso è definito per una variabile discreta come e per una variabile continua come

Modalità di rappresentazione di segnali sinusoidali Per conoscere le caratteristiche di un segnale sinusoidale non è necessario rappresentarla, ma basta conoscere il suo periodo, valore medio e l’ampiezza. Esempio Siano date tre segnali sinusoidali: 1)frequenza 100 Hz con ampiezza 2 V 2)frequenza 200 Hz con ampiezza 5 V 3)frequenza 1 kHz con ampiezza 10 V Come posso rappresentarli? Rappresentazione tabellare: Frequenza (Hz)Ampiezza (V eff )

Rappresentazione mediante spettro delle frequenze In questo tipo di rappresentazione grafica descriviamo l’andamento delle ampiezze (valori efficaci del segnale) in funzione delle frequenze. Rappresentazione grafica:

Un generico segnale periodico, con una qualsiasi evoluzione temporale, si può considerare composto da una quantità finita di segnali tutti sinusoidali, ciascuno contraddistinto da una propria ampiezza, da una propria frequenza (con una propria fase misurata rispetto alla componente sinusoidale a frequenza minore), più un eventuale termine costante, corrispondente al valore medio del segnale considerato. Secondo il teorema di Fourier, una qualunque funzione periodica s(t) di periodo T e frequenza fondamentale f 0 =1/T è pari alla somma di infinite cosinusoidi di frequenze multiple intere di f 0, con ampiezze e fasi opportune più un termine costante. IL TEOREMA DI FOURIER dominio temporale → serie di Fourier → dominio delle frequenze

IL TEOREMA DI FOURIER Nota: non tutte le armoniche sono necessariamente diverse da zero. La costante A 0 è detta componente continua o valor medio del segnale, il termine A 1 è detto prima armonica o armonica fondamentale, gli altri termini sono detti armoniche secondarie.

Sinusoide con valore di picco 1 V e valore efficace Sinusoide con valore di picco 0.5 V e valore efficace Segnale risultante Somma di due sinusoidi Rappresentazione nel dominio delle frequenze: Rappresentazione nel dominio del tempo:

Somma di due segnali sinusoidali di uguale ampiezza ma differente frequenza. Somma di due sinusoidi

Espansione in serie di Fourier dell’onda quadra La componente continua risulta pari a ½, mentre tutte le armoniche pari risultano avere ampiezza nulla (questo a causa della simmetria della forma d’onda).

Le prime dieci armoniche dell’onda quadra sono mostrate in figura: Le armoniche pari sono nulle

Nella figura successiva sono mostrate le somme parziali delle armoniche partendo da quella fondamentale più la componente continua, via via che si aggiungono altre armoniche sommandosi a quella fondamentale queste modellano e aggiustano le armoniche precedenti con il risultato di approssimarsi complessivamente all'onda quadra. Tale obbiettivo lo si può raggiungere anche sommando un numero finito e ridotto di armoniche poichè le armoniche di ordine k, all'aumentare di k, contano sempre meno.

Esempio

Segnali non periodici Si può dimostrare che quanto detto per i segnali periodici si può estendere anche ai segnali aperiodici. I segnali non periodici possono essere pensati come segnali periodici con periodo infinito. Al crescere del periodo, le righe dello spettro di ampiezza tendono a diventare sempre più vicine. Quando il periodo del segnale diventa molto grande (al limite, infinito), lo spettro diventa una funzione continua. Quindi lo spettro di un segnale non periodico è una funzione continua.