ISITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE ALDINI VALERIANI E SIRANI A.S. 2013/2014 PROGRAMMA SETTORIALE LEONARDO DA VINCI PROGETTTO FLI-SPA 2020 FLIPPED CLASSROOM & SPACED LEARNING PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 1

ERRORI ED INCERTEZZE La misura della grandezza fisica `e generalmente accompagnata dalla stima dell’errore ad essa associato. E’ noto come stimare l’errore nel caso di una misura diretta, ma che cosa accade quando la grandezza fisica in esame e’ legata matematicamente ad una o piu’ altre grandezze, ciascuna con il proprio errore? Analizziamo matematicamente. PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 2

ESEMPIO Vediamo un esempio semplice: Vogliamo calcolare l’area di una superficie S rettangolare conoscendo i suoi lati a e b e vedere come si propagano gli errori a e b. Quindi S = ab e l’errore massimo che possiamo compiere su S `e dato da: S+∆S = (a+ ∆a)( b+ ∆b)=ab+a ∆b+b ∆a+ ∆a ∆b Se ∆ a ≪ a e ∆ b ≪ b allora il termine ∆ a ∆ b `e piccolo rispetto agli altri termini e si puo’ trascurare, quindi possiamo scrivere: ∆ S = a ∆ b + b ∆ a Vediamo adesso in dettaglio come si propagano gli errori in vari sottocasi, supponendo di aver misurato una o piu’ grandezze a, b, c,... aventi errori ∆a,∆ b, ∆ c,... Chiamiamo x la quantità di cui vogliamo ottenere la misura e l’indeterminazione per via indiretta. PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 3

SOMME E DIFFERENZE Sia x = a+b. Il piu’ alto valore probabile di a è a+ ∆ a, mentre di b è b+∆b, quindi il più alto valore probabile per x sarà: x + ∆ x = (a + ∆ a) + (b + ∆ b) = (a + b) + (∆ a + ∆ b) Mentre il piu’ basso per x sara’: x − ∆ x = (a − ∆ a) + (b − ∆ b) = (a + b) − (∆ a + ∆ b) da cui ricaviamo che: ∆ x = ∆ a + ∆ b Analogamente, nel caso x = a−b, il più alto valore probabile per x sarà: x + ∆ x = (a + ∆ a) − (b − ∆ b) = (a − b) + (∆ a + ∆ b) Mentre il più basso sarà: x − ∆ x = (a − ∆ a) − (b + ∆ b) = (a − b) − (∆ a + ∆ b) da cui ricaviamo ancora che: ∆ x = ∆ a + ∆ b PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 4

generalizzando quindi si ottiene l’errore massimo associato a una grandezza fisica che `e il risultato della somma o della differenza fra due o piu’ grandezze, ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli errori delle singole grandezze. x = a + b − c ∆ x = ∆ a + ∆ b + ∆ c +... PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 5

PRODOTTI E QUOZIENTI Sia x = a b. Come prima, il piu’ alto valore probabile di a `e a + ∆ a, mentre di b `e b + ∆ b, quindi il piu’ alto valore probabile per x sara’: x + ∆ x = (a + ∆ a) (b + ∆ b) = a b + a ∆ b + b ∆ a + ∆ a ∆ b Nell’ipotesi che ∆ a ≪ a e ∆ b ≪ b, possiamo ragionevolmente assumere che ∆ a ∆ b si possa trascurare, da cui ricaviamo che: ∆ x = a ∆ b + b ∆ a Conviene in questo caso introdurre il concetto di errore relativo ∆ x/x: ∆ x/x=(a ∆ b + b ∆ a)/ab= ∆a/a+ ∆b/b Nel caso del quoziente x = a/b, si avrà il piu’ alto valore probabile per x : x + ∆ x =(a+ ∆a)/(b- ∆b) e ragionando in maniera analoga al prodotto otteniamo: ∆ x/x= ∆a/a+ ∆b/b PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 6

generalizzando quindi si ottiene l’errore relativo associato a una grandezza fisica che `e il risultato del prodotto o del quoziente fra due o piu’ grandezze, ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli errori relativi delle singole grandezze. X=ab/cd ∆x/x= ∆a/a+ ∆b/b+ ∆c/c+ ∆d/d PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 7

PRODOTTO PER UNA COSTANTE Consideriamo adesso il caso in cui la grandezza di cui vogliamo stimare l’errore sia il risultato del prodotto di un’altra grandezza che misuriamo con una costante priva di indeterminazione. Sia cioe’: x = k b, con k costante. Utilizziamo la formula trovata nella sezione precedente: ∆x/x= ∆k/k+ ∆b/b Poiché k non ha errore associato risulta ∆k=0 otteniamo: ∆x=k ∆b PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 8

POTENZA Consideriamo infine il caso in cui la grandezza di cui vogliamo determinare l’incertezza e’ legata alla grandezza misurata, o alle grandezze misurate, da una legge di potenza. Sia cioe’: x = a ^n. E’ sufficiente scrivere la precedente espressione nella forma: x = a* *a n volte Per cui, l’errore e’ dato da (per la formula relativa al prodotto): ∆ x/x=n ∆a/a PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/2014 9

BIBLIOGRAFIA Dispense online Dipartimento di Astronomia Università di Padova. Le traiettorie della FISICA, di Ugo Amaldi, Zanichelli, Bologna 2013 PROF. PIERO PALLANTE- IIS ALDINI VALERIANI SIRANI 2013/