LA PROBABILITA’

CHE COS’E’? La probabilità di un evento è il quoziente tra il numero dei casi favorevoli a quell’evento e quello dei casi possibili quando essi sono tutti egualmente possibili.

SOMMA LOGICA DI EVENTI Dati gli eventi E1, E2 relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione che indichiamo con E1 U E2, è quell’evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. A B A U B universo

FORMULE TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI Compatibili sono eventi per i quali il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro; con il linguaggio degli insiemi indicheremo che la loro intersezione non è vuota P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2) - P(E1 ∩ E2) TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI Incompatibili = eventi per i quali il verificarsi di uno esclude l’altro Con il linguaggio degli insiemi indicheremo che la loro intersezione è vuota P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2)

IL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Siano E1 ed E2 eventi riferiti allo stesso universo, definisco il prodotto logico degli eventi E1 ed E2 l’evento E= E1 ∩ E2 che si verifica se entrambi gli eventi E1 e E2 si verificano

ESEMPIO DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI INDIPENDENTI Da un mazzo di 40 carte si peschino successivamente due carte con reimmissione della prima carta nel mazzo; si calcoli la probabilità di estrarre un fante e il re di cuori. Indichiamo con Ef = estrazione di un fante ed Ere = estrazione del re di cuori; per calcolare la probabilità di E = Ef ∩ Ere dobbiamo considerare due importanti elementi: che gli eventi sono indipendenti che il testo del problema non indica l’ordine in cui si devono verificare gli eventi Nel caso in esame gli eventi Ef ed Ere sono indipendenti e non interessa l’ordine perché il testo non lo richiede. Dovremo tenere presente i seguenti eventi incompatibili (Ef ∩ Ere) e (Ere ∩ Ef) per cui E é l’unione di (Ef ∩ Ere) U (Ere ∩ Ef) e Poiché P(Ef ∩ Ere)= P(Ef)∙P(Ere)= P(Ere ∩ Ef) => P(E)= (4/40∙1/40)∙2=1/200

ESEMPIO DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI Prendiamo in considerazione il seguente esempio in cui gli eventi che costituiscono il prodotto logico siano dipendenti e la richiesta preveda un ordine con cui si debbano verificare. In un sacchetto di frutta secca ci sono 16 noci, 20 castagne e 64 nocciole (totale 100); calcolare la probabilità che estraendone due contemporaneamente escano nell’ordine una noce e una nocciola. E = esce una noce e una nocciola En = esce una noce E nocc = esce una nocciola E = En ∩ E nocc P(E) = P(En)∙P(E nocc | En) = 16/100∙64/99 = 256/2475

PROBABILITA’ CONDIZIONATA E PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Dati due eventi E1 e E2 si dice probabilità condizionata di E1 rispetto a E2, e si indica P(E1|E2), la probabilità che si verifichi E1 nell’ipotesi che E2 si sia verificato.

FORMULE Se gli eventi sono dipendenti P(E1 ∩ E2)= P(E1)∙ P(E2|E1) Se gli eventi sono indipendenti P(E1∩E2)= P(E1)∙ P(E2) AB A ∩ B

ESEMPI

ESEMPIO SOMMA LOGICA DI EVENTI COMPATIBILI Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso venga estratta una pallina gialla o pari. 30= palline totali E1=estrazione di una pallina gialla E2=estrazione di una pallina pari E = estrazione di una pallina gialla o pari ?= P(E1 U E2) I due eventi sono compatibili, quindi: P(E1)=1/3 P(E2)= 1/2 P(E1 ∩ E2)= 5/30= 1/6 infatti le palline gialle e pari sono 5 su 30 P(E1 U E2)= 1/3+1/2-1/6= 2/3

ESEMPIO SOMMA LOGICA DI EVENTI INCOMPATIBILI Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E1= esce un multiplo di 5 E2= esce un multiplo di 3 E = esce un multiplo di 5 o di 3. Calcoliamo la probabilità che estraendo un dischetto sia un multiplo di 3 o di 5. Gli eventi sono incompatibili P(E1)= 2/12= 1/6 P(E2)=4/12=1/3 P(E)= P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2) =1/3+1/6=1/2

ESEMPIO DI PROBABILITA’ CONDIZIONATA DI EVENTI DIPENDENTI Si hanno 7 lampadine buone ( B ) e 3 rotte ( R ). Calcolare la probabilità che estraendone due a caso (senza reinserire la prima lampada) siano entrambe buone. Indichiamo con B1= estrazione della prima lampadina buona, e con B2= estrazione di una seconda lampadina buona e rispettivamente con P(B2/B1)= la probabilità di estrarre la seconda lampadina buona dopo aver estratto la prima buona calcoliamo ?= P(B1∩B2) Ricordando il teorema della probabilità condizionata P(B2∩B1)= P(B1 ) ∙ P(B2/B1)= 7/10∙6/9=42/90=7/15

SINTESI COMPATIBILI INCOMPATIBILI E1 U E2 P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2) – P(E1∩ E2) P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2) DIPENDENTI INDIPENDENTI E1 ∩ E2 P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2|E1) P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2)

PROBABILITA’ TOTALE: Partizione dell’universo Si abbiano due urne 1 e 2: l’urna 1 contiene 3 palline bianche e due nere, l’urna 2 contiene 4 palline bianche e 5 nere. Calcola la probabilità che estraendo una pallina a caso da un’urna, la pallina sia bianca. Indichiamo con Eb l’evento estrazione di una pallina bianca. Sottoponiamo la scelta dell’urna al lancio di un dado, scelgo la prima se esce un numero minore di tre, scelgo la 2 se esce un numero >= a 3. I due eventi E1(esce un numero <3) e E2(esce un numero ≥3) sono eventi incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità di uscita del dado; essi hanno P(E1)=1/3 e P(E2)=2/3 La probabilità che esca una pallina bianca è condizionata alla scelta dell’urna nel senso che P(Eb|E1)=P(Eb ∩ E1)/P(E1) e P(Eb|E2)=P(Eb ∩ E2)/P(E2) P(Eb ∩ E1)=P(Eb|E1)∙P(E1)=3/5∙1/3=1/5 P(Eb ∩ E2)=P(Eb|E2)∙P(E2)=4/9∙2/3=8/27 Gli eventi Eb ∩ E1 e Eb ∩ E2 sono eventi incompatibili e l’evento Eb=(Eb∩E1) U(Eb∩E2) quindi P(Eb)=P(Eb ∩ E1)+P(Eb ∩ E2)=1/5+8/27=67/135

LA FORMULA DEL TEOREMA DI BAYES P(Pa l A) = P(A ∩ Pa) / P(A)

IL TEOREMA DI BAYES Poniamoci ora la domanda inversa al problema precedente: “qual è la probabilità che la pallina estratta provenga dalla seconda urna?” Siamo di fronte ad un evento che si è già verificato e vogliamo conoscere la probabilità da assegnare alla causa che può averlo prodotto. Indichiamo con Eb l’evento “uscita di una pallina bianca” e con E 2 l’evento “ uscita della pallina dall’urna 2”. P(E2 l Eb)= ? Per il teorema della probabilità composta abbiamo che P(E2 ∩ Eb)= P(E2 l Eb) · P(Eb) Grazie alla proprietà simmetrica dell’intersezione di due insiemi possiamo dire che P(E2 l Eb) = P(E2 ∩ Eb) / P(Eb) = P(E ∩ E2) / P(Eb) Grazie ai calcoli del problema precedente sappiamo che P(Eb ∩ E2) = 8/27, mentre P(Eb) =67/135 => P(E2 l Eb)= (8/27) / (67/135) = 40/67