METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n°17

PROBABILITÀ

Valutare Innanzitutto è necessario educare a riconoscere il grado di validità di una affermazione: AffermazioneValidità 2+2=4certa Domani pioveràpossibile Gli asini volanoimpossibile

E, data una affermazione possibile, si può dire qual è il suo grado di possibilità? Il calcolo delle probabilità nasce per rispondere a questo tipo di domanda. N.B.: Non tutte le situazioni sono però sottoponibili a quantificazione.

Sul piano didattico è sempre consigliabile far scaturire i concetti da situazioni concrete, senza aver fretta di anticipare definizioni che gli alunni non capirebbero. Gli esempi e le situazioni dai quali partire non mancano certamente. Nella fase preliminare non è opportuno presentare situazioni problematiche complesse: lo scopo non è quello di abituare gli alunni a risolvere problemi, ma a cogliere differenze fondamentali fra situazioni particolari. OSSERVAZIONE PRELIMINARE

Con alunni di II o ancora meglio di III si possono presentare due situazioni: -La prima. Mario ha 10 figurine e ne regala 4 a Filippo. Quante figurine gli rimangono? -La seconda. Domani si gioca l’incontro di calcio Inter-Juventus. Quanti gol segnerà l’Inter? Domanda: che differenza c’è fra le due situazioni?

Poi si può fare un altro passo Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come le puoi vedere (l’insegnante, se può, si procura effettivamente urne o sacchetti e palline bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi chiusi una pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci estrarre dall’urna A o dall’urna B? Oppure è indifferente? Sai dire perché?

EVENTI ALEATORI Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di una qualsiasi esperienza viene detto evento. Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la qualità delle informazioni che un soggetto ha circa quell’evento.

ESEMPIO Nel gioco della tombola consideriamo l’evento: «In questa estrazione esce un numero pari» - Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i numeri dispari, l’evento è certo. - Se invece sono già stati estratti tutti i numeri pari, l’evento è impossibile. - Se invece nell’urna permangono numeri pari e dispari l’evento è aleatorio.

Le diverse concezioni di probabilità: la probabilità classica

Esempio 1 Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti? Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una croce; ma sono tutti equiprobabili? No! Infatti la configurazione una testa e una croce si presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le altre due in un solo modo. Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è: testa-testa testa-croce croce-testa croce-croce

Esempio2 TTTTTCTCTCTTTCCCTCCCTCCC

Le diverse concezioni di probabilità

Relativamente al piano didattico all’inizio è opportuno fare riferimento solo a situazioni in cui gli eventi possibili sono equiprobabili; ad esempio: lancio di una moneta testa-croce (non truccata); lancio di un dado “onesto” con facce numerate da 1 a 6; estrazione di una pallina da un’urna; e casi simili. In altri termini si parlerà solo di valutazione classica della probabilità. In un secondo momento si farà un cenno a situazioni in cui la probabilità si identifica con la frequenza relativa; si tratta ovviamente della concezione frequentista della probabilità.

ESEMPI DI ATTIVITÀ Una attività interessante può essere costituita dal confronto tra la valutazione di probabilità e ciò che accade realmente. Si confronterà quindi la probabilità teorica con la frequenza relativa dell’evento.

Esempio 2: lanciamo due dadi e sommiamo i punti ottenuti. Quali somme possiamo ottenere? Qual è la somma più probabile? Qual è la probabilità di ottenere una somma multipla di 3?.... Poi si può sempre fare un confronto con una prova reale. Esempio 3: Abbiamo 10 palline numerate da 1 a 10; qual è la probabilità che esca un numero pari? Anche qui il confronto con la situazione reale si può facilmente fare, basta portare in classe i numeri della tombola.

DOMANDE È più probabile che i numeri estratti siano, nell’ordine, oppure che siano, nell’ordine, ? Se nella scorsa estrazione è uscito il 7 sulla ruota di Napoli, oggi è più probabile che, sulla stessa ruota, esca il 7 o un altro numero che non è uscito la scorsa volta? Lanciamo due dadi con 6 facce e non truccati: - Enunciare un evento certo - Enunciare un evento impossibile - Enunciare un evento che abbia meno del 30% di probabilità di verificarsi

ESERCIZIO Delle 200 persone presenti in una sala, 80 hanno 18 anni; 70 ne hanno 17; 40 hanno 16 anni; 5 hanno 32 anni ed altri 5 ne hanno 40. Calcola: la mediana e la moda delle età delle 200 persone; la media aritmetica di tali età. Fornisci una rappresentazione tabulare della situazione ed un diagramma a barre. Prendendo una persona a caso tra le 200, qual è la probabilità che abbia non meno di 18 anni? Prendendo una persona a caso tra i minorenni, qual è la probabilità che abbia 16 anni? Prendendo una persona a caso tra le 200 qual è la probabilità che abbia più di 40 anni?