Unità didattica progettata e realizzata dalle docenti: Rita Montella, Gelsomina Carbone classi II e II A Anno Scolastico 2007/2008 Ha collaborato alla realizzazione della presentazione L’alunna Anna Paola De Caro della II A

Obiettivi  Conoscere e saper riconoscere un equazione algebrica di primo grado.  Conoscere il concetto d’identità  Conoscere il concetto di grado.  Conoscere i principi di equivalenza  Saper risolvere algebricamente un’equazione di primo grado  Conoscere e saper riconoscere una disequazioni algebrica di primo grado  Conoscere e saper riconoscere una disequazioni algebrica di primo grado.

 Si definisce Disequazione di primo grado una disuguaglianza tra due espressioni algebriche intere di primo grado in un’incognita. Essa si presenta in una delle seguenti forme dette “normali”: A(x)>B(x) A(x)<B(x) A(x) ≥ B(x) A(x) ≤ B(x)  I simboli “>, <, ≥ e ≤ ” si chiamano versi della disequazione.

 Per le disequazioni valgono i seguenti principi di equivalenza: › Se si aggiunge o si sottrae dal primo e dal secondo membro di una disequazione una stessa quantità si ottiene una disequazione che ha le stesse soluzioni della disequazione data; › Se entrambi i membri di una disequazione vengono moltiplicati per una quantità positiva e diversa da zero si ottiene una disequazione che è equivalente alla disequazione data; › Se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per una quantità negativa diversa da zero, si ottiene una disequazione che ha le stesse soluzioni della disequazione data solo se le viene cambiato il verso.

 Le soluzioni di una disequazione sono i valori che sostituiti all’incognita rendono vera la diseguaglianza. Esse possono sono rappresentate da insiemi numerici finiti, infiniti o vuoti.  L’insieme dei valori per i quali la disequazione è verificata viene detto intervallo: - a<x<b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a e b esclusi; -a≤x≤b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a e b compresi: -x>a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è escluso; -x≥a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è incluso.

 Una disequazione si dice: - intera se tutti i termini sono interi rispetto all’incognita; - frazionaria se l’incognita compare anche al denominatore; - numerica se, oltre all’incognita, contiene solo numeri; - letterale se, oltre all’incognita, contiene altre lettere dette variabili.

CLASSIFICHIAMO LE DISEQUAZIONI

Disequazione Numerica intera

Risoluzione algebrica: La disequazione intera di primo grado si presenta nella forma: ax+b<>=0 risolverla vuol dire trovare tutti i valori numerici reali che sostituiti all’incognita rendono vera la diseguaglianza.

Risolviamo con un esempio numerico applicando una disequazione numerica intera di primo grado: Data la seguente disequazione 5x+24 < 7x+2 portiamola alla forma normale applicando i principi di equivalenza : 5x x-2<0 riduciamola: -2x + 22 < 0 isoliamo l’incognita: -2x < -22 cambiamo il segno invertiamo il verso 2x>22 quindi ricaviamo le soluzioni x>11.

Rappresentazione grafica Una volta risolta algebricamente la disequazione le sue soluzioni sono rappresentate graficamente sulla retta numerica (o reale), nel seguente modo x>11 011

Disequazione Prodotto Una disequazione si dice prodotto quando si presenta comeun prodotto di fattori.

Risoluzione Procediamo con un esempio ad introdurre la tecnica risolutiva: Data la seguente disequazione prodotto (x-3)(x+5)<0 Siccome ci interessa per quali valori di x questo prodotto è positivo,negativo o nullo, studiamone il segno, considerando il segno dei vari fattori. Per fissare le idee studiamo la positività di ogni fattore: x-3>0 x+5>0 e si ha: x>3 x>-5

Rappresentiamoli sulla retta reale: Il tratteggio indica il segno negativo e la linea continua indica il segno positivo si deve facendo il prodotto si ha. -503

Così abbiamo che da meno infinito a -5 la disequazione avrà segno positivo, invece nell’intervallo compreso tra -5 e 3 avrà segno negativo e nell’intervallo cha va da 3 a più infinito è positiva

Siccome la richiesta era per i valori negativi d (x-3)(x+5)<0 Prendiamo in considerazione soltanto l’intervallo dei valori negativi, e cioè l’intervallo dei valori compresi tra -5 e 3. Possiamo affermare che le soluzioni della disequazione sono i valori : -5<x<3 con x appartenente ad R

Disequazione Letterale intera

Risoluzione algebrica: Data la seguente disequazione letterale ax><=0 Risolverla vuol dire discutere i vari casi al variare di a me b in R Consideriamo un esempio a(x-a)>2(x-2)

Discutiamo la seguente disequazione a(x-a)>2(x-2) Riduciamola alla forma tipica ax-a 2 >2x-4 ax-2x>a 2 -4 (a-2)x>a 2 -4 (a-2)x>(a-2)(a+2)

A questo punto, poiché il coefficiente della x può essere positivo, negativo o nullo, occorre distinguere i 3 casi: (a-2) a=2 Si ha: 0x>0+4 E quindi è impossibile a>2 Quindi: (a-2)>0 Quindi x>a+2 a<2 Si ha: (a-2)<0 Cioè x<a+2

Sistemi di disequazione

L ’ insieme di più disequazioni rappresenta il sistema di disequazioni. Per risolvere un sistema di disequazioni si devono trovare gli insiemi di soluzioni di ogni singola disequazione e considerarne l ’ intersezione. Se le disequazioni non hanno soluzioni comuni il sistema si dice impossibile.

Prendiamo come esempio il seguente sistema: x-3>2 x-1<10 Abbiamo che la soluzione della prima disequazione è x>5 e la soluzione della seconda è x<11. Quindi: x>5 x<11

Rappresentare poi le soluzioni delle disequazioni sulla retta numerica: 0511 Dal grafico si può vedere che le soluzioni in comune sono quelle comprese tra 5 e 11. La soluzione del sistema è quindi 5<x<11

Disequazioni fratte

Studiamo la seguente disequazione fratta, N.B. la tecnica è la stessa di quella prodotto 2x-1 5-4x > 1 Si ha : 2x-1 5-4x -1> 0 2x-1-5+4x 5-4x > 0

6x-6 5-4x > 0 6(x-1) 5-4x > 0 x-1 5-4x > 0 Studiare quindi i segni del numeratore e del denominatore della disequazione sulla retta reale.

x>1 x< Dallo studio dei segni si ha quindi che la disequazione è verificata per: 1 <x< 5 4

Esercizi 1) x x 4x - 8 3) 6x x x² - 4x - 3 3) 6x x x² - 4x - 3 x + 2 4x x + 2 4x ) ——— — 5) ——— — 2 3 x x 5 (x+1)*(2-x) (x+1)*(2-x) 7) —————— ≥ 0 7) —————— ≥ 0 (3-x) (3-x) Test vero o falso V F La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5ax-3a<0 La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5ax-3a<0 per ogni a reale e non nullo. per ogni a reale e non nullo. La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5x-3+a <a La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5x-3+a <a per ogni a reale. per ogni a reale. Due disequazioni sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione. Due disequazioni sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione. La disequazione -3x+2≤0 ammette come soluzione l’intervallo La disequazione -3x+2≤0 ammette come soluzione l’intervallo [ 2/3;+∞ [. [ 2/3;+∞ [.

 Disequazioni fratte Disequazioni fratte  Esercizi Esercizi  Test Test

Grazie all’ alunna Anna Paola De Caro per aver collaborato con noi e a tutti gli studenti che hanno partecipato a questo progetto dando sempre validi contributi. GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE