1 VARIABILI CASUALI

2 definizione Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori in modo casuale (non deterministico). Esempi l’esito di una estrazione del Lotto; il risultato di una partita di calcio; il voto di un esame; il numero di autovetture che fanno rifornimento in un determinato distributore in un giorno; la durata della vita di una persona; il numero di incidenti stradali in un determinato periodo;

3 definizione Dato uno spazio di probabilità ( , A, P[·]) in cui:  è lo spazio campione, cioè l’insieme di tutti gli esiti possibili di un dato fenomeno; A rappresenta una collezione di sottoinsiemi, detti eventi, dello spazio campione; P[·] è una funzione di probabilità che associa gli elementi dell’insieme A a dei valori numerici compresi nell’intervallo [0,1] definiamo come variabile casuale un’applicazione X cha associa gli elementi di  a numeri reali, formalmente:

4 esempio 1 Consideriamo il lancio di una moneta. Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Allora:  = {testa, croce} se  = testa se  = croce In questo modo, la variabile casuale X associa un numero reale ad ogni esito dell’esperimen- to.

5 definizione Poiché ogni elemento x dell’insieme X(  ) ha una sua probabilità di accadere, definendo una variabile casuale si definisce implicitamente anche una funzione di probabilità: definita dalla relazione p(x) = P[X=x] che gode delle seguenti proprietà: Questa funzione p(x) costituisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.

6 in sintesi Una variabile casuale o aleatoria è una variabile che può assumere determinati valori in corrispondenza al verificarsi di eventi aleatori; Dato che ciascuno dei valori x i della v.c. ha una probabilità di presentarsi, ci sarà anche una funzione p(x) = P[X=x] detta distribuzione di probabilità della v.c. X; La distribuzione di probabilità di una v.c. X è definita dall’insieme dei valori x i e le relative probabilità p(x i ) La distribuzione di probabilità di una v.c. può essere rappresentata graficamente o con una tabella.

7 esempio 2 (1) Consideriamo il lancio di due monete. Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Lo spazio campione è:  = {TT, TC, CT, CC} Per ciascun elemento dello spazio campione avremo una trasformazione mediante la X: X(TT) = 2; X(TC) = 1; X(CT) = 1; X(CC) = 0 conseguentemente l’insieme immagine di X diventa: X(  ) = {2, 1, 0}

8 esempio 2 (2) Dal momento che ciascun elemento di questo insieme ha una probabilità di avverarsi possia- mo costruire una distribuzione di probabilità N.B. Per definire una v.c. non basta conoscere il suo dominio  e l’insieme dei valori ammissibili della stessa X(  ); bisogna anche assegnare una legge di distribuzione che mette in evidenza come è distribuita la probabilità sui possibili valori della v.c.

9 variabili casuali discrete funzione di probabilità La v.c. può essere descritta mediante la funzione di probabilità definita da Tale funzione deve soddisfare le seguenti proprietà: Una v.c. X è discreta se è una funzione che può assumere solo un numero discreto di valori, ossia se l’immagine X(  ) è un insieme finito o infinito numerabile.

10 esempio 3 (1) Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa (vedi esempio 2); si rappresenti graficamente la distribuzione di probabilità di tale variabile.

11 funzione di ripartizione funzione di ripartizione La funzione di ripartizione F(x), è una funzione che associa a ciascun valore definito x 0 la probabilità che la v.c. assuma un valore non superiore a x 0 stesso; formalmente : F(x) gode delle seguenti proprietà: 1. 2.

12 esempio 3 (2) Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa (vedi esempio 2); possiamo ora determinarne la funzione di ripartizione:

13 Graficamente la funzione di ripartizione F(x), è una funzione monotòna non decrescente che si compone di una serie di gradini; il suo valore minimo è 0, il massimo è 1 : esempio 3 (3)

14 variabili casuali continue Una v.c. X è continua se è una funzione che può assumere tutti i valori reali in un intervallo limitato [a,b] o in un intervallo illimitato; in questo caso anche l’insieme X(  ) è continuo. ATTENZIONE Se la v.c. X è continua non ha più senso la definizione di funzione di probabilità data per il caso discreto. infatti:

15 variabili casuali continue funzione di densità Non si potrà più parlare di funzione di probabilità ma di funzione di densità di probabilità. Tale funzione è una funzione di densità se soddisfa le seguenti condizioni: In questo caso non possiamo più calcolare la probabilità in un punto ma solo su un determinato intervallo di valori della X, intervallo definito tra due estremi [a,b].

16 variabili casuali continue Geometricamente la probabilità P(x) è un’area.

17 funzione di ripartizione funzione di ripartizione La funzione di ripartizione F(x), è una funzione che associa a ciascun valore definito x la probabilità che la v.c. assuma un valore non superiore a x stesso; formalmente : F(x) si esprime anche come:

18 funzione di ripartizione funzione di ripartizione La funzione di ripartizione F(x), è caratterizzata dalle seguenti proprietà: 1) è limitata 2) è monotòna non decrescente, ossia se allora 3) i limiti sinistro e destro sono rispettiva- mente:

19 funzione di ripartizione Geometricamente la funzione di ripartizione è una curva monotona non decrescente.

20 esempio 4 (1) Sia f(x) una funzione così definita: si verifichi se tale funzione è una funzione di densità di probabilità e se ne disegni il grafico.

21 esempio4 (2) esempio 4 (2) Nell’intervallo [0,2] la funzione è una retta con origine nel punto di coordinate [0,0]. Ma è una funzione di densità?

22 esempio 4 (3) Per verificare se la funzione in oggetto è una densità dobbiamo verificare se sono valide le due proprietà: 1. Osservando il grafico possiamo vedere come la funzione non assuma mai valori inferiori allo zero e pertanto la condizione è verificata.

23 esempio 4 (4) Per verificare se la funzione in oggetto è una densità dobbiamo verificare se sono valide le due proprietà: 2. Il calcolo di questo integrale equivale al calcolo dell’area sottesa dal triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (2,0) e (2,1). L’area in questione sarà: anche la seconda condizione è verificata.

24 valore atteso valore atteso Data la v.c. discreta X, avente come insieme immagine X(  )={x 1, x 2, …,x n }, con relative probabilità p 1, p 2, …, p n ; si definisce valore atteso il valore ottenuto con Tale valore atteso, detto anche speranza matematica, ha lo stesso significato della media aritmetica solo che si riferisce ad una distribuzione di probabilità teorica mentre la media è una funzione dei dati osservati.

25 valore atteso Se l’insieme X(  )={x 1, x 2, …,x n }, è infinito il valore atteso è la somma di una serie: Se la v.c. X è continua si ha:

26 valore atteso: proprietà Sia c una costante e X e Y due variabili casuali, allora:

27 varianza varianza Data la v.c. discreta X, avente come insieme immagine X(  )={x 1, x 2, …,x n }, con relative probabilità p 1, p 2, …, p n ; si definisce varianza della distribuzione di probabilità il valore atteso di (X -  ) 2 cioè: Un altro modo per calcolare la varianza può essere:

28 varianza Se l’insieme X(  )={x 1, x 2, …,x n }, è infinito la varianza è la somma di una serie: Se la v.c. X è continua si ha:

29 varianza: proprietà Sia c una costante e X una v.c., allora:

30 esempio 5 (1) Riprendiamo il caso dell’esempio 2: consideriamo il lancio di due monete e sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Si calcolino valore atteso e varianza di tale variabile. valore atteso

31 esempio 5 (2) Riprendiamo il caso dell’esempio 2: consideriamo il lancio di due monete e sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Si calcolino valore atteso e varianza di tale variabile. valore atteso

32 esempio 5 (3) Riprendiamo il caso dell’esempio 2: consideriamo il lancio di due monete e sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Si calcolino valore atteso e varianza di tale variabile. varianza

33 esempio 5 (4) Riprendiamo il caso dell’esempio 2: consideriamo il lancio di due monete e sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa. Si calcolino valore atteso e varianza di tale variabile. varianza